減阻增程彈道的射程估算與特性分析

凌王輝，鮮 勇，郭瑋林，李 杰，張大巧

(火箭軍工程大學(xué)七系，西安 710025)

減阻增程彈道的射程估算與特性分析

凌王輝，鮮 勇，郭瑋林，李 杰，張大巧

(火箭軍工程大學(xué)七系，西安 710025)

為實(shí)現(xiàn)彈道導(dǎo)彈射程的快速估算和減阻設(shè)計(jì)后彈道增程的定量分析，提出一種基于導(dǎo)彈基本參數(shù)的射程快速精確估算方法。通過建立減阻模型，仿真計(jì)算得到氣動(dòng)阻力系數(shù)表，并對速度計(jì)算公式進(jìn)行逐項(xiàng)積分，利用高度近似值和氣動(dòng)系數(shù)擬合結(jié)果得到關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量和射程的初步值，最終通過迭代計(jì)算得到滿足精度要求的射程結(jié)果。仿真結(jié)果表明，經(jīng)過高度和氣動(dòng)系數(shù)的迭代計(jì)算能有效快速得到滿足精度的計(jì)算結(jié)果，通過減阻設(shè)計(jì)，導(dǎo)彈射程提高了162.36 km，增程的效果明顯。

減阻設(shè)計(jì)；彈道增程；射程快速估算；氣動(dòng)擬合；迭代計(jì)算

0 引 言

導(dǎo)彈的射程決定了導(dǎo)彈的火力攻擊范圍，是衡量導(dǎo)彈性能的重要參數(shù)之一。導(dǎo)彈擁有更遠(yuǎn)的射程意味著在相同射程下，能投擲更大質(zhì)量的戰(zhàn)斗部，具有更多的能量進(jìn)行機(jī)動(dòng)突防[1-2]。自彈道導(dǎo)彈誕生以來，推進(jìn)劑的推陳出新、材料的更新?lián)Q代和外形結(jié)構(gòu)的改型升級使導(dǎo)彈的射程得到不斷提升，除此之外，通過外形減阻設(shè)計(jì)也可以達(dá)到提高射程的目的。美國的“三叉戟”Ⅰ型導(dǎo)彈就運(yùn)用了激波桿設(shè)計(jì)，起到了減小大約52%阻力，增加550 km射程的效果。在此基礎(chǔ)之上，其改進(jìn)的“三叉戟”Ⅱ型導(dǎo)彈進(jìn)一步擴(kuò)大了頭部的容積，增加了彈頭的投擲數(shù)量[3]。

仿真計(jì)算和風(fēng)洞試驗(yàn)表明，導(dǎo)彈的鈍頭體構(gòu)型相比其余尖頭體構(gòu)型，受到的氣動(dòng)阻力最大[4]，加裝激波桿能改變頭部流場形態(tài)，形成斜激波，減小波后壓力與焓值，有效減小氣動(dòng)阻力[5]。目前激波桿減阻的相關(guān)研究主要是實(shí)現(xiàn)減阻效果的仿真校驗(yàn)與外形機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[6-7]，但是對減阻設(shè)計(jì)后彈道增程效果的分析研究卻很少。

目前利用彈道基本參數(shù)實(shí)現(xiàn)射程估算的研究較為廣泛，如文獻(xiàn)[8]對模型和數(shù)據(jù)進(jìn)行分離，設(shè)計(jì)了通用彈道仿真模型，實(shí)現(xiàn)了仿真多種彈道導(dǎo)彈彈道的功能，但此方法仍基于微分方程組的數(shù)值計(jì)算，計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間長；文獻(xiàn)[9]基于固定類型導(dǎo)彈的推力加速度模板對導(dǎo)彈主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了仿真計(jì)算，估算性能良好，但構(gòu)建的近常速運(yùn)動(dòng)模型忽略了氣動(dòng)力，無法用于減阻與未減阻彈道的仿真對比。

而文獻(xiàn)[10-11]針對助推滑翔式高超聲速飛行器，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)方程和飛行條件推導(dǎo)了估算公式，利用彈道參數(shù)對滑翔彈道進(jìn)行了解析估算，并引入高度變化特性進(jìn)一步提高了估算精度?；诖讼敕?，本文以減阻設(shè)計(jì)的彈道導(dǎo)彈彈道為研究對象，根據(jù)飛行過程中的速度微分方程，推導(dǎo)了關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的計(jì)算公式，利用迭代計(jì)算，進(jìn)一步提高了射程的計(jì)算精度，并針對具體減阻構(gòu)型，實(shí)現(xiàn)了減阻增程效果的定量分析。

1 減阻原理

由圖1所示的流場示意圖，鈍頭錐體前為弓形激波，激波桿鈍頭體的流場結(jié)構(gòu)則由斜激波、分離區(qū)、剪切層和再附激波組成。

鈍頭體結(jié)構(gòu)前，氣流經(jīng)過強(qiáng)烈壓縮，形成弓形激波，與之相比，減阻桿破壞了弓形激波，形成斜激波。斜激波后的氣流情況與弓形激波后的氣流情況差異較大，因此導(dǎo)致二者頭部的壓力分布不同。根據(jù)普朗特關(guān)系式，斜激波后的氣壓遠(yuǎn)小于弓形激波后的氣壓，這使帶減阻桿外形的頭部壓力遠(yuǎn)小于鈍頭錐體頭部壓力，因此減小了帶激波桿外形的氣動(dòng)阻力。

2 仿真模型與網(wǎng)格

根據(jù)外形的具體設(shè)計(jì)參數(shù)，建立加裝激波桿導(dǎo)彈的實(shí)體模型。帶激波桿外形的模型如圖2所示。

進(jìn)行計(jì)算區(qū)域離散化，將連續(xù)的計(jì)算區(qū)域劃分為多個(gè)子區(qū)域，確定每個(gè)區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)，從而生成網(wǎng)格。本文采用O型的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，生成的網(wǎng)格如圖3～4所示，其中圖3為生成的總體網(wǎng)格，圖4為物面處的網(wǎng)格，放大了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在物面處的細(xì)節(jié)，貼體性較好，密集均勻，能滿足捕捉流場細(xì)節(jié)的需要。

3 估算方法

假設(shè)導(dǎo)彈在射面內(nèi)飛行，如圖5所示，則導(dǎo)彈的主動(dòng)段質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中：V為導(dǎo)彈的速度，P為推力，m為飛行過程中的實(shí)時(shí)質(zhì)量，g為重力加速度，θ為彈道傾角，X為氣動(dòng)阻力。

推力P和發(fā)動(dòng)機(jī)有效噴氣速度ue為：

(2)

式中：u為發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)庀鄬楏w的噴射速度，Sa為噴管截面積，pa為燃?xì)忪o壓，p為大氣靜壓。

將式(2)代入式(1)，可得：

(3)

式(3)的兩端關(guān)于時(shí)間τ進(jìn)行積分可得：

(4)

當(dāng)積分上限為tk時(shí)，即可求得導(dǎo)彈在關(guān)機(jī)點(diǎn)的速度Vk：

(5)

式中：Vu k為真空環(huán)境、不計(jì)重力條件下導(dǎo)彈主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)的速度，ΔV1k為到關(guān)機(jī)點(diǎn)重力造成的速度損失，ΔV2k為到關(guān)機(jī)點(diǎn)氣動(dòng)阻力造成的速度損失，ΔV3k為到關(guān)機(jī)點(diǎn)大氣壓力造成的速度損失。

(6)

導(dǎo)彈飛行過程中質(zhì)量與初始質(zhì)量的比值μ=m/m0，則：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得：

(8)

式中：Sm為最大橫截面積，Cx為阻力系數(shù)，ρ為大氣密度。

表1 各個(gè)變量的數(shù)量級(國際單位制)Table 1 The order of magnitude of the variable (International system of units)

由表1可知，Vu k的數(shù)量級為103，而ΔV1k數(shù)量級為102且接近103。在整個(gè)飛行過程中，同一高度下，相對密度ρ/ρ0與相對壓強(qiáng)p/p0的數(shù)量級基本一致，可得：

(9)

除與ΔV3k數(shù)量級相同的積分項(xiàng)，ΔV2k的其余積分項(xiàng)CxV2變化范圍為0～106，在積分區(qū)域的面積數(shù)量級為105，Sm與Sa數(shù)量級一致，而ΔV3k的常數(shù)項(xiàng)p0大小為101325，所以ΔV2k與ΔV3k數(shù)量級一致，二者近似相等。ΔV3k的常數(shù)項(xiàng)數(shù)量級為102，p/p0成指數(shù)下降趨勢，積分項(xiàng)明顯小于1，由此可知，Vu k>ΔV1k>ΔV3k≈ΔV2k。

3.1Vu k的估算

直接積分可得Vu k：

(10)

式(10)即為齊奧爾科夫斯基公式，用于計(jì)算導(dǎo)彈主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)的理想速度。根據(jù)現(xiàn)有發(fā)動(dòng)機(jī)工藝水平確定ue和μk，進(jìn)而估算Vu k的大小。

3.2ΔV1k的估算

將重力加速度g近似為地面重力加速度g0，對sinθ進(jìn)行積分即可得到ΔV1k的近似值。因?yàn)閷?dǎo)彈在主動(dòng)段以小攻角飛行，根據(jù)θ=φ-α，將彈道傾角近似為飛行程序角φ。導(dǎo)彈飛行程序分為垂直起飛段、程序轉(zhuǎn)彎段、瞄準(zhǔn)段三段，根據(jù)典型的彈道飛行程序，取θ(μ)為：

(11)

(12)

其中,θk<π/2且為定值，則積分下限隨μ0增大而增大，滿足0≤b(μ0-0.45)≤0.5b。被積表達(dá)式為超越方程，無法得到其積分表達(dá)式，需對三角函數(shù)級數(shù)展開，可得：

(13)

根據(jù)交錯(cuò)級數(shù)的收斂定理可知級數(shù)必然收斂，被積函數(shù)級數(shù)展開滿足一致收斂性，當(dāng)θk<π/2時(shí)，令μ0=0.45，利用式(13)計(jì)算可得：

(14)

3.3ΔV2k的估算

根據(jù)Vu k和ΔV1k的估算公式，可得到主動(dòng)段飛行過程中任意質(zhì)量比μ下的理想速度Vu和重力造成的速度損失ΔV1。利用Vu和ΔV1近似表示飛行過程中的速度V，可得到導(dǎo)彈在發(fā)射坐標(biāo)系下y軸的位移大小。根據(jù)圖5所示，x軸位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則tanβk≈sinβk，可利用位移y近似表示高度：

(15)

因?yàn)楫?dāng)?shù)芈曀俑鶕?jù)高度確定，計(jì)算得到h即可得到導(dǎo)彈飛行馬赫數(shù)和當(dāng)?shù)乜諝饷芏?。高度和速度是時(shí)間的函數(shù)，通過式(7)可知,高度和速度可看作是質(zhì)量比μ的函數(shù)。根據(jù)高度和馬赫數(shù)插值求出整個(gè)飛行過程中的氣動(dòng)阻力系數(shù)，通過擬合近似也可將阻力系數(shù)看作質(zhì)量比的函數(shù)，即Cx(μ)。取步長Δμ，利用梯形積分公式即可得到ΔV2k：

(16)

3.4ΔV3k的估算

與估算ΔV2k的方法相似，將彈道傾角看作μ的函數(shù)，根據(jù)Vu k、ΔV1k和ΔV2k的估算值，近似表示飛行過程中的速度V，利用速度計(jì)算h：

ΔV1(1-nΔμ)-ΔV2(1-nΔμ))sin(θ(1-nΔμ))

(17)

根據(jù)高度得到當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)計(jì)算ΔV3k：

(18)

根據(jù)主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)估算導(dǎo)彈全射程L的公式[12]，可利用計(jì)算得到的Vu k、ΔV1k、ΔV2k、ΔV3k和h估算全射程，即可實(shí)現(xiàn)利用導(dǎo)彈的有效噴氣速度、最大橫截面積、氣動(dòng)參數(shù)等易于估算的基本參數(shù)對減阻增程結(jié)果的定量分析。其中有效噴氣速度、關(guān)機(jī)點(diǎn)質(zhì)量比等參數(shù)由目前的工藝水平所確定，最大橫截面積、氣動(dòng)系數(shù)等參數(shù)由導(dǎo)彈的外形所確定。

(19)

式中：R為地球半徑,βk為主動(dòng)段射程角,βc為被動(dòng)段射程角,Θk為關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角,υk為能量參數(shù)。

3.5射程的迭代計(jì)算

在對高度和ΔV2k進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只利用了部分速度損失值，忽略了ΔV2k、ΔV3k的影響，得到的計(jì)算結(jié)果將影響全射程的計(jì)算精度，同時(shí)直接影響因氣動(dòng)阻力造成的速度損失ΔV2k的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而影響減阻增程的定量分析結(jié)果。

在得到Vu k、ΔV1k、ΔV2k、ΔV3k的基礎(chǔ)上，將結(jié)果再次代入進(jìn)行迭代計(jì)算，得到滿足精度要求的射程計(jì)算結(jié)果。計(jì)算流程如圖6所示。

4 仿真結(jié)果與分析

仿真計(jì)算未減阻構(gòu)型和加裝激波桿構(gòu)型的氣動(dòng)阻力系數(shù)如圖7～8所示。兩種構(gòu)型的氣動(dòng)阻力系數(shù)曲線在跨聲速時(shí)變化劇烈，在Ma2～Ma25范圍內(nèi)曲線平滑。整個(gè)過程飛行的高度和馬赫數(shù)隨時(shí)間增加而單調(diào)遞增，可以根據(jù)估算得到部分節(jié)點(diǎn)的高度和馬赫數(shù)插值計(jì)算氣動(dòng)阻力系數(shù)，并利用擬合得到的氣動(dòng)阻力系數(shù)表達(dá)式計(jì)算ΔV2k。

擬合得到的氣動(dòng)阻力系數(shù)如圖11所示，與其他擬合結(jié)果相比，分段二階擬合效果最好，利用質(zhì)量比分段二次函數(shù)表示阻力系數(shù)的公式為：

(20)

同理，分段擬合減阻構(gòu)型阻力系數(shù)的效果如圖12所示，得到的近似公式為：

(21)

最終計(jì)算得到減阻、未減阻構(gòu)型在關(guān)機(jī)點(diǎn)的高度、速度和二者的射程如表2所示。對結(jié)果進(jìn)行迭代計(jì)算，在射程誤差滿足小于0.01 km的條件下，減阻和未減阻構(gòu)型的全射程計(jì)算分別迭代3和5次得到收斂值，二者精確的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量和射程如表2所示。通過迭代結(jié)果可以看到將ΔV2k、ΔV3k代入，對高度h、ΔV2k、ΔV3k進(jìn)行再次計(jì)算能有效提高計(jì)算精度。

與迭代計(jì)算的結(jié)果相比，忽略ΔV2k、ΔV3k對高度的影響進(jìn)行計(jì)算，即忽略了氣動(dòng)力、大氣壓力的影響，根據(jù)式(15)可知，計(jì)算得到的未減阻和減阻彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)高度一致。二者相比，減阻構(gòu)型使關(guān)機(jī)點(diǎn)速度增加52.53 m/s，全射程增加134.02 km。迭代計(jì)算結(jié)果顯示，減阻構(gòu)型使關(guān)機(jī)點(diǎn)的高度增加2.32 km，速度增加61.69 m/s，全射程增加162.36 km。計(jì)算結(jié)果的比較說明：迭代計(jì)算ΔV2k、ΔV3k進(jìn)一步提高了主動(dòng)段射程的計(jì)算精度，有利于減阻與未減阻彈道全射程的比較與分析。

表2 一次計(jì)算、迭代計(jì)算得到的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量和射程Table 2 State of the shutdown point and range by first calculation and iteration

未減阻構(gòu)型和減阻構(gòu)型各個(gè)速度迭代結(jié)果隨質(zhì)量比的變化如圖14～15所示。在關(guān)機(jī)點(diǎn)因高度、氣動(dòng)阻力、壓強(qiáng)導(dǎo)致速度減少量如表3所示，其中因高度增加而導(dǎo)致速度減小的量占速度減小總量ΔVs的75%左右，采用減阻構(gòu)型使ΔV2k在ΔVs中的占比由原先的16.29%減小為11.46%。數(shù)據(jù)表明,ΔV1k= 800.5 m/s、ΔV2k變化范圍為100 ～ 180 m/s、ΔV3k≈ 120 m/s，遠(yuǎn)小于速度V≈ 5800 m/s，驗(yàn)證了估算方法中各個(gè)速度數(shù)量級的推算結(jié)果，說明在對ΔV1k、ΔV2k、ΔV3k進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以忽略量與量之間的耦合作用進(jìn)行近似計(jì)算。

整個(gè)飛行過程中，兩種構(gòu)型的飛行速度差隨質(zhì)量比的變化曲線如圖16所示。在飛行初始階段，速度較低，氣動(dòng)阻力較小，二者速度差別不大，隨著質(zhì)量的減小，二者的氣動(dòng)阻力差變大，速度差也隨之增加，但飛行到高空后，空氣密度減小，二者的氣動(dòng)阻力急劇減小，速度差也隨之減小。

表3 速度減少量Table 3 Speed reduction

計(jì)算出的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量和射程如表4所示，得到減阻和未減阻導(dǎo)彈的仿真彈道如圖18所示。其中坐標(biāo)原點(diǎn)為地心，發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)和地心所在平面截取地球得到的半圓為圖中所示的地球表面。

表4 射程和關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量計(jì)算結(jié)果比較Table 4 Comparison of the range and the state at shutdown point

與數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果相比，本文計(jì)算得到的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量、射程的偏差在數(shù)值仿真結(jié)果中所占百分比如表5所示，其中關(guān)機(jī)點(diǎn)高度的計(jì)算結(jié)果偏差較大，關(guān)機(jī)點(diǎn)的狀態(tài)量中速度對全射程的影響更大，結(jié)果表明,本文方法能獲得較高精度的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)值和全射程量。

表5 射程和關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)量的計(jì)算偏差Table 5 Computing deviation of the range and the state at shutdown point

在相同的運(yùn)行環(huán)境下，利用數(shù)值積分算法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)推力和秒耗量為恒定值時(shí)，數(shù)值積分需用時(shí)26.55 s，當(dāng)推力和秒耗量為真實(shí)值時(shí)，增加了推力和秒耗量的差值計(jì)算，用時(shí)45.42 s。數(shù)值積分計(jì)算過程中，每經(jīng)過一個(gè)時(shí)間步長，需計(jì)算當(dāng)前時(shí)間下的推力和秒耗量，就需要進(jìn)行一次插值計(jì)算，大大增加了計(jì)算量。在多次迭代計(jì)算的情況下，本文的方法只用了1.46 s，說明相比數(shù)值積分算法，本文的方法能以較高的計(jì)算速度獲得較高精度的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)和射程估算值。

5 結(jié) 論

1)提出適用于未減阻彈道和減阻設(shè)計(jì)彈道射程快速、高精度的計(jì)算方法。根據(jù)彈道導(dǎo)彈飛行過程中的速度計(jì)算公式，推導(dǎo)了基于導(dǎo)彈基本參數(shù)進(jìn)行射程估算的計(jì)算公式，可在彈道設(shè)計(jì)過程中根據(jù)設(shè)計(jì)的基本參數(shù)論證導(dǎo)彈是否滿足射程指標(biāo)，為參數(shù)的優(yōu)化提供依據(jù)，或根據(jù)現(xiàn)有工藝水平和具體外形估算外軍導(dǎo)彈的最大射程。

2)利用函數(shù)擬合近似計(jì)算阻力系數(shù)。對原有的氣動(dòng)阻力系數(shù)表通過函數(shù)分段擬合的方法計(jì)算氣動(dòng)阻力，保證了因阻力造成的損失速度的計(jì)算精度，提高了計(jì)算速度。

3)建立ΔV2k和ΔV3k的迭代模型。將近似計(jì)算結(jié)果作為初值代入迭代模型進(jìn)行計(jì)算，提高了關(guān)機(jī)點(diǎn)速度的計(jì)算精度。經(jīng)過高度和氣動(dòng)系數(shù)的迭代計(jì)算能快速有效得到滿足精度的計(jì)算結(jié)果。通過減阻設(shè)計(jì)，整個(gè)飛行過程關(guān)機(jī)點(diǎn)的速度增加61.69 m/s，導(dǎo)彈的射程增加了162.36 km，增程的效果明顯。

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RangeEstimationandAnalysisforExtendedTrajectoryBasedonDragReductionDesign

LING Wang-hui, XIAN Yong, GUO Wei-lin, LI Jie, ZHANG Da-qiao

(7th Department, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

In order to realize the quantitative analysis of the trajectory and the evaluation of the extend range by using the drag reduction design, a fast and accurate estimation method is proposed based on the basic parameters of a missile. By establishing a drag reduction model, an aerodynamic drag coefficient table is calculated. Then the speed calculation formula is integrated item by item. The initial value of the state at the shutdown point and the range are obtained by the height approximation and the fitting aerodynamic coefficient. After the iteration, the result satisfies the accuracy requirements of the range. The simulation results show that the heuristic calculation of the height and the aerodynamic coefficients can effectively and quickly get the satisfying results. Under the drag reduction design, the final missile range is increased by 162.36 km and the extended-range effect is obvious.

Drag reduction design; Trajectory extension; Range rapid estimation; Aerodynamic coefficient fit; Iteration

TP 731

A

1000-1328(2017)10- 1048- 09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.10.005

2017- 05- 24;

2017- 07- 19

凌王輝(1992-)，男，碩士生，主要從事飛行器設(shè)計(jì)、制導(dǎo)方面的研究。

通信地址:陜西省西安市灞橋區(qū)同心路2號(710025)

電話:15399420435

E-mail:ling_wanghui@163.com