例談特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用

薛日琴

（福清第二中學(xué)，福建 福州 350300）

例談特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用

薛日琴

（福清第二中學(xué)，福建 福州 350300）

選擇題具有靈活多變、知識(shí)覆蓋面廣等特點(diǎn)。選擇題的答案包含在四個(gè)選項(xiàng)中，往?？梢岳锰厥饣乃枷敕椒ㄇ蠼?，選擇題求解時(shí)的特殊化思想，包括利用特殊值、特殊圖形、特殊函數(shù)、特殊位置等多種方法。

特殊化思想；選擇題；特殊化

在全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中，選擇題數(shù)量多，占分比例高，具有概念性強(qiáng)、量化突出、知識(shí)覆蓋面廣、解法多樣化等特點(diǎn)，考生能否迅速、準(zhǔn)確、全面、簡(jiǎn)潔地求解選擇題，往往是能否取得較好成績(jī)的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)選擇題一般是容易題或中難題，壓軸部分有個(gè)別難題，當(dāng)中許多問(wèn)題的解答可使用特殊方法。解答選擇題，要立足通性通法，也要看到選擇題題型的特殊性，充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地找到正確選項(xiàng)。

筆者結(jié)合教學(xué)中積累的部分典型題例，對(duì)特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行了思考，總結(jié)歸納了以下四種不同的途徑與方法。

一、將字母數(shù)值特殊化

對(duì)于一些含有變量的問(wèn)題，往往可以對(duì)其賦一些特殊值，以簡(jiǎn)化思維過(guò)程，達(dá)到問(wèn)題求解的目的。

例1（2017年全國(guó)I卷理數(shù)第11題）設(shè) x,y,z為正數(shù)，且 2x=3y=5z，則

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

分析：依常規(guī)方法，令2x=3y=5z=k＞1，得

以上解法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，事實(shí)上，只需令變量x取特殊值1，本題即可迎刃而解。

解析：令x=1，則3y=5z=2，可得y=log32，z=log52，從而2x=2，3y=3 log32=log38＜2x，5z=5 log52=log532＞2x，從而3y＜2x＜5z，選擇D。

例2（2017年福州市3月質(zhì)檢理數(shù)第9題）已知數(shù)列{an}中，a1=1，且對(duì)任意的m,n∈N*，都有am+n=am+an+mn ，則

分析：本題考查遞推數(shù)列，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。對(duì)于條件am+n=am+an+mn，很多學(xué)生不知道怎么對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，導(dǎo)致解題障礙。事實(shí)上，通過(guò)觀察選項(xiàng)，不需要條件am+n=am+an+mn，亦可求解本題。

二、將圖形狀態(tài)特殊化

對(duì)于一些問(wèn)題，如果題設(shè)給出的是一般化的圖形，往往可以將其特殊化為特殊圖形進(jìn)行求解。如條件給出的是一般三角形，往往可以考慮特殊化為直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等。如條件給出的是平行四邊形，往往可以考慮特殊化為矩形、菱形、正方形等。

例3（2017年福建省4月質(zhì)檢理數(shù)第9題）已知D,E是ΔABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是

分析：本題條件沒有具體指出ΔABC是什么三角形，故可將其特殊化為等腰直角三角形，以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

解析：將ΔABC特殊化為等腰直角三角形，不妨設(shè)AB=1，可求D,E坐標(biāo)分別為直線BC的方程為x+y=1。由于點(diǎn)P在線段DE上，D,E是BC的三等分點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)為，由，得 到，結(jié)合，可知選擇D選項(xiàng)。

例4(2017年福州市5月質(zhì)檢理數(shù)第10題)已知a,b,c分別是ΔABC的內(nèi)角 A,B,C所對(duì)的邊，點(diǎn) M為ΔABC的重心，若a

分析：本題中的條件“重心”，大部分學(xué)生不懂怎么應(yīng)用，而條件給的更是莫名其妙，學(xué)生難以入手。由于題設(shè)未限定ΔABC的形狀，故本題可將ΔABC特殊化為特殊的圖形。

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，不妨設(shè)ΔABC是以A為直角，腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，可求各點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0)、，故可排除A選項(xiàng)。同樣，對(duì)于B選項(xiàng)，可構(gòu)造以C為直角，腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以將之排除掉。對(duì)于C選項(xiàng)，可構(gòu)造以以頂角，腰長(zhǎng)為1的等腰三角形，以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量，以將之排除掉。對(duì)于D選項(xiàng)，構(gòu)造以以頂角，腰長(zhǎng)為1的等腰三角形，以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)為，可知D選項(xiàng)符合題設(shè)條件，選擇D。

評(píng)注：求解向量問(wèn)題，往往可以通過(guò)向量運(yùn)算或坐標(biāo)方法。單純的向量運(yùn)算，需要尋找各種量之間的相互聯(lián)系，思維量比較大。運(yùn)用坐標(biāo)方法求解，往往會(huì)相應(yīng)增加運(yùn)算量，但思維跨度較小，相對(duì)更易理解和操作。

三、將抽象函數(shù)特殊化

對(duì)于一些與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，我們往往可以通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造一些特殊函數(shù)，以求解符合題設(shè)條件的函數(shù)，再利用排除法求解題目，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。至于構(gòu)造特殊函數(shù)，往往可以從簡(jiǎn)單的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等入手進(jìn)行逐個(gè)嘗試。

例5（2016年全國(guó)甲卷理數(shù)第12題）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿 足 f(-x)=2-f(x)，若 函 數(shù)與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為 (x1,y1)，(x2,y2)，… ，(xm,ym)，則

A.0 B.m C.2m D.4m

分析：本題為選擇題的把關(guān)題，同樣很多學(xué)生卡在了條件 f(-x)=2-f(x)上。事實(shí)上，可構(gòu)造特殊函數(shù)來(lái)求解此類題。

解析：嘗試令 f(x)=ax+b，由條件 f(-x)=2-f(x)可得 b=1，則 f(x)=ax+1，不妨設(shè) a=1，得 f(x)=x+1。可求函數(shù)與y=x+1交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,2)，故 m=2=-1+1+0+2=2。當(dāng) m=2選項(xiàng)中能算得2的只有B選項(xiàng)，故選擇B。

例6（2017年龍巖市3月質(zhì)檢理數(shù)第12題）已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，其 導(dǎo) 函 數(shù) 為 f′(x) ， 當(dāng) x＜-1 時(shí) ，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]＜0 ，則不等式 xf(x-1)＞f(0)的解集為

A.(1,+∞) B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)?(1,+∞)

分析：本題同樣為選擇題的把關(guān)題，常規(guī)方法處理思維跨度大，對(duì)于程度中等或中下的學(xué)生比較難，下面筆者構(gòu)造特殊函數(shù)法來(lái)求解之。

解析：嘗試令 f(x)=ax+b，由于其關(guān)于(-1,0)中心對(duì)稱，可得 -a+b=0 ，則 f(x)=ax+a ，f′(x)=a ，得(x+1)[ax+a+a(x+1)]=2a(x+1)2，由2a(x+1)2＜0得a＜0，可取 a=-1，從而 f(x)=-x-1，xf(x-1)＞f(0)即x[-(x-1)-1]＞-1，解不等式得-1＜x＜1，故選擇C。

四、將位置關(guān)系特殊化

求解選擇題，除了關(guān)注題設(shè)條件，認(rèn)真觀察選項(xiàng)之間的差異也很重要，這些差異是問(wèn)題求解的關(guān)鍵，且差異往往“差”在特殊位置，用好它，能收到事半功倍的效果。

例7（2016年福州高一第二學(xué)期期末質(zhì)檢第11題）如圖，點(diǎn)P是半^徑為1的半圓弧AB上一點(diǎn)，若AP長(zhǎng)度為x，則直線AP與半圓弧AB所圍成的圖形的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象為

分析：不看選項(xiàng)，直接根據(jù)題設(shè)條件求S與x的關(guān)系，再畫圖求解，顯然這種方法是最不明智的。事實(shí)上，觀察4個(gè)選項(xiàng)，在這一特殊位置，S的取值存在差異，從這方面入手，結(jié)合排除法，即可快速求解本題。

例8（2017年福建省4月質(zhì)檢理數(shù)第10題）空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，E,F分別是 AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于

分析：幾何體的外接球問(wèn)題是常見題型，可是本題的題設(shè)條件并不常見，故本題得分率較低。常規(guī)方法需要根據(jù)條件EF⊥AB，EF⊥CD推導(dǎo)得到球心在EF上，并不易想到，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力。事實(shí)上，在保證AB、CD、EF三條線段長(zhǎng)度不變的前提下，可將AB繞著E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，CD繞著F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使兩條線段趨向于一個(gè)特殊位置，即AB//CD（在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，球的半徑總是保持不變），這樣可將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行處理。

解析：考慮AB//CD這種臨界位置，根據(jù)對(duì)稱，顯然球心O在線段EF上，設(shè)OE=x，則OF=4-x，由勾股定 理 得 42+x2=22+(4-x)2，解 得

選擇題的解答思路不外乎直接法和間接法兩大類，直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時(shí)間不允許，甚至有些題目根本無(wú)法解答。因此，還要求學(xué)生掌握一些特殊的解答選擇題的方法，在平時(shí)的練習(xí)中有意識(shí)地進(jìn)行應(yīng)用，反復(fù)體味，以提高自己在這方面的能力，達(dá)到“多一點(diǎn)想的，少一點(diǎn)算的”的思維訓(xùn)練。

［1］連佑平.特殊化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（5）.

［2］呂建恒.特殊化思想在解題中的功能［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1994（7）.

［3］王新宏.探究特殊與一般思想在高考中的應(yīng)用［J］.河北理科教學(xué)研究，2016（6）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）