例談中職學生解分式不等式的錯誤與分析

沈洪津

摘要：中職學生在數學學習過程中，發(fā)生一些錯誤是在所難免的，這錯誤并不是洪水猛獸，相反，教師要充分的利用這些錯誤提高教學質量。本文主要從“分式不等式的解法”中發(fā)生的錯誤來進行展開和分析，教師如何利用“錯誤”，讓“錯誤”生動起來。

關鍵詞：錯誤分式不等式

數學是中職的一門基礎課程，而較大部分中職校生基礎薄弱，學起數學來都非常艱難，比如分式不等式這個知識點本身不算抽象，但學生在解題過程中還是發(fā)生了很多不可思議的錯誤。教材中介紹了兩種分式不等式的解法：一種是分類討論法，另一種是化為整式不等式。鑒于學生的基礎及學習的不自信等原因，兩種方法都講，學生可能覺得很亂，甚至容易混淆，因此，筆者采用第二種方法：化商為積，變成一元二次不等式來求解。之所以這樣設計，是因為學生剛學完一元二次不等式，學生應該容易過渡和轉化，但事實并沒有達到預期的效果。英國心理學家貝恩布里奇認為，錯誤人皆有之，作為教師不去利用這些差錯是不可原諒的。學生在解題過程中出現錯誤是正常的，這才是他們最真實的思想，所以本文結合學生作業(yè)中出現的錯誤進行了分析研究，為改善數學教學作個拋磚引玉的作用。

好些中職學生的認知特點是比較籠統(tǒng)和模糊的，感知事物的能力不仔細、不全面；往往只注意到一些孤立的、感覺上的表象，不去仔細觀察事物之間的聯系和特征，感知的印象缺乏整體特征，很容易出現感知錯誤。比如圖1和圖2，這兩個不同的學生，基本上都掌握了解分式不等式的要領，但在運算過程中都沒有將減數看成一個整體，圖2中還有其他的錯誤。學生在首次感知新知識時，能在大腦皮層留下深深的印象。如果首次感知不準確，造成的不良后果在短時間內難以清除，其實這些學生的錯誤是從初中甚至小學都一直這樣錯過來的，他們在解題過程中通常是不能綜合運用識別能力、記憶能力和信息加工能力等來完成任務

先前形成的一元二次不等式的解法：系數化正后畫草圖，再根據圖象大于取兩邊，小于取中間得出解集，這些知識、經驗、習慣，都會使學生形成認知的固定傾向，從而影響后來的分析、判斷，形成“思維定勢”——即思維總是擺脫不了已有“框框”的束縛，表現出消極的思維定勢。如圖3、圖4這兩個學生的解答，化商為積后，結構跟二次不等式的非常相似，學生就想當然地取了中間，明明沒有兩個根，卻硬是找了兩個根出來，比如圖3這個學生當成了是x（x+7）≤0的情形，而圖4這個學生就直接將系數-10當成了其中一個根。而圖5中，這個學生的解答是化商為積的過程中，忽略了分式中分母 這個條件。

思維定勢是客觀存在的，它發(fā)生正遷移時，是有利于學習新知識的，但常常產生了負遷移，這時學生就不能從多角度、全面地看問題，走入誤區(qū)，阻礙問題的解決。負遷移常發(fā)生在兩種既相似又有區(qū)別的情境下，發(fā)生這種遷移時會使新知識的學習更加困難。學習一元二次不等式的解法時，強調學生要將二次項系數化成正數，而分式不等式的教學中，也可總結出類似步驟： 系數化正 化商為積。結果有些學生在操作起來時將系數化正這個重要的動作提前做了，如圖6和圖7；而圖8這個學生第一步就化商為積了，第二步也是自創(chuàng)的一元二次不等式的解法，這些錯誤都是由于受二次不等式的解法影響產生了知識的負遷移而未能保證式子的等價變形。

（3）知識結構不完善引起的錯誤

解答數學問題時，常常要用到不需要學生會證明但能理解的正確的概念、性質、算理、法則、定律等基礎知識，這樣學生才能正確、靈活地加以運用，形成計算技能。概念不清、算理不理解都會導致對數學問題不能正確作答；對于計算法則、概念或運算順序沒有很好的掌握，學生在計算時就會出現錯誤，甚至出現張冠李戴的情況，可怕的是學生意識不到自己的錯誤。圖9圖10這兩種錯誤是學生不理解符號法則所引起；圖11中，學生的錯誤是由分式性質這個知識點不全面引起的，學生已經默認分母x是正數直接去了，沒有分類討論也沒有按移項化為整式去解。

上述是幾種中職學生解分式不等式的錯誤，其中的原因并不是孤立存在的，它們相互交叉并相互影響著。這些錯誤實際是帶有普遍性的，教師充分地利用這些錯誤，讓學生在在學習過程中經歷從不知到知，從知之不多到知之較多。

首先，是對數學計算法則、數學概念、原理沒有深入理解，忽視了公式定理適用的條件，亂套亂用公式；其次是分析問題能力弱，只看到局部不顧整體，單憑自身的主觀意識，主動地“創(chuàng)造”學生本人才懂的數學計算法則、公式等；最后，學生欠缺自主思考的習慣和能力，經常死記硬背公式或老師總結的方法，結果是題型稍作變化甚至只是更換數字，學生就不理解而胡亂地張冠李戴。

心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”如果我們能進一步分析學生犯錯誤的原因，透過錯誤發(fā)現有關問題，在錯誤上面做些文章，就可變“錯”為“寶”。要做到這些，教師可在三個時間節(jié)下功夫。

首先是課前，教師如果能預見到學生在學習這個新知識點時可能會與學生原有知識結構的缺陷發(fā)生沖突，在課內講解時就可以有意識地指出并加以強調，從而有效地減少錯誤的發(fā)生。其次是課內，由于學生可能會混淆一元二次不等式的解法與分式不等式的解法，教師在課內講解時可以引導學生用對比的方法，弄清它們的聯系與區(qū)別。最后是課后，教師要認真分析學生作業(yè)中的問題，總結出典型錯誤，這個形式可以根據實際情況靈活操作，比如可以在課堂上讓學生在黑板展示多數人都有的共性錯誤、也可以在課室開辟出一個角落，展示學生有代表性的錯誤，讓大家一起參與討論錯誤的原因，尋找解決的辦法。除了不同的地方展示以外，還要引導學生建立錯題本，這樣學生可以隨時隨地的復習與總結。

在教學過程中，細心的老師會發(fā)現有相當一部分學生對于相同的錯誤是屢犯不止的，首先老師要平和、理智地看待，然后要充分利用好這些錯題資源，讓“錯誤”生動起來、美麗起來，學生才能不斷地獲得新知識并從中獲得學習數學的樂趣。endprint