Lomax分布族形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes雙側檢驗

黃金超

（滁州職業(yè)技術學院 基礎部，安徽滁州 239000）

Lomax分布族形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes雙側檢驗

黃金超

（滁州職業(yè)技術學院 基礎部，安徽滁州 239000）

文章在“平方損失”下，研究了Lomax分布族形狀參數(shù)經(jīng)驗Bayes（EB）雙側檢驗問題，利用概率密度函數(shù)的遞歸核估計，構造了形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)，證明了所提出的經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)的漸近最優(yōu)（a.o.）性，并獲得了其收斂速度。

密度函數(shù)的遞歸核估計；經(jīng)驗Bayes檢驗；漸近最優(yōu)性；收斂速度；雙側檢驗

0 引言

經(jīng)驗Bayes檢驗問題在以往的文獻中已有相當多研究,如文獻[1-7]等對其做了不同程度的研究工作，并得到了一些有意義的結果。彭家龍等[8]在“線性損失”下研究了Lomax分布族形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes單側檢驗。但是目前幾乎所有這些研究EB檢驗問題的文獻，都是利用密度函數(shù)的普通核估計來構造參數(shù)的EB檢驗，本文利用密度函數(shù)的遞歸核估計來研究Lomax分布族形狀參數(shù)的EB雙側檢驗問題。本文采用“平方損失”和遞歸核估計研究參數(shù)的雙側EB檢驗，這是與以往文獻和彭家龍等[8]的主要不同之處。

考慮如下模型[8]：設隨機變量X條件概率密度：

其中，m和θ分別為尺度參數(shù)和形狀參數(shù)（m＞0），假定m為已知常數(shù)，樣本空間為參數(shù)空間為θ=G(θ)。

Lomax分布在可靠性理論、商業(yè)故障數(shù)據(jù)分析和壽命試驗研究中，有著很廣泛地應用，Lomax分布被視為指數(shù)伽瑪?shù)幕旌戏植?，亦可稱為第二型的Pareto壽命分布。另外，利用的遞歸核估計來研究該分布參數(shù)的EB雙側檢驗，據(jù)所知，文獻中還沒有報道，因此研究Lomax分布族形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes雙側檢驗有非常重要的意義。

設參數(shù)θ的先驗分布為G(θ),考慮分布族（1）中參數(shù)θ的如下EB雙側檢驗：

此處θ1和θ2為已知正常數(shù),如果取和則雙側檢驗（2）等價于：

對假設檢驗（3）,取下列“平方損失”函數(shù)為：

這里a是正常數(shù),j=0,1,D={d0,d1}是行動空間,d0表示接受H*0,d1表示否定H*0,I[A]表示示性函數(shù)。設隨機化判別函數(shù)為：

則δ(x)的Bayes風險函數(shù)為：

此處：

其中：

由式（6）易見Bayes判決函數(shù)為：

其Bayes風險為：

上述風險當G(θ)已知,且δ(x)=δG(x)是可以達到的,但G(θ)未知,故δG(x)無使用價值,因此引入EB方法。

1 EB檢驗函數(shù)的構造

本文設X1,X2,…,Xn和X是iid樣本序列,且密度函數(shù)為f(x),稱X1,X2,…,Xn為歷史樣本,X為當前樣本,同分布樣本作如下假定：

(A)f(x)∈Cs,α,假定Cs,α為R1中一族概率密度函數(shù),其s階導數(shù)存在,且| |f(x) ≤α,s＞4為正整數(shù)。

令Kr(x)(r=0,1,…,s-1)是有界Borel可測函數(shù),在（0,1）之外為0,且滿足條件

記f(0)(x)=f(x),f(r)(x)為f(x)的第r階導數(shù)，r=0,1,…s，類似文獻[9]f(r)(x)的遞歸核估計定義為：

其中hn↓0,Kr(x)是滿足條件(B)的核函數(shù),以上估計具有一種遞歸性質,即：

由以上遞推公式可知,用遞歸核估計去估計f(r)(x)時,可以通過以上遞推公式進行遞歸計算,在樣本點增加的情形下不需要重復計算所有項,僅需計算新增加項,采用普通的核估計須重新計算所有項,這樣能夠大大減少計算量。另一方面遞歸核估計在不同區(qū)間可以取不同的窗寬,克服了估計的過度平滑和過度銳化,能較為全面地刻畫密度函數(shù),因此提高了估計的效率。

由式（10）和式(13)定義α(x)的估計量：

故EB檢驗函數(shù)定義為：

令En表示對r.v.X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布求均值,則δn(x)的全面Bayes風險為：

本文中c,c0,c1,c2…表示不依賴n的正常數(shù)。

證明（1）由Cr不等式可知,對r=0,1,2有：

由式（13）和核函數(shù)的性質，可知：

由Taylor展開得：

將式（19）代入式（18）得：

由f(x)∈Cs,α,及可知：

再由f(x)∈Cs,α,及，可知：

將式（23）和式（24）代入式（17），結論（1）成立。

（2）由Cr不等式可知：

由式（21），得：

將式（26）和式（27）代入式（25），結論（2）成立。

注：當λ→1,s→∞ 時可任意接近O(n-1)。

引理2：令R(G)和Rn分別由式（12）和式（16）給出，則：

證明：見文獻[1]引理1。

2 EB檢驗函數(shù)的主要結果

定理 1：設δn(x)由式（15）給出，其中X1,X2…Xn為iid樣本序列,若條件（A）和（B）成立,如果：

（3）f(r)(x)為x的連續(xù)函數(shù)

證明：由引理2知：

由式（8）和Fubini定理可得：

由控制收斂定理,知：

由引理1（1）知,對x∈χ,當 r=0,1,2時有：

將式（30）代入式（29）定理得證。

定理2：設δn(x)由式（15）定義，其中X1,X2,…,Xn為iid樣本序列，且假定（A）和（B）成立，如果0＜λ＜1，有：

證：由引理2和Markov不等式,知：

再由引理1（2）的條件得：

再將式（32）至式（34）代入式（31），定理得證。

注：當λ→1,s→∞時可任意接近

3 例子

在模型（1）中，令m=1，則隨機變量X分布為f(x|θ)=θ(1+x)-(θ+1)I(x＞0),取f(x)∈Cs,α的先驗分布為：

其中β＞0,0＜λ＜1。所以有：

由式（10）知：

因此有下列結論：

①由式（36）易見f(x)為x任意階可導，導函數(shù)連續(xù)且一致有界，即f(x)∈Cs,α

由于β＞0,0＜λ＜1，③的積分為第1類反常積分，當(β+1)(1-λ)-wλ＞1時，即，③的積分收斂。

由①—③可知，定理1和定理2條件均成立。

4 結束語

本文在獨立同分布（iid）樣本下采用“平方損失”和遞歸核估計研究了Lomax分布族形狀參數(shù)經(jīng)驗Bayes(EB)雙側檢驗問題，構造形狀參數(shù)EB檢驗函數(shù)，在適當?shù)臈l件下，證明了所提出的經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)的漸近最優(yōu)（a.o.）性，并獲得了其收斂速度。給出滿足定理條件的一個例子。推廣現(xiàn)有文獻研究Lomax分布族形狀參數(shù)EB檢驗的相應結果。

[1]Johns MV Jr Van Ryzin J.Convergence Rates in Empirical Bayes Two-action Problems 2:Continuous Case[J].Ann.Math.Statist 1972,(42).

[2]Van Houwelingen J C.Monotone empirical Bayes Test for the Continuous One-parameter Exponential Family[J].Ann Statist.1976.(4).

[3]Liang Tachen On Empirical Bayes Tests in a Positive Exponential Family[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2000,(83).

[4]Liang Tachen On Optimal Convergence Rate of Empirical Bayes Tests[J].Statistics&Probability Letters,2004,(68).

[5]韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題NA樣本情形[J].應用數(shù)學學報,2000,(23).

[6]黃金超，凌能祥.Lomax分布族形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)的收斂速度[J].數(shù)學進展，2016,45(2).

[7]陳家清,劉次華.線性指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2008,28(5).

[8]彭家龍,趙彥暉，袁瑩.舍入數(shù)據(jù)下Lomax分布形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題[J].數(shù)學雜志，2014,34(4).

[9]樊家琨.概率密度函數(shù)及其導數(shù)遞歸核估計的強相合性[J].河南大學學報:自然科學版,1992,22(2).

Empirical Bayes Two-sided Test for Shape Parameter of Lomax Families

Huang Jinchao

(Department of Basic Courses,Chuzhou Vocational Technical Institute,Chuzhou 239000,China)

Under squared loss,this paper investigates the empirical Bayes(EB)two-sided test of shape parameter for Lomax distribution family,and uses recursive kernel estimation of probability density function to construct the empirical Bayes test function of shape parameter.Finally the paper verifies the asymptotically optional property and convergence rates of the proposed EB test rules.

recursive kernel estimation of density function;empirical Bayes test;asymptotically optimality;convergence rates;two-sided test

O212.1

A

1002-6487（2017）20-0030-04

安徽高校省級自然科學基金重點資助項目（KJ2015A345；KJ2015A372）；安徽省高校優(yōu)秀青年骨干人才國內訪學研修項目（gxfx2017225）；滁州職業(yè)技術學院質量工程教學研究資助項目（zlgc2015044）；滁州職業(yè)技術學院校級重點研究項目（YJZ-2016-01）

黃金超（1974—），男，安徽鳳陽人，碩士，副教授，研究方向：應用統(tǒng)計與風險決策。

(責任編輯/亦 民)