多元變量最值問題的求解策略與探究

江蘇省丹陽市教師發(fā)展中心(212300) 汪正文

多元變量最值問題的求解策略與探究

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多元變量最值問題在近幾年高考或各類測試中頻頻亮相.由于其綜合性強,思維跨度大以及對變形化歸能力要求高等特點,常成為小題中的壓軸題.此類問題若缺乏一些必要的策略與應(yīng)對方法,往往使解題陷入困境.本文就以近幾年高考題或模擬題為例剖析解決此類問題的一些有效策略,以饗讀者.

一、消元法

多元變量問題最基本的思路就是將多元化為一元或二元問題,從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或利用不等式知識予以解決.

1.代入消元

利用已知條件中的等式,選擇一個變量表示其余變量,將多元變量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.

例1已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,則xyz的最大值為___.

解析 由題意得,由1○2○得,xy=z2?z?1,則令f(z)=xyz=z3?z2?z,又利用導(dǎo)數(shù)知識即可解得

評注 根據(jù)已知條件,通過合理降元,化多元為一元,從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.本題沒有引進新的變量,而是采用代入消元,但需挖掘隱含條件確定保留變量的范圍.

2.放縮消元

利用不等關(guān)系,采用主元思想進行逐步放縮,從而達到降元的目的,同時需注意檢驗等號能否取得.

例2 若實數(shù)x,y,z,t滿足1≤x≤y≤z≤t≤10000,則的最小值為____.

解析 由已知變量間的不等關(guān)系知,x≥1,t≤10000,z≥y,依次放縮x,t,z得,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,t=10000,y=z=100時,不等式“=”成立,此時的最小值為

評注 本題是一個四元變量問題,條件是顯性的不等關(guān)系,可先后視x,t,z為主元,利用單調(diào)性放縮成一元變量問題,再利用基本不等式予以求解.

例3 已知A,B,C是平面上任意三點,BC=a,CA=b,AB=c,則的最小值是____.

解析 由于A,B,C是平面上任意三點,則有a≤b+c,所以

評注 本題利用隱性的不等關(guān)系a≤b+c,視y為a的函數(shù),利用單調(diào)性將三元放縮為二元齊次式,再通過換元將問題轉(zhuǎn)化為一元問題,最后利用基本不等式予以求解.

3.引參消元

解題時,有時需將式子的局部視為一個整體,通過引進新的變量代替它,以達到化簡或消元的目的,從而起到將非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化的效果.

圖1

例4 已知函數(shù)f(x)=|x2+2x?1|,若a＜b＜?1且f(a)=f(b),則ab+a+b的取值范圍是___.

解析 因為f(a)=f(b),由圖1知,

即(a+1)2+(b+1)2=4.令其中θ∈[0,2π),則

評注 本題中難以利用已知等式,采用a或b作為自變量代入消元,而需引進新的變量θ進行三角代換予以求解,本題的另一難點是需借助圖像壓縮a,b范圍,再確定新元的范圍.

例5 若實數(shù)x,y滿足2x2+xy?y2= 1,則的最大值為___.

解析 條件可化為(2x?y)(x+y)= 1,令

評注 當(dāng)條件可分解為ab=k(k為常數(shù))的形式時,此時可令a=t,進行中值代換消元;若條件可變形為a+b=2m(m為常數(shù))形式時,則可令a=m+t,b=m?t予以消元.當(dāng)然,本題也可通過變形直接使用均值不等式求解,

二、構(gòu)造法

構(gòu)造法是根據(jù)已知條件和目標(biāo)式子的結(jié)構(gòu)特征與性質(zhì),抓住條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系,用已知條件中的元素為“元件”,以已知關(guān)系式為“支架”,在思維中構(gòu)造出相關(guān)的新對象,使問題展現(xiàn)出來,并借助新對象使得原問題得到解決的思想方法.

1.構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)法是運用函數(shù)思想,對問題進行觀察與分析,構(gòu)造出與問題有一定聯(lián)系的函數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)將問題解決.

例6[1](美國第七屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)已知a,b,c,d,e是滿足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16的實數(shù),試確定e的最大值.

解析 令

又f(x)的二項式系數(shù)為正且f(x)≥0,可知

評注 直接利用條件來確定e的最值,非常困難,通過構(gòu)造一元二次函數(shù),由f(x)≥0恒成立,利用判別式即可快速求解,此法雖然巧妙,但其思維跨度大,構(gòu)造之路異常艱辛.

2.構(gòu)造斜率

例7 設(shè)正數(shù)a,b,c滿足則的取值范圍是___.

解析 由于b＞0,則條件可化為

點P(x,y)表示圖2中陰影部分,點,x∈設(shè)點Q(1,?2),則旋轉(zhuǎn)直線QP不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線QP與函數(shù)(x＞0)的圖像相切時,kQP最大.此時,設(shè)切點為切線

當(dāng)P在點處時,kQP最小,即

所以kQP∈[?5,?4].故的取值范圍為[?4,?3].

圖2

評注 當(dāng)條件呈現(xiàn)出三元的多個不等式組時,可考慮通過重組變量,換元后轉(zhuǎn)化為二元不等式組,再利用線性規(guī)劃知識求解,本題中目標(biāo)式子的斜率表征并不明顯,需作適當(dāng)?shù)淖冃?方可揭示出其斜率本質(zhì).

3.構(gòu)造距離

例8 已知x,y∈R,且y≥3,則(ex?y)2+(e?x?y)2的最小值為____.

解析 由目標(biāo)式子的結(jié)構(gòu)特征,可聯(lián)想到距離的模型.式子(ex?y)2+(e?x?y)2可視為點 (ex,e?x)與點 (y,y)間的距離的平方d2,其中點 (ex,e?x)在曲線(x＞0)上,點(y,y)在射線y=x(x≥3)上.設(shè)(x＞0)上一點由圖3知,動點(y,y)應(yīng)在P(3,3)處,PN2最小,則

則當(dāng)u=3,即時,(d2)min=7.

圖3

評注 數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是要能抓住式子的幾何意義,但本題也極易誤認為最小值是PM2=8,所以在運用數(shù)形結(jié)合解題時,一方面要借助“形”的直觀性認識數(shù),另一方面,還需將圖像問題代數(shù)化,借助于“數(shù)”的精準來闡明“形”的屬性,以獲取正確的結(jié)論.另外本題也可通過換元,令ex+e?x=t,將問題轉(zhuǎn)化為t的一元二次函數(shù),再討論求解.

例9 已知a,b∈R,a/=0,曲線,y=ax+4b+1.若兩條曲線在區(qū)間[3,4]上至少有一個公共點,則a2+4b2的最小值是____.

評注 本題若直接視為變量x的一元二次方程在[3,4]上有解,求出a,b間的不等關(guān)系,再利用線性規(guī)劃知識求解,操作起來幾乎不可能,但將方程視為點(a,2b)的直線,通過轉(zhuǎn)換思維角度,將問題化歸為求原點到直線的距離,從而達到出奇制勝的效果.

三、利用柯西不等式或基本不等式

例10 若正實數(shù)x,y滿足(2xy?1)2=(5y+2)(y?2),則的最大值__________.

解析 本題看似無從下手,但若從基本不等式的結(jié)構(gòu)特點考慮,則思路一目了然.由和有最大值,則平方和應(yīng)為定值,故可考慮將條件向平方和方向變形.由

另解 由條件的結(jié)構(gòu)特點聯(lián)想到等比中項,由

成等比數(shù)列,設(shè)公比為q(q＞1),將用q表示,則

評注 本題是通過觀察結(jié)構(gòu)特征,利用基本不等式求解,其關(guān)鍵是根據(jù)條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點,辨明選用何種不等關(guān)系,從而提供變形方向;當(dāng)然,也可令得2xy=2ty?1,將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程,再利用判別式求解.

例11(數(shù)學(xué)通報問題522)已知x+2y+3z+4u+5v=30,求w=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值.

評注 本題利用其他方法無法求解,但根據(jù)條件和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點,利用柯西不等式迅速獲解.

四、待定系數(shù)法

例12 若實數(shù)x,y∈R,且x2+2xy?y2=1,則x2+2y2的最小值是_______.

解析 由于條件和目標(biāo)式均為齊次式,且主要呈現(xiàn)的是積與平方和的關(guān)系,可考慮利用待定系數(shù)法放縮為平方和的形式.設(shè)又

另解 設(shè)x2+2y2=r2,令則

由于多變量函數(shù)最值問題的求解所涉及的知識面廣,思維跨度大、方法靈活多樣等特點,所以在面對具體問題時還需要用心觀察,仔細推敲,同時不斷加強學(xué)習(xí)和研究,只有這樣,在面對此類問題時方能從容應(yīng)對.

[1]張小雁.求一元或多元函數(shù)最值的若干策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2014(3):55-56