2017年高考全國I卷文理第22題試題分析與備考建議

廣東省廣州市第四中學(510170) 劉運科

2017年高考全國I卷文理第22題試題分析與備考建議

廣東省廣州市第四中學(510170) 劉運科

2017 年是廣東使用全國I卷的第二年,今年有超過90%的考生在第22題、第23題之間選擇了第22題.本文結合考生的答題情況,對第22題進行了分析,給出了備考建議,希望對“坐標系與參數(shù)方程”的高考備考教學有所啟發(fā).

一、原題及解法

1.原題 (2017年高考全國I卷文理第22題)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為

直線l的參數(shù)方程為

(1)若a=?1,求C與l的交點坐標;

(2)若C上的點到l的距離的最大值為求a.

2.分析 本題主要考察的知識點有:曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化,直線與曲線的位置關系(相交、相離),解方程(組),點到直線(兩平行線)的距離公式,三角函數(shù)的輔助角公式(合一變形),三角函數(shù)的值域等.本題涉及到的數(shù)學思想方法有:轉化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想等.

3.解答

第一問解法一a=?1時,直線l的方程為x+4y?3=0.曲線C的標準方程是聯(lián)立方程

解得C與l交點坐標是(3,0)和

第一問解法二 由a=?1得到

其中t,θ為參數(shù).故消去θ可得25t2?26t+1=0,解得t=1或.t=1時,得交點(3,0);時,得交點.故C與l交點坐標是(3,0)和

第一問解法三 由a=?1得到

其中t,θ為參數(shù).故

消去t可得4sinθ+3sinθ=3.由

注 只有極個別考生用解法二、解法三的方法求交點.第(1)問的思維上不存在難點,考生主要因為計算能力薄弱而失分.

第二問解法一 直線l一般式方程為:x+4y?4?a=0.設曲線C上任意一點坐標為P(3cosθ,sinθ),則P到l距離

由?1≤sin(θ+φ)≤1,可得

故|5sin(θ+φ)?4?a|max=max{|?9?a|,|1?a|},

令|?9?a|=|1?a|,得a=?4.

①當a≤?4時,|?9?a|≤|1?a|,從而有

0≤|5sin(θ+φ)?4?a|≤|1?a|,

由|1?a|=17,得a=?16或a=18(舍去);2

②當a＞?4時,|?9?a|＞|1?a|,從而有

0≤|5sin(θ+φ)?4?a|≤|?9?a|,

由|?9?a|=17,得a=8或a=?26(舍去).

綜上,a=?16或a=8.

令判別式 ?=64b2?4×25×(b2?9)=0,

得b=±5,故橢圓與直線l平行的切線為x+4y±5=0.①當a＞?4時,直線l∶x+4y?4?a=0與l2∶x+4y+5=0的距離解得a=8或a=?26(舍去);

②當a≤?4時,直線l∶x+4y?4?a=0與l2∶x+4y?5=0的距離解得a=?16 或a=18(舍去).

綜上,a=?16或a=8.

注 多數(shù)考生采用解法一,少數(shù)考生用解法二.第(2)問最大的難點在于分類討論,或者是求得了四個a的值,不知道如何取舍.

二、考生典型錯誤分析

第一問考生的典型錯誤如下

1.基本概念不清

(1)混淆參數(shù)方程與極坐標:由

推得

2.計算能力薄弱

第二問考生的典型錯誤如下

(2)審題失誤,且基本方法錯誤:誤以為是直線截橢圓的弦長等于將直線的非標準參數(shù)方程代入橢圓方程再得韋達定理,將其代入弦長公式得a.

(3)基本公式記憶錯誤:點P(x0,y0)到直線l的距離公式出現(xiàn)各種錯誤,如等.

(4)基本方法錯誤:對3cosθ+4sinθ進行合一變形時,出現(xiàn)各種錯誤,如 3cosθ+4sinθ=25sin(θ+37°)、

(5)不會用函數(shù)方法、分類討論來解方程:

一些考生直接由|1?a|=17或|?9?a|=17,得a=?16或a=18或a=8或a=?26,不知道如何取舍.

(6)用解法二時計算錯誤:聯(lián)立計算錯誤、判別式計算錯誤、切線錯誤.

(7)用解法二時求得了四個a的值,不知道如何取舍,或講不清為什么舍去另外兩個.

(8)解題不夠嚴謹:如合一變形時,未指出輔助角φ的含義;最后一步不能正確地分類討論,求得了四個a的值,不知道如何取舍,或講不清為什么舍去另外兩個.

(9)答題條理混亂,不夠規(guī)范,缺乏必要的解題步驟.

三、備考建議

針對考生出現(xiàn)的上述錯誤,對“坐標系與參數(shù)方程”的高考備考教學,有如下建議:

1.要重視基本概念、基本方法的教學

(1)重視基本概念的教學,區(qū)分易混淆的概念.

在教學中要抓住關鍵,引導學生理解基本概念.例如,參數(shù)方程教學中,要讓學生理解幾個關鍵問題:什么叫參數(shù)方程?參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別是什么?如何互化?幾種常見曲線的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義是什么?參數(shù)方程有哪些簡單的應用?

(2)重視基本方法的教學.

對于常見的知識點,要總結方法,對比方法.例如,求圓的弦長,常見方法有:勾股定理、結合直線的標準參數(shù)方程的弦長公式(|AB|=|t1?t2|)、極坐標系中過極點的弦長公式(|AB|=|ρ1?ρ2|)、一般的弦長公式等.重視解題關鍵步驟,關注細節(jié),形成解題技能.例如,求圓(橢圓)上的點到直線的最短距離問題,要讓學生搞懂解題關鍵步驟:畫圖—設點的參數(shù)方程—代入距離公式—三角函數(shù)合一變形—三角函數(shù)的值域.

2.要加強計算能力的培養(yǎng)

(1)重視審題指導.

個別考生審題太快,看錯題目,或思維固化,受記憶中的題目的干擾,錯誤地理解題意,導致審題失誤,整體解題方向錯誤.在平時的教學中,要重視審題指導,提醒學生認真讀題,認真分析題目,不要先入為主,準確理解題意,選擇正確的解題方向.

(2)重視公式和定理的推導過程.

為什么有考生忘記或用錯“點到直線的距離公式”?有的考生是考試緊張所致,更多的考生是因為沒有理解公式,既不知道公式的由來,也不知道公式中字母的含義.在平時的教學中,要重視公式和定理的推導過程,分析公式定理的意義,幫助學生準確記憶、正確使用公式和定理.

(3)重視推理的嚴謹性,規(guī)范答題,做好解題示范.

考生一些計算錯誤,簡單地看,是粗心大意,實際上是解題習慣不好.在平時的教學中,要重視推理的嚴謹性,規(guī)范答題,做好解題示范,不省略,不跳步,幫助學生養(yǎng)成良好的解題習慣.

(4)重視解題反思,重視方法的總結與對比.

3.要注意滲透數(shù)學思想方法

本題第二問較難,得分率低.主要有兩種解法:函數(shù)法、平移相切法,思路如下:橢圓上的點到直線距離最遠?點的參數(shù)方程代入距離公式,得到θ的函數(shù)?函數(shù)的最大值為橢圓上的點到直線的距離最遠?直線平移與橢圓相切平行線間的距離為

多數(shù)考生用解法一.解法一的難點在于解方程:|5sin(θ+φ)?4?a|max=17.解此方程,本質上是用函數(shù)方法:令f(θ)=5sin(θ+φ)?4?a,由三角函數(shù)的有界性,易知f(θ)∈[?9?a,1?a];從而fmax(θ)=max{|?9?a|,|1?a|};令|?9?a|=|1?a|得a=?4,從而再按a≤?4,a＞?4進行分類討論,難點得以突破.

如果用平移相切法,數(shù)形結合,有一種更簡潔的解法:先求得兩條切線x+4y±5=0,畫圖,再求出在橢圓上方且與直線l1∶x+4y+5=0距離為的直線方程x+4y?12=0,同理可求在橢圓下方且與直線l2∶x+4y?5=0距離為的直線方程x+4y+12=0,從而直線x+4y?4?a=0就是直線x+4y?12=0、x+4y+12=0,得a=?16或a=8.用這種方法,避免了分類討論,思路直觀,過程簡潔優(yōu)美.

圖1

波利亞說過,完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路.數(shù)學思想方法是解題的指導思想和基本策略,在平時的教學中,要注意滲透數(shù)學思想方法,這對于學生在數(shù)學學習過程中,理解問題的數(shù)學本質,激發(fā)學習興趣,促進思維發(fā)展,提高認知能力,發(fā)展創(chuàng)造能力,大有裨益.

[1]王印凡.2016年高考文、理科數(shù)學第23題廣東考生答卷分析與思考[J].中學數(shù)學研究,2016(10).

[2]簡洪權.高中數(shù)學運算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中學數(shù)學教學參考,2000(12).