長桿彈超高速侵徹半無限靶理論模型的對比分析與討論

孔祥振， 方 秦， 吳 昊， 龔自明

(解放軍理工大學 國防工程學院 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007)

長桿彈超高速侵徹半無限靶理論模型的對比分析與討論

孔祥振， 方 秦， 吳 昊， 龔自明

(解放軍理工大學 國防工程學院 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007)

分別基于六組典型長桿彈超高速侵徹金屬靶體以及三組長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的實驗數(shù)據(jù)，對經(jīng)典一維AT模型及其五個改進模型對彈體侵徹深度的預測能力進行了評估，并討論了靶體等效強度(Rt)變化以及彈體的軸線速度變化。計算結(jié)果表明，對于長桿彈高速侵徹金屬靶體的分析計算，應首選AW模型，其次為LW模型。而對于混凝土靶體，已有有限的實驗數(shù)據(jù)表明，上述六個模型對于長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體侵徹深度預測均不適用，其主要原因在于Rt不能反映超高速侵徹下混凝土靶體的響應。最后基于分析結(jié)果，給出了長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體進一步的研究方向。

高速侵徹；理論模型；侵徹深度；混凝土

長桿高速穿甲彈是目前各國普遍采用的反坦克、裝甲車、艦艇和附有裝甲工事的主要武器之一。它具有硬度高、速度快、長細比大等特點，對攻擊目標的侵徹能力遠遠地超過了舊式穿甲彈。簡化的分析模型對于進一步發(fā)展和積極防御該彈種都有重要的意義。高速沖擊下，彈靶材料發(fā)生復雜的變形和破壞，且彈靶間壓力遠高于材料強度，彈靶可近似作為流體處理?；趯嶒炗^察，Eichelberger等[1]提出了長桿彈高速侵徹半無限靶的四個階段，即：初始瞬態(tài)階段、準定常侵徹階段、慣性擴展階段和彈性恢復階段，其中，初始瞬態(tài)階段和彈性恢復階段貢獻較小，可忽略不計，而準定常階段占主導地位，是研究的熱點和重點。

基于Bernoulli方程，Tate[2-3]和Alekseevskii[4]各自獨立提出了修正的流體動力學一維模型(AT模型)，成為研究長桿彈高速侵徹的基礎理論。在過去的幾十年中，AT模型廣泛應用于工程設計(如彈體和防護材料的優(yōu)化)。近年來，基于AT模型，諸多學者提出了改進的理論模型。孫庚辰等[5]基于對坑底材料的流動分析，提出了新的軸向應力平衡方程，建立了長桿彈垂直侵徹半無限厚靶板的簡化模型(SWZS模型)；并進行了合金鋼彈侵徹裝甲鋼的實驗，將理論預測值和實測侵徹深度進行了對比分析。Rosenberg等[6]考慮到實際侵徹過程中長桿彈蘑菇頭中心到邊緣受力的不均勻性，通過引入等效截面積改進了Bernoulli方程，提出了RMM模型。Walker等[7]基于二維數(shù)值模擬結(jié)果，通過假設侵徹過程中應力場和速度場分布，并利用柱形空腔膨脹理論得到靶體阻力和瞬時侵徹速度的關系，進一步修正了AT模型，提出了AW模型。Zhang等[8]基于空腔膨脹理論，并假設長桿彈頭部為半球形，得到了彈靶交界面的平均壓力，并通過引入孔洞直徑和長桿彈直徑修正了軸向應力平衡方程，提出了ZH模型。Lan等[9]利用與空腔膨脹理論相似的方法，在靶體中定義不同的響應分區(qū)，并通過假設靶體中速度場分布，改進了Bernoulli方程，提出了LW模型。同時，也有學者另辟蹊徑，提出了新的長桿彈高速侵徹半無限靶模型，如Grace[10]提出的“有限質(zhì)量”模型，Rubin等[11-12]提出的速度勢分析模型，Jones等[13]提出的“工程應變”模型等。

然而，各模型均采用較少的實驗數(shù)據(jù)進行對比分析，且各模型對于彈靶性能參數(shù)的取值也不統(tǒng)一，各模型的預測能力值得商榷，因此有必要對各模型進行評估，給出使用建議。樓建峰[14]對六個分析模型進行了探討并討論了彈靶性能參數(shù)對侵徹深度的敏感性，但其只選取了Silsby[15]一組實驗數(shù)據(jù)，且各模型靶體阻力Rt均取為Tate形式[16]，與原模型相悖，并且未考慮慣性擴展階段的貢獻。

另外，新型高強合金材料和推進技術的發(fā)展以及防護工程的日益深地下化和堅固化，促使鉆地彈打擊速度越來越高，因此，長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的終點彈道效應研究引起了廣泛關注[17-22]。然而，上述模型均針對金屬靶體提出，能否推廣應用于混凝土等脆性材料靶體尚不明確。

本文在簡要介紹AT模型及其改進模型的基礎上(對“有限質(zhì)量”、“速度勢”和“工程應變”模型不做進一步討論)，基于Anderson等[23]六組典型長桿彈打擊金屬靶實驗數(shù)據(jù)，從靶體阻力變化、速度(v和u)時程曲線及侵徹深度等方面，對各模型進行了評估，并給出使用建議。另外，基于已有有限的長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體實驗數(shù)據(jù)，探討了各模型對于混凝土靶體的適用性，并給出了進一步研究的方向。

1 長桿彈高速侵徹半無限靶的理論模型

本節(jié)簡要介紹AT模型及其改進模型，各模型的具體推導過程在相關文獻中已有詳細說明，這里不再贅述，只給出控制方程和求解方法。

1.1AT模型

假設準定常侵徹過程中，長桿頭部較小區(qū)域和彈靶交界面附近靶體處于流體狀態(tài)，長桿尾部為剛體，基于Bernoulli方程，Tate和Alekseevskii各自獨立提出了修正的流體動力學一維模型(AT模型)，如圖1所示。

彈靶交界面軸向應力平衡方程

ρp=(v-u)2/2+Yp=ρtu2/2+Rt

(1)

桿長變化方程

(2)

彈體減速運動方程

(3)

侵徹方程

(4)

(5)

式中：σyp和σyt分別為彈靶動態(tài)屈服強度；Et為靶體彈性模量；λ為經(jīng)驗常數(shù)，通常取為0.7。根據(jù)Yp和Rt的相對大小，存在以下兩種情況：

圖1 侵徹模型示意圖Fig.1 Diagram of penetration model

1.2SWZS模型

孫庚辰等基于對坑底流動區(qū)的分析，改進了彈靶交界面軸向應力平衡方程，即

2ρp(v-u)2+Yp=3ρtu2+2Rt

(6)

式中：Yp取為彈體材料的極限拉伸強度；Rt取為空腔在不可壓縮線性硬化材料中膨脹時的表面壓力并由下式確定

(7)

式中：E2為硬化模量。桿長變化方程，彈體減速運動方程和侵徹方程同AT模型。類似的，根據(jù)Yp和Rt的相對大小，存在以下兩種情況：

1.3RMM模型

Rosenberg等考慮到實際侵徹過程中長桿彈蘑菇頭中心到邊緣受力的不均勻性，通過引入等效截面積改進了Bernoulli方程，即：

(8)

式中：Ap和At分別為長桿彈剛性部分和蘑菇頭的等效面積，Rosenberg等建議取At/Ap=2；Yp取為彈體材料Hugoniot彈性極限，Yp=σyp(1-v)/(1-2v)，v為泊松比；Rt取為柱腔膨脹得到的阻力函數(shù)，

(9)

桿長變化方程，彈體減速運動方程和侵徹方程同AT模型，即式(2)～式(4)。同樣，根據(jù)Yp和Rt的相對大小，存在以下兩種情況：

1.4AW模型

基于對二維數(shù)值模擬結(jié)果的分析，通過假設侵徹過程中速度場和應力場分布，Walker和Anderson建立了長桿彈垂直侵徹半無限厚靶板的分析模型。

彈靶交界面軸向應力平衡方程為

(10)

式中：α為靶體中塑性區(qū)無量綱化長度，由可壓縮材料的柱腔膨脹模型得到

(11)

1.5ZH模型

假設長桿侵徹過程中，長桿頭部形狀為半球形，Zhang和Huang修正了彈靶交界面軸向應力平衡方程

(12)

根據(jù)Yp和Rt的相對大小，存在以下兩種情況：

1.6LW模型

基于與空腔膨脹相似的方法，通過在靶體中定義不同的響應分區(qū)，并假設靶體中速度場分布，Lan和Wen改進了Bernoulli方程

(13)

(14)

式中：n為可調(diào)系數(shù)，本文計算取為2.45。式(13)聯(lián)合桿長變化方程(式(2))，彈體減速運動方程(式(3))和侵徹方程(式(4))構(gòu)成了LW模型。

1.7 模型的求解

本文對于上述六個模型，均采用數(shù)值方法求解。在t時步，首先由剛體部分速度vt，并根據(jù)軸向應力平衡方程(式(1)、(6)、(8)、(12)、(13))得到瞬時侵徹速度ut，然后利用四階龍哥庫塔算法求解由桿長變化方程(式(2))、彈體減速運動方程(式(3))和侵徹方程(式(4))構(gòu)成的常微分方程組，從而得到t+1時步的桿長lt+1、剛體部分速度vt+1和瞬時侵徹深度Pt+1，然后進入下一時步的計算，直至u≤0或l≤0，終止計算。

1.8 慣性擴展階段

上述介紹了各模型準定常侵徹階段的計算方法，對于慣性擴展階段，本文對各模型均按Tate提出的經(jīng)驗公式計算，

(15)

圖2 模型求解流程圖Fig. 2 Flow chart of the solving procedure

式中：u0為與打擊速度v0對應的侵徹速度，Rs=2σyt/3[1+ln(2Et/3σyt)]，Dc為開坑直徑，由下式計算，

(16)

式中：D為彈體初始直徑。最終侵徹深度由準定常階段和慣性擴展階段相加得到。

2 各個模型計算結(jié)果的對比分析

為便于比較分析，將上述六種模型的軸向應力平衡方程(式(1)、(6)、(8)、(10)、(12)、(13))均寫為AT模型的形式，即ρp(v-u)2/2+[Yp]=ρtu2/2+[Rt]，表1分別給出了各模型的[Yp]和[Rt]的表達式。

由表1可以看出，各模型的[Yp]和[Rt]的表達式差別非常大，因此，有必要對上述幾個模型進行分析評價并給出建議。本節(jié)分別從[Rt]變化趨勢，軸線速度(v和u)時程曲線、打擊金屬靶體侵徹深度三個方面，詳細評價分析各模型的優(yōu)劣。另外，基于三組長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的實驗數(shù)據(jù)探討了六個模型對于高速侵徹混凝土靶體的適用性，并給出長桿彈高速侵徹混凝土靶體進一步研究的方向。

表1 各模型的[Yp]和[Rt]的表達式Tab.1 [Yp] and [Rt] expressions of each model

2.1 [Rt]隨彈體速度變化

圖3給出了各模型無量綱化的靶體等效強度[Rt]/[Rt]AT隨彈體速度的變化趨勢，其中[Rt]AT為AT模型計算得到的靶體等效強度，由式(5)給出，彈體為鎢合金，靶體為裝甲鋼(布氏硬度為BHN295)，彈靶材料參數(shù)如表2所示。

圖3 各模型無量綱化的隨彈體速度的變化Fig.3 Dimensionlessversus projectile velocity for each model

由圖3可以看出，AT模型的靶體等效強度[Rt]為常數(shù)；RMM和SWZS模型的[Rt]隨彈體速度增大而增大；ZH模型的[Rt]雖然隨著彈體速度增大而減小，但速度較高時[Rt]小于零，與實際情況不符；AW模型的[Rt]隨彈體速度增大而減小；而LW模型[Rt]隨彈體速度增大先減小后增大。

Anderson等[25]基于對實驗數(shù)據(jù)的反向擬合得到，[Rt]依賴于彈體速度，并隨著彈體速度的增大而減小。上述六個模型只有AW模型準確地反應出了這一現(xiàn)象。

2.2 彈靶軸線速度變化

由第二節(jié)模型介紹可知，只有AW模型考慮了初始侵徹時的瞬態(tài)階段。圖4分別給出了AT模型、AW模型和LW模型軸線速度(即v和u)隨瞬時侵徹深度的變化曲線，其中，彈靶分別為鎢合金和裝甲鋼(布氏硬度為BHN295)，初始打擊速度為1 800 m/s。

由圖4可見，AW模型較好地考慮到了初始撞擊的瞬態(tài)階段，與Eichelberger和Gehring的實驗觀測結(jié)果和Anderson等[26]的數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，而其余模型均未考慮到初始瞬態(tài)階段的影響。

表2 彈靶性能參數(shù)Tab.2 Property parameters of projectiles and rods

圖4 各模型軸線速度隨瞬時侵深的變化Fig.4 Axial velocities versus depth of penetration for each model

2.3 金屬靶體侵徹深度

本節(jié)選取Hohler和Stilp的六組典型實驗數(shù)據(jù)進行對比分析，注意到該六組實驗基本涵蓋了所關心的彈靶材料和速度范圍，彈靶材料性能參數(shù)如表2所示，

圖5分別給出了六組彈體無量綱侵徹深度的實驗數(shù)據(jù)和六個模型的預測曲線。

由圖5可以看出：

(1)綜合來看，AT和RMM模型低估了侵徹深度，而ZH模型高估了侵徹深度；SWZS模型在速度較低時高估侵徹深度，而在速度較高時低估了侵徹深度。AW模型和LW模型在整個速度域內(nèi)與實驗數(shù)據(jù)吻合較好。

(2)當撞擊速度非常高，例如高速射流侵徹靶板時，可以忽略彈靶強度，各模型軸向力平衡方程應退化為Bernoulli方程ρp(v-u)2/2=ρtu2/2，但由式(6)、式(8)和式(12)可以看出，SWZS、RMM和ZH模型均不能退化為Bernoulli方程，這應是這三個模型不能較好預測侵徹深度的原因之一。

圖5 各模型預測侵徹深度及與實驗數(shù)據(jù)的對比Fig. 5 Comparisons of normalized depth of penetration between each model and experiment data

(3)由2.1節(jié)的討論可知，AT、RMM和SWZS模型的靶體等效強度[Rt]均未反映出隨彈體速度增大而減小的趨勢，ZH模型的[Rt]雖然隨著彈體速度增大而減小，但速度較高[Rt]<0時，與實際情況不符。不能準確地反映出[Rt]的變化趨勢應可能是上述四個模型不能較好地預測侵徹深度的原因之一。

(4)由2.2節(jié)討論可知，只有AW模型考慮到了初始瞬態(tài)階段，與實驗觀測結(jié)果和二維數(shù)值模擬結(jié)果相一致，其它五個模型均未考慮到瞬態(tài)階段的影響。

(5)值得注意的是，對于侵徹深度預測較好的AW和LW模型均利用了動態(tài)空腔膨脹模型或類似的思想和方法，因此，進一步的改進模型或提出新模型宜考慮利用動態(tài)空腔膨脹理論或類似的思想。

(6)綜合上述分析，對于長桿彈高速侵徹金屬靶體的分析計算，建議首選AW模型，其次為LW模型。

2.4 混凝土靶體侵徹深度

上述六個模型均針對金屬靶體提出，能否推廣應用于混凝土靶體尚不明確，本節(jié)基于已有公開發(fā)表的長桿彈侵蝕侵徹半無限混凝土靶體的有限實驗數(shù)據(jù)，探討上述六個模型對混凝土靶體的適用性。彈靶材料性能參數(shù)如表2所示，圖6分別給出了三組實驗數(shù)據(jù)和六個模型預測曲線。

圖6 各模型預測侵徹深度及與實驗數(shù)據(jù)的對比Fig. 6 Comparisons of normalized depth of penetration between each model and experiment data

由圖6可見：

(1)對于實驗1，ZH模型與實驗最為接近，但由于實驗數(shù)據(jù)較少，不能由此判斷ZH模型適用于混凝土靶體；而對于實驗2和3，各模型與實驗吻合均不好。

(3)圖6(d)分別給出了AT和AW模型對39 MPa和51.9 MPa混凝土的預測曲線，可以看出，在速度較小時(AT模型800 m/s左右，AW模型900 m/s左右)，兩個模型計算得到的51.9 MPa混凝土靶體侵徹深度大于39 MPa混凝土侵徹深度，也就是說在速度較小時，兩個模型預測的51.9 MPa混凝土靶體抗侵徹能力劣于39 MPa混凝土靶體(其他四個模型同樣存在該現(xiàn)象)，這顯然與實驗數(shù)據(jù)相悖，原因應有以下兩個：①高速沖擊下混凝土產(chǎn)生破碎流動，與金屬靶體響應有較大差別，因此，上述六個模型的靶體等效強度Rt均不能直接推廣應用于混凝土靶體；②計算中未考慮剛性侵徹部分的影響?；陟o態(tài)球形空腔膨脹理論，采用三段式狀態(tài)方程和考慮拉伸和剪切破壞的屈服準則描述混凝土，李志康和黃風雷給出了高速侵徹下混凝土靶體等效強度Rt的表達式，然而，其計算得到的Rt為常數(shù)，不能反映出侵徹過程中Rt隨侵徹速度u的關系。

(4)Nia等通過對實驗2和實驗3的分析表明，對于長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體，經(jīng)典的剛性彈侵徹混凝土靶體的Forrestal公式[27]將過高估計侵徹深度，而利用流體動力學方程得到的侵徹深度與實驗偏差也較大，上述分析表明已有的六個長桿彈高速侵徹模型也不適用于混凝土靶體，因此，長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的理論模型需要進一步研究。

(5)已有對長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的終點彈道效應的實驗研究十分匱乏，仍需要進一步的實驗工作。

綜上，六個模型對于長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體均不適用，建議進一步工作從以下三個方面展開：①實驗研究；②提出適用于混凝土靶體等效強度Rt公式，Rt應同時計及混凝土材料性能和侵徹速度u的影響；③臨界速度Vr和剛性侵徹部分的研究。

3 結(jié) 論

基于六組典型長桿彈打擊金屬靶體和三組長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的實驗數(shù)據(jù)，本文從靶體等效強度變化、彈體的軸線速度變化以及侵徹深度三個方面，對六個長桿彈高速侵徹半無限金屬靶體模型進行了分析討論和評價，并探討了六個模型對于高速侵徹混凝土靶體的適用性。主要結(jié)論有：

(1)對于長桿彈高速侵徹金屬靶體，計算結(jié)果表明，AW模型的[Rt]隨彈體速度增大而減小，且較好地考慮到了初始撞擊的瞬態(tài)階段，侵徹深度與實驗吻合較好，LW模型計算得到的侵徹深度與實驗吻合也較好，因此建議首選AW模型，其次為LW模型。

(2)對于長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體，計算結(jié)果表明六個模型均不適用，其主要原因是，基于金屬靶體的長桿彈侵蝕侵徹的理論模型不能有效地反映高速沖擊混凝土靶體的作用機理。

(3)對于長桿彈侵蝕侵徹混凝土靶體的理論模型的建立仍需大量的研究工作，建議應加強以下三個方向的研究：①實驗研究；②提出適用于混凝土靶體等效強度Rt公式，Rt應同時計及混凝土材料性能和侵徹速度u的影響；③臨界速度Vr剛性侵徹部分的研究。

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Comparisonsoflongrodhighvelocitypenetrationmodelsforsemi-infinitetargets

KONG Xiangzhen, FANG Qin, WU Hao, GONG Ziming

(State Key Laboratory of Disaster Prevention & Mitigation of Explosion & Impact, College of National Defense Engineering, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007, China)

Based on four typical metal penetration and three concrete penetration experimental data, the predication performance for depth of penetration of six theoretical models were analyzed and evaluated, respectively. The target resistance (Rt) and the time history curve of axial velocity were discussed. The calculation results indicated that the AW model is the best for long rod projectile penetrating into metal targets. However, calculation results showed that none of the six penetration models are suitable for the concrete target, mainly due to the difference of response between metal and concrete targets under high velocity impact. In addition, further research interest on the hypersonic velocity penetration of concrete target was proposed.

high velocity penetration; theoretical model; depth of penetration; concrete

國家自然科學基金創(chuàng)新研究群體科學基金(51321064)；國家自然科學基金優(yōu)秀青年基金(51522813)

2016-05-04 修改稿收到日期： 2016-07-08

孔祥振 男，博士生，1988年生

方秦 男，教授，博士生導師，1962年生

TJ012

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.007