兩端固定載流管非線性振動(dòng)IHB方法研究

王 鵬， 張?jiān)侜t， 王 晟， 張 濤

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074)

兩端固定載流管非線性振動(dòng)IHB方法研究

王 鵬， 張?jiān)侜t， 王 晟， 張 濤

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074)

增量平衡諧波法(IHB法)可用于求解兩端簡(jiǎn)支載流管的非線性振動(dòng)問題。考慮非線性約束及集中質(zhì)量點(diǎn)的影響，利用Hamilton原理建立兩端簡(jiǎn)支載流管運(yùn)動(dòng)微分方程，經(jīng)Galerkin離散后，通過改變控制變量頻率比得到系統(tǒng)的幅頻特性曲線。討論了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)例如速度、質(zhì)量比、非線性約束剛度及質(zhì)量點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。計(jì)算結(jié)果表明增量平衡諧波法是一種求解載流管非線性振動(dòng)較為有效的方法。

載流管；增量平衡諧波法；非線性約束；質(zhì)量點(diǎn)

載流管(Pipes Conveying Fluid)作為一種常見的載流裝置在現(xiàn)代工業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用：小到生活中常見的自來水管，大到航空航天、海洋工程及能源化工等專用的傳送管道[1-2]。同時(shí)載流管系統(tǒng)是一個(gè)典型的線性-非線性振動(dòng)系統(tǒng)，在管內(nèi)低流速時(shí)，非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)影響不大，此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)可以看作是線性振動(dòng)，而當(dāng)系統(tǒng)中某些變量例如流速或壓力達(dá)到了一定數(shù)值時(shí)，非線性項(xiàng)不可忽略，此時(shí)系統(tǒng)因存在非線性項(xiàng)而為非線性系統(tǒng)。

Lee等[3]首先考慮了管路振動(dòng)對(duì)流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，推導(dǎo)了非線性耦合的4方程模型，張立翔等[4]則在Lee研究基礎(chǔ)上增加了管道軸向運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)的耦合，得到了較為全面的非線性全耦合模型。Wadham等[5]推導(dǎo)了懸臂管路的三維運(yùn)動(dòng)模型，并發(fā)現(xiàn)了其非線性方面與二維模型的區(qū)別。

針對(duì)上述振動(dòng)微分方程，各種用于求解非線性微分方程的現(xiàn)代計(jì)算方法一一提出。最為基礎(chǔ)和有效的是基于Galerkin離散的龍格庫(kù)塔(Runge-Kutta)法[6]。龍格庫(kù)塔法則是求解常微分方程最有效的方法，可以較為準(zhǔn)確的得到系統(tǒng)某一時(shí)刻的位移、速度及加速度值。該類方法應(yīng)用較多。微分轉(zhuǎn)換法(Differential Transformation Method)[7]也是一種較為成熟的求解管路非線性振動(dòng)的數(shù)值計(jì)算方法。Gu等[8]采用廣義積分變換方法對(duì)兩端簡(jiǎn)支載流管的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行求解。增量平衡諧波法(IHB法)因其對(duì)所研究系統(tǒng)非線性程度的強(qiáng)弱并無限制，并且方法簡(jiǎn)單求解方便，特別是其可跟蹤性，在研究載流管系統(tǒng)的非線性幅頻特性及分岔現(xiàn)象中存在其獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)[9]。

實(shí)際上，對(duì)于兩端支撐載流管及懸臂載流管非線性振動(dòng)，國(guó)內(nèi)外已有相關(guān)方面初步的研究。在兩端簡(jiǎn)支管路方面，倪樵等[10]首先研究了單頻兩項(xiàng)諧波項(xiàng)組合下的兩端簡(jiǎn)支載流管的幅頻曲線特性，并發(fā)現(xiàn)了幅頻曲線中幅值突變這一系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象；梁峰等[11]則通過IHB法系統(tǒng)性研究了兩端支撐輸流管管內(nèi)參數(shù)共振的情況。懸臂載流管方面，Pa?doussis等[12]研究了末端質(zhì)量點(diǎn)對(duì)懸臂載流管分岔特性的影響；倪樵等[13]研究了末端線性及非線性約束下懸臂載流管的幅頻特性，并發(fā)現(xiàn)了脈沖峰值現(xiàn)象。

本文在以上研究成果的基礎(chǔ)上，基于Hamilton原理給出兩端簡(jiǎn)支管路運(yùn)動(dòng)方程，采用Galerkin方法進(jìn)行離散化處理，使用IHB法求解探討上述兩端簡(jiǎn)支邊界條件下的載流直管的幅頻特性。同時(shí)對(duì)管內(nèi)流速μ，質(zhì)量比β，非線性約束剛度K3和質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量Γ等對(duì)系統(tǒng)的幅頻特性的影響進(jìn)行了探討。

1 運(yùn)動(dòng)微分方程及Galerkin離散

兩端簡(jiǎn)支管路的運(yùn)動(dòng)方程可以根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)，兩端簡(jiǎn)支管路模型示意圖可簡(jiǎn)化為如圖1所示。

圖1 兩端簡(jiǎn)支模型Fig.1 Schematics of simply supported pipe

圖1中，v表示管內(nèi)流體的流速，mmass表示集中質(zhì)量點(diǎn)，xm表示集中質(zhì)量點(diǎn)所處的位置，x0表示非線性約束所處的位置，ω表示管路橫向振動(dòng)方向。

參考Pa?doussis等[14]提到的，兩端支撐管路科氏力不做功，科氏力項(xiàng)的非保守力所做的虛功為0。為了簡(jiǎn)單起見，這里僅考慮ω方向的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，無外力作用，并且非線性方面僅考慮管路軸向彎曲變形和加在管路上的非線性運(yùn)動(dòng)約束。

由以上假設(shè)，根據(jù)Hamilton原理，控制方程可寫成如下形式

(1)

式中：T為管路系統(tǒng)的動(dòng)能；U為管路系統(tǒng)的彈性勢(shì)能；δ為在指定時(shí)間區(qū)間內(nèi)所取的變分。

管路因軸向彎曲變形而伸長(zhǎng)，同時(shí)產(chǎn)生附加的軸向應(yīng)變，此軸向應(yīng)變可按照下面思路進(jìn)行求解：取管路的dx微元段，在此微元段上，管道的伸長(zhǎng)量為

(2)

則整個(gè)管路系統(tǒng)的總軸向彎曲應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

管路動(dòng)能項(xiàng)T主要分為三部分：管道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)能、流體部分產(chǎn)生的動(dòng)能及質(zhì)量點(diǎn)產(chǎn)生的動(dòng)能，其表達(dá)式如式(4)所示，僅考慮ω方向動(dòng)能項(xiàng)：

T=Tp+Tf+Tm,

(4)

勢(shì)能項(xiàng)如式(5)，僅考慮ω方向勢(shì)能，并且考慮到因彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變

(5)

(6)

Kω3δ(x-x0)=0

(7)

式中：δ()為Dirac delta函數(shù)。

為了便于數(shù)值計(jì)算和分析比較，引入以下無量綱參變量對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)化分析

γ=EAl2/2EI，K3=Kl5/EI，

Γ=mmass/(mp+mf)l

(8)

將式(8)中的無因次量代入式(7)，可以得到如下無因次化運(yùn)動(dòng)微分方程

K3η3δ(ξ-ξ0)=0

(9)

式中：η?′的系數(shù)項(xiàng)中后兩項(xiàng)相比于1為一階小量，可略去不計(jì)。

上述運(yùn)動(dòng)微分方程的求解可以采用Galerkin方法，為了便于求解，首先將上述無因次化的四階偏微分方程進(jìn)行離散化處理，將位置導(dǎo)數(shù)和時(shí)間導(dǎo)數(shù)分離，然后通過梁函數(shù)對(duì)位置導(dǎo)數(shù)進(jìn)行積分，便可化簡(jiǎn)得到二階振動(dòng)常微分方程，為了簡(jiǎn)單起見，這里忽略質(zhì)量點(diǎn)對(duì)振動(dòng)方程的影響，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下所示。

首先運(yùn)動(dòng)位移項(xiàng)η可以寫成如下形式

(10)

式中：ξ為管路廣義坐標(biāo)；φi(ξ)為梁的振型函數(shù)。該振型函數(shù)滿足不同邊界條件，本例中該振型函數(shù)滿足兩端簡(jiǎn)支邊界條件，即：

(11)

在保證計(jì)算精度的基礎(chǔ)上，取前兩項(xiàng)進(jìn)行研究，則運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式可以寫成以下形式

η(ξ,τ)=φ1(ξ)q1(τ)+φ2(ξ)q2(τ)

(12)

為了規(guī)范化及后續(xù)變形計(jì)算，上式可以寫成如下矩陣形式

Φ=(φ1φ2)T，Q=(q1q2)T

η(ξ,τ)=QTΦ=ΦQT

(13)

需要說明的是Φ僅與梁的廣義坐標(biāo)有關(guān)，Q僅與時(shí)間項(xiàng)有關(guān)。將式(13)代入式(9)，并去掉彎曲剛度項(xiàng)前一階小量，便可得到二階振動(dòng)常微分方程。

(1+ε0)Φ?′TQ+

K3QTΦΦTQΦTQδ(ξ-ξ0)=0

(14)

為了得到矩陣形式，上式兩端左乘Φ，得到以下形式

(1+ε0)ΦΦ?′TQ+

K3QTΦΦTQ·ΦΦTQδ(ξ-ξ0)=0

(15)

式(15)在[0,1]上對(duì)廣義坐標(biāo)ξ進(jìn)行積分，可以得到以下標(biāo)準(zhǔn)的非線性振動(dòng)常微分方程

(16)

利用梁振型函數(shù)正交性特征

(17)

λ1，λ2為梁函數(shù)的前兩階特征值，對(duì)于兩端簡(jiǎn)支梁分別為π和2π。則線性項(xiàng)有

K=(μ2-ε0γ)△2+△4

(18)

非線性項(xiàng)均為位移的三次項(xiàng)。K3(Q)=K3ε(Q)+K3f(Q)。

(19)

將上述矩陣代入式(16)即可得到兩端簡(jiǎn)支直管的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程組。該方程組可以用增量平衡諧波法進(jìn)行求解。求解方法見文獻(xiàn)[15]，增量平衡諧波法要求所求的解為周期性的解，限于計(jì)算資源，這里求解載流管問題均取兩項(xiàng)諧波項(xiàng)，則q1和q2可以寫成如下形式

q1(τ)=a1cos(ωτ)+a2cos(3ωτ)+

b1sin(ωτ)+b2sin(3ωτ)，

q2(τ)=a3cos(ωτ)+a4cos(3ωτ)+

b3sin(ωτ)+b4sin(3ωτ)

(20)

式中：ω為頻率比，即振動(dòng)頻率與簡(jiǎn)支管基頻的比值。代入式(16)，便可進(jìn)行求解。在實(shí)際的求解過程中，需要選擇合適的主動(dòng)控制變量，這里對(duì)于兩端簡(jiǎn)支載流管選擇頻率比ω作為主動(dòng)控制變量，便可以進(jìn)行迭代求解并且可以通過延續(xù)算法得到系統(tǒng)振動(dòng)幅值-頻率特性。在增量計(jì)算中設(shè)置合適的計(jì)算初值及收斂誤差，便可通過牛頓迭代得到穩(wěn)定解。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

兩端簡(jiǎn)支載流管計(jì)算參數(shù)選取如下：β= 0.15，ε0= 0，非線性約束位置取ξ0= 0.5，在此基礎(chǔ)上討論了各種參數(shù)(包括管內(nèi)流速μ，質(zhì)量比β，非線性約束剛度K3和質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量Γ等)對(duì)兩端簡(jiǎn)支輸流直管路的幅頻特性及其他非線性特性的影響。取ξ0= 0.7處管路無因次振動(dòng)幅值作為觀察值，下文如無特殊說明幅值均取該處振幅。

首先是管內(nèi)流速變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)幅值的影響。按照線性理論，無因次流速μ在大于3.14時(shí)管路將發(fā)生屈曲失穩(wěn)，以下給出該速度范圍內(nèi)不同速度下的振動(dòng)幅頻曲線，如圖2所示。

圖2 不同無因次流速下管路振動(dòng)的幅頻特性曲線Fig.2 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different dimensionless velocity

從圖2中可以看到較為明顯的幅值突變情形，幅值突變的幅度和流速大小有關(guān)，圖中隨著流速的增加，其突變的幅度逐漸增大。另外，在無因次流速在3.14～6.28內(nèi)，發(fā)生幅值突變處的無因次頻率比ω隨著流速的增加而增大，但在6.28～9.43內(nèi)，發(fā)生幅值突變處的無因次頻率比ω并不遵循上述規(guī)律。這從另一方面說明在低速范圍內(nèi)，管路振動(dòng)仍存在一定的線性因素，而在流速較大情況下，管路振動(dòng)中非線性逐漸明顯。

無因次流速μ大于9時(shí)管路振動(dòng)存在零響應(yīng)、穩(wěn)

定和不穩(wěn)定響應(yīng)共存的情況，系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)和計(jì)算時(shí)設(shè)定的初始值有關(guān)，這里僅給出同一種初始值下的響應(yīng)幅頻曲線見圖3。圖中均存在幅值突變的情形，并且隨著流速的增加，幅頻特性中突變的幅度增大。

圖3 μ= 8，9，10，11，12時(shí)管路振動(dòng)的幅頻特性曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different dimensionless velocity

圖4、5、6為無因次流速μ為4、8和12的管路振動(dòng)的時(shí)歷曲線和相圖(極限環(huán))?？梢钥吹?，在速度較低的情況(μ= 4)中，其管路振動(dòng)基本上是單頻的，不存在疊加情況，可見此時(shí)系統(tǒng)主要為線性的；而在速度較大的情況下，管路振動(dòng)存在多個(gè)頻率疊加，此時(shí)系統(tǒng)非線性因素不可忽視。

圖4 μ=4時(shí)管路振動(dòng)時(shí)歷曲線和相圖Fig.4 Time history and phase portrait for μ=4

圖5 μ=8時(shí)管路振動(dòng)時(shí)歷曲線和相圖Fig.5 Time history and phase portrait for μ=8

圖6 μ=12時(shí)管路振動(dòng)時(shí)歷曲線和相圖Fig.6 Time history and phase portrait for μ=12

質(zhì)量比對(duì)載流管的振動(dòng)幅頻特性有一定的影響，并且以上不同速度區(qū)間中其影響不盡相同，圖7～圖10

給出了不同速度區(qū)間中不同質(zhì)量比對(duì)載流管振動(dòng)幅頻曲線的影響關(guān)系。

圖7 μ=4時(shí)不同質(zhì)量比下管路振動(dòng)幅頻曲線Fig.7 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 4

圖8 μ=8時(shí)不同質(zhì)量比下管路振動(dòng)幅頻曲線1Fig.8 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 8

圖9 μ=8時(shí)不同質(zhì)量比下管路振動(dòng)幅頻曲線2Fig.9 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 8

首先是低速段μ=4，可以看到質(zhì)量比僅僅影響幅頻曲線中突變處的頻率比，對(duì)突變前后的幅值均無影響；對(duì)于中速段μ=8，圖中可以看到質(zhì)量比不僅僅影響幅頻曲線中突變處的頻率比，同樣對(duì)突變前的幅值有很大影響，但對(duì)突變后的振幅影響較小，并且隨著質(zhì)量比的增大毫無規(guī)律可言；到了高速段，上述中速段的規(guī)律仍適用，同樣的結(jié)論也可見于文獻(xiàn)[10]。

前文討論的是兩端簡(jiǎn)支管路僅考慮管路沿中線的軸向變形所產(chǎn)生的非線性因素，當(dāng)然，兩端簡(jiǎn)支管的非線性不僅僅局限于此，管內(nèi)不穩(wěn)定流或者是非線性約束同樣會(huì)引起載流管豐富的非線性振動(dòng)現(xiàn)象。下面討論非線性運(yùn)動(dòng)約束剛度對(duì)管路振動(dòng)的影響。

非線性運(yùn)動(dòng)約束下的管路振動(dòng)是管路非線性振動(dòng)中一個(gè)熱門的研究課題。通常而言，非線性運(yùn)動(dòng)約束產(chǎn)生的對(duì)管路的反作用力可由三次非線性彈簧來進(jìn)行模擬[16]，并且可以通過該三次非線性彈簧的剛度系數(shù)來表征該運(yùn)動(dòng)約束的軟硬程度，剛度系數(shù)越大代表運(yùn)動(dòng)約束越剛，反之亦然。這里，對(duì)于兩端簡(jiǎn)支載流直管路，假定其非線性約束的位置在管路中間，即非線性約束位置取ξ0= 0.5，其他參數(shù)μ= 4；β= 0.15，ε0= 0，流速選擇參考文獻(xiàn)[16]。圖11給出了不同非線性約束無因次剛度值對(duì)應(yīng)的載流管幅頻特性曲線。

圖中可以很明顯看到，在運(yùn)動(dòng)約束剛度較小的時(shí)候，即運(yùn)動(dòng)約束剛度在1 000以內(nèi)，非線性運(yùn)動(dòng)約束對(duì)管路振動(dòng)基本無影響，其發(fā)生振幅突變的無因次頻率比均為2.23處左右，由此可見，對(duì)于運(yùn)動(dòng)約束無因次剛度值較小的情況，載流管振動(dòng)非線性體現(xiàn)在其他方面(軸向彎曲變形)，運(yùn)動(dòng)約束對(duì)管路非線性的動(dòng)力學(xué)特性基本無影響；僅改變運(yùn)動(dòng)約束剛度至100 000，圖中可以看到不同頻率比對(duì)應(yīng)的振動(dòng)幅值開始明顯減小，說明此時(shí)運(yùn)動(dòng)約束和軸向彎曲變形一樣在很大程度上影響了管路系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，這點(diǎn)和文獻(xiàn)[16]通過四階龍格庫(kù)塔法計(jì)算的結(jié)論不謀而合。但本文的計(jì)算量無疑要小于龍格庫(kù)塔法，這說明了增量平衡諧波法對(duì)于分析載流管非線性振動(dòng)方面問題的有效性和優(yōu)越性。

自由端質(zhì)量點(diǎn)也是懸臂載流管非線性振動(dòng)中一個(gè)重要的研究方向。為了簡(jiǎn)單起見，本文不考慮質(zhì)量點(diǎn)對(duì)非線性項(xiàng)的作用，Galerkin離散過程與上述介紹的流程一致，且質(zhì)量點(diǎn)位于管路上距ξ= 0.3處。

取無因次參數(shù)μ= 4；β= 0.2，不同無因次質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量Γ= 0，0.02，0.05，0.1，0.2，計(jì)算得到不同質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量的低頻率比下系統(tǒng)的幅頻特性曲線如圖12所示。

圖10 μ= 10時(shí)不同質(zhì)量比下管路振動(dòng)幅頻曲線Fig.10 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 10

圖11 不同非線性約束剛度值下管路幅頻特性曲線Fig.11 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different stiffness of nonlinear constraint

在低頻率比段，上述幾種不同質(zhì)量的質(zhì)量點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的幅頻特性基本上影響較??；質(zhì)量點(diǎn)對(duì)幅頻曲線突變處的頻率比及之后相同頻率比對(duì)應(yīng)的幅值有一定的影響，并且隨著質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量的增加，突變點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率比減小，同時(shí)質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量越大，相同頻率比下振動(dòng)幅值越大。

3 結(jié) 論

本文利用Hamilton原理建立了兩端簡(jiǎn)支載流直管運(yùn)動(dòng)微分方程，經(jīng)Galerkin離散，利用增量平衡諧波法，研究了兩端簡(jiǎn)支載流直管路的非線性振動(dòng)特性，得到以下結(jié)論：

(1)對(duì)于兩端簡(jiǎn)支載流管，在臨界流速以上，隨著流速的增加，突變的幅度逐漸變大；無因次流速在3.14～6.28范圍內(nèi)，幅值突變處的無因次頻率比隨著流速的增加而增大。

(2)質(zhì)量比及非線性約束剛度均對(duì)兩端支撐管路振動(dòng)幅頻特性曲線產(chǎn)生較大影響。質(zhì)量比對(duì)幅頻特性曲線在不同速度區(qū)間上影響不盡相同；非線性約束剛度在剛度較低時(shí)對(duì)幅頻曲線基本上無影響，而在剛度大于某一值時(shí)，振動(dòng)幅值隨著剛度的增加而明顯減小。

(3)增量平衡諧波法能有效針對(duì)載流管非線性振動(dòng)進(jìn)行求解。在求解載流管非線性振動(dòng)中，增量平衡諧波法不僅可以考慮系統(tǒng)參數(shù)中諸如流速、質(zhì)量比等因素對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響，同樣可以考慮管路附件例如非線性約束及集中質(zhì)量點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)非線性的影響，得到與龍格庫(kù)塔積分法類似的結(jié)果，是一種較為準(zhǔn)確及簡(jiǎn)潔的半解析、半數(shù)值計(jì)算方法。該研究可為載流管設(shè)計(jì)提供一定的參考。

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NonlinearvibrationofhingedpipesconveyingfluidwiththeIHBmethod

WANG Peng，ZHANG Yong’ou，WANG Sheng，ZHANG Tao

(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The nonlinear vibration of simply supported pipes conveying fluid was investigated through the incremental harmonic balance method. The differential motion equations of simply supported pipes conveying fluid were derived based on the Hamilton principle, considering the influence of the nonlinear constraint and the tip lumped masses. The equations were discretized by the Galerkin scheme. The amplitude-frequency characteristics curves of the pipes conveying fluid were obtained by changing the frequency ratio. The effect of the fluid speed, mass ratio, the stiffness of the nonlinear constraint, and the tip lumped masses on the amplitude-frequency characteristics of the pipes conveying fluid were discussed. The results show that the incremental harmonic balance method is an effective method to solve the problem of the nonlinear vibration of the pipes conveying fluid.

pipes conveying fluid；incremental harmonic balance method；nonlinear constraint；the tip lumped masses

2016-04-29 修改稿收到日期：2016-07-30

王鵬 男，碩士生，1991年生

張濤 男，博士，副教授，1976年生

O633.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.037