函數(shù)概念的演變

歐婷婷

[摘 要]函數(shù)是數(shù)學中最基本，應(yīng)用范圍最廣的一個概念，從初等數(shù)學到高等數(shù)學都離不開函數(shù)這一概念，函數(shù)的概念并不是一開始就確立，而是經(jīng)歷了由片面到全面的一個發(fā)展過程，最終形成現(xiàn)代函數(shù)的概念，從函數(shù)概念演變的過程，我們可以更加全面的理解現(xiàn)代函數(shù)的概念。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；概念；發(fā)展；演變

函數(shù)概念的產(chǎn)生距今只有三百多年，產(chǎn)生時間與微積分這門學科差不多，實際上函數(shù)概念得以迅速發(fā)展是在16世紀以后，特別是隨著微積分這一學科的建立，函數(shù)概念逐步發(fā)展和完善。現(xiàn)代函數(shù)概念的確立經(jīng)歷了以下幾個階段

一、常量數(shù)學下的函數(shù)

在16世紀之前，數(shù)學主要研究的是常量數(shù)學，其特點是用孤立、靜止的觀點去研究事物，具體函數(shù)比比皆是，但沒有一般的函數(shù)概念。比如代數(shù)中自羅馬時代就已經(jīng)開始的不定方程的研究，偉大的數(shù)學家丟番圖對不定方程的研究已有相當程度，這些研究中已經(jīng)涉及到函數(shù)的概念，只是還沒有人意識到要將這一概念提煉出來。

二、變量思想下的函數(shù)

到了16世紀，對于運動的研究已變成自然科學的中心問題，數(shù)學研究也從常量數(shù)學轉(zhuǎn)向了變量數(shù)學。17世紀伽利略的《兩門新科學》一書中，處處包含著函數(shù)的思想，他用文字和比例的語言表述函數(shù)關(guān)系，如：兩個等體積圓柱體的面積之比，等于他們高度之比的平方根。兩個側(cè)面積相等的正圓柱，其體積之比等于他們高度之比的反比。從靜止狀態(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比。這些表述非常清楚的表明伽利略已涉及并討論變量和函數(shù)。1673年法國數(shù)學家笛卡爾在《幾何學》一文中首先引入變量思想，稱為”未知和未定的量”，同時注意到兩個變量之間的相依關(guān)系。這一時期，函數(shù)概念在不同科學家那里有著不同形式的描述。但并沒有做出一般的抽象，并且也沒有把文字敘述表示為符號形式。

三、解析幾何下的函數(shù)概念

17世紀中葉，微積分的創(chuàng)始人之一德國數(shù)學家萊布尼茲最先使用函數(shù)（function）這個名詞。不過他指的是變數(shù)x的冪，后來才逐步擴展到多項式函數(shù)、有理函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)以及由他們的四則運算、各種復(fù)合所形成的初等函數(shù)。這些函數(shù)都是具體的，都有解析表達式，把具體的函數(shù)看成曲線進行研究，函數(shù)和曲線緊密聯(lián)系在一起。那時的函數(shù)就是表示任何一個隨著曲線的點變動而變化的量。盡管當時還沒有建立實連續(xù)的概念，但數(shù)學家卻默認曲線都是連續(xù)的。托里拆利曾對曲線ex次方進行過研究，瓦里斯在他的《動學》中研究過正弦曲線，并注意到了這一函數(shù)的周期性。至此，還沒有函數(shù)的一般定義。

18世紀初，第一個在萊布尼茲工作的基礎(chǔ)上作出函數(shù)概念推廣的是伯努利，他最先擺脫具體初等函數(shù)的束縛，給函數(shù)一個抽象的不用幾何的定義”一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常數(shù)以任意一種方式構(gòu)成的量”這里所說的任意方式，包括代數(shù)式子和超越式子。

歐拉則更明確地說：”一個變量的函數(shù)是該變量和常數(shù)以任何一種方式構(gòu)成的解析表達式。1734年，歐拉用記號y=f（x）表示變量x的函數(shù)。

到了18世紀，甚至19世紀初，函數(shù)由一個解析式給的觀點仍然占統(tǒng)治地位，并認為”連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個解析表達式表示””由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不能由一個解析式表示。”

1800年左右，數(shù)學家開始關(guān)心分析的嚴密化問題，函數(shù)概念自然也成為嚴密化的對象。具體表現(xiàn)在兩個方面：一方面對原來有關(guān)函數(shù)的錯誤看法和片面的觀點進行澄清糾正；另一方面繼續(xù)探討函數(shù)概念的本質(zhì)，建立含義更廣泛的函數(shù)概念。第一個沖破用解析式給出函數(shù)的觀點是拉科魯瓦，他在1797年給出的函數(shù)定義是：每一個量，如果他依賴一個或幾個別的量，不管人們知不知道用何種必要的運算可以得到前者，就稱前者為這個或這些量的函數(shù)。這是對函數(shù)概念的又一次擴展。

在這一時期，傅里葉對函數(shù)的概念的發(fā)展做出了巨大的貢獻，盡管他支持用解析式給出函數(shù)的觀點，但他更深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，他在1807年發(fā)表的《熱的分析理論》中，證明了”由不連續(xù)的曲線給出的函數(shù)，能用一個三角函數(shù)式來表示。”通過實例分析，傅里葉指出”不連續(xù)函數(shù)可用一個式子，或者可用多個式子來表示?！边@就否定了”不連續(xù)函數(shù)不可能用一個解析式來表示”的觀點。傅里葉通過實例指出”在某一區(qū)間上恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是完全相同的”這一錯誤的觀點。

柯西于1823年分別給出了變量和函數(shù)的定義，指出”人們把一次取許多互不相同的值的量叫做變量?！薄爱攦蓚€變量之間這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想象這些量是其中的一個來表示的，這時這個變量就取名為自變量，而由這個自變量表示的其它的量就叫做這個自變量的函數(shù)”，這里不管是用一個式子還是多個式子表示，只要對于每一個x，都有完全確定的y與它對應(yīng)，y就是x的函數(shù)。這一概念中還是局限于解析式的計算，突破這一限制的是狄利克雷，他給出的定義是：對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建立起的這種對應(yīng)方式如何，都稱y是x的函數(shù)。這個定義用對應(yīng)的思想定義函數(shù)，至于連接方式是數(shù)學運算或其他無關(guān)緊要。

這是函數(shù)概念的又一次擴充，將對應(yīng)關(guān)系由數(shù)學運算擴展到任意的對應(yīng)方式。

四、集合概念下的現(xiàn)代函數(shù)

康拓建立了集合論后，函數(shù)概念在集合概念的基礎(chǔ)上得到最終完善，變量從數(shù)擴展到集合。

19世紀，維布倫用”集合”和”對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了”變量是數(shù)”的局限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對象（點、線、而、體、向量、矩陣等）。

1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素Y稱為因變元。函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)。

函數(shù)概念的演變過程，就是一個函數(shù)內(nèi)涵在不斷地被挖掘、豐富和精確刻畫的歷史過程；同時看出數(shù)學概念并非生來就有，一層不變，而是人們在對客觀世界深入了解過程中得到，并不斷加以發(fā)展的，從而以適應(yīng)新的需要，體現(xiàn)了馬克思主義哲學的認識論。endprint