線性磁場作用下一維鐵磁鏈的孤子激發(fā)

莫子杰, 陳 浩, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點實驗室， 廣州 510006)

線性磁場作用下一維鐵磁鏈的孤子激發(fā)

莫子杰, 陳 浩*, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點實驗室， 廣州 510006)

研究了在線性磁場作用下，一維鐵磁鏈的2種孤子激發(fā). 分別導(dǎo)出2個不同修正的非線性薛定諤方程，可以得到各自所激發(fā)的孤子解. 此2種孤子激發(fā)結(jié)果均表明，在增加線性磁場后，孤子的外形與有效質(zhì)量并不受到影響，但孤子的運動模式卻發(fā)生改變，從一般的勻速運動變?yōu)閯蜃兯龠\動. 而且在線性磁場作用下孤子的能量出現(xiàn)了定域分布，隨位置的不同而不同. 由此發(fā)現(xiàn)，引入線性磁場的普遍意義在于，可使一維鐵磁鏈中的孤子激發(fā)和移動受到更好的控制，同時不破壞孤子的穩(wěn)定性.

一維鐵磁鏈； 孤子； 線性磁場； 非線性薛定諤方程

Keywords： 1D ferromagnetic chain; soliton; linear magnetic field; nonlinear Schr?dinger equations

一維鐵磁鏈在凝聚態(tài)物理研究中非常重要，擁有自旋相互作用的一維海森堡鐵磁鏈，在考慮高階非線性相互作用時，可激發(fā)出孤子[1-5]. 通常研究易平面相互作用[6]、DM 相互作用[7]、單離子各向異性[8]等在鐵磁鏈中對非線性激發(fā)的影響. 隨著研究的深入，考察的相互作用越來越多，如考察系統(tǒng)本身的自相互作用[9-13]以及外界因素對一維鐵磁鏈非線性激發(fā)的影響[14-18].

本文考慮外加線性磁場，建立一維鐵磁鏈的孤子激發(fā)模型，探討線性磁場對激發(fā)的影響. 首先提出該模型的哈密頓量，推導(dǎo)出系統(tǒng)第一種孤子模型的動力學(xué)方程；然后運用擴(kuò)展的行波法，求解出在線性磁場作用下，一維鐵磁鏈的孤子解；再根據(jù)孤子解分析孤子的特性、運動特征及其能量分布，與無磁場的情況下相比較，研究線性磁場對孤子的實質(zhì)性影響；最后求解第2種孤子激發(fā)，并做相應(yīng)的討論.

1 含非均勻外磁場的一維鐵磁鏈系統(tǒng)

在非均勻外磁場作用下，一維鐵海森堡磁鏈的哈密頓量可寫為[19]

(1)

通過Holstein-Primakoff變換[20],式(1)可改寫為由玻色算符組成的哈密頓量

(2)

引入相干態(tài)變換使方程變?yōu)樽孕怕史倪\動方程，設(shè)相干態(tài)|a〉滿足al|al〉=al|al〉[21](αl為在l格點上的自旋概率幅)，可得

(3)

假定孤子的空間寬度遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)r0，由此可采用空間連續(xù)近似處理式(3)，即

(4)

將式(4)代入式(3)，經(jīng)整理可得到一個修正的含空間變系數(shù)的非線性薛定諤方程

(5)

對于修正的非線性薛定諤方程，一般很難找到精確解析解，只有在某些特殊的情況下才有解. 非線性薛定諤方程在各種修正情況下求解的情況也被廣泛研究[22-24].

2 線性磁場下的孤子求解

考慮一維線性的外磁場Bz(x)=B0+B1x，即

(6)

其中，B0和B1為描述磁場的常系數(shù). 對于類似于式(5)的修正非線性薛定諤方程，文獻(xiàn)[22]運用逆散射方法研究其解. 為了得出方程(6)的解，本文采用擴(kuò)展的行波法求解. 設(shè)

u=φ(ξ)·eiθ(ξ,t),

(7)

其中，φ和θ均為實函數(shù)；ξ=X-f(t)描述擴(kuò)展的行波運動；f(t)是一個關(guān)于時間的單變量實函數(shù).

將式(6)、(7)代入式(5)可得

(8)

(9)

為求解孤子波，可先求解相位θ. 根據(jù)邊界條件要求，孤子在無窮遠(yuǎn)處要趨于0，即當(dāng)ξ→±∞時，φ→0，因此將式(8)整理后代入邊界條件可得

(10)

其中，g(t)為待定實函數(shù). 利用式(10)代換式(9)中含θ的項，可得

(11)

其中，

方程(11)的一般通解難以求解，于是可令k(ξ,t)為一個常數(shù)，方程(11)的形式則是一個橢圓微分方程. 由此可解得

其中，x0、g0、v、C均為常數(shù)，可由初始條件和歸一化條件決定.

3 孤子解的分析及討論

3.1 孤子的解

根據(jù)方程(11)可得橢圓方程并求其孤子解

(12)

(13)

3.2 孤子的運動情況

與一維鐵磁鏈中的孤子激發(fā)結(jié)果[19]比較，在引入了線性磁場后，孤子的寬度和峰值不變，即孤子保持了它在無外場下的外形特征. 然而孤子的運動情況發(fā)生了很大改變. 根據(jù)運動學(xué)規(guī)律，從式(13)中雙曲正割函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，孤子的運動不再是通常的勻速運動，而是具有一定初速度的勻變速運動. 孤子的初速度為

(14)

孤子運動的加速度為

(15)

由此可得孤子運動的(瞬時)速度為

(16)

這里與無線性磁場作用下的孤子運動情況不同，v不再是勻速的，而是孤子勻變速運動的初速度. 此時孤子的運動速度是一個隨時間線性變化的量，同時也是孤子波的群速度. 由式(15)可知，孤子運動的加速度與鐵磁鏈中的交換積分及線性磁場的線性項有關(guān). 對于同一條鐵磁鏈來說，其上激發(fā)的孤子運動加速度的大小恰與B1成正比，方向也取決于B1. 綜合來看，線性外磁場具有改變孤子運動狀態(tài)的作用.

當(dāng)磁場的線性項不存在時(B1=0)，孤子并沒有加速，即勻速行波孤子(圖1A). 當(dāng)加入了線性磁場后(B1=0)，即使孤子被激發(fā)時無初速度，它也會在外磁場的推動下做勻加速運動(圖1B). 另外，初速度和磁場將同時影響孤子的運動軌跡，如在圖1C中，由于初速度和加速度方向相同，所以孤子沿某個方向勻加速運動；而在圖1D中，初速度取負(fù)值時，表示與選定的正方向相反，由于初速度與加速度的方向相反，所以孤子先減速后沿著加速度的方向做反向加速的運動. 此時孤子的運動方向被線性磁場改變并最終沿著某一方向勻加速運動. 可見，線性外磁場改變了孤子的運動性質(zhì)，使其運動更依賴于外界而非初始條件. 當(dāng)孤子被激發(fā)后，可通過調(diào)節(jié)磁場的線性項B1來有效控制孤子的運動情況. 這樣做不但豐富了孤子的傳播模式，而且孤子原本的激發(fā)外形特征不會受到改變和破壞.

圖1 在有無線性磁場條件下一維鐵磁鏈中的孤子運動

Figure 1 Soliton motion in 1D ferromagnetic chain with and without linear magnetic field

3.3 孤子的能量

為求解此孤子能量，定義孤子的廣義頻率，即頻移Ω=?Θ/?t. 可以證明，Ω是不隨時間改變的量，即有dΩ/dt=0成立[22]. 頻移有表征能量的性質(zhì)，于是可將孤子的能量表示為

(16)

其中孤子無磁場下的靜能量為

線性磁場提供給孤子的能量為

EB=μB0+μB1x，

(17)

為了進(jìn)一步分析能量在孤子上的分布，可將Es改寫為

Es=EB0+μB1ξ,

(18)

圖2 線性磁場下一維鐵磁鏈的孤子概率幅|α|及能量Es分布

Figure 2 Soliton probability amplitude (|α|) and energy distribution (Es) of one dimensional ferromagnetic chain under linear magnetic field

注：參數(shù)C=1,Ps=1,EB0=-1,μB1=2.5.

最后應(yīng)當(dāng)注意到，Es描述孤子能量的局域性分布情況. 孤子的移動也是能量的傳播，所以孤子自身所傳遞的總能量應(yīng)為

表明了孤子所傳遞的能量其實就是激發(fā)能. 它并沒有受到線性磁場線性項B1的影響，所以，線性磁場作用下一維鐵磁鏈激發(fā)的孤子依然能夠在鏈上穩(wěn)定傳播，B1的存在并沒有為孤子能量傳輸增加負(fù)擔(dān).

4 線性磁場下的改進(jìn)孤子解

一維鐵磁鏈的非線性激發(fā)是豐富的，文獻(xiàn)[26-27]提出了鐵磁鏈中存在的1個改進(jìn)孤子解，并研究了Aharonove-Bohm磁通對其孤子激發(fā)的影響，這種改進(jìn)孤子的形式后來被廣泛運用于其他模型的求解.

運用相同的哈密頓量式(1)及Holstein-Primakoff變換，并且引入相干態(tài)和空間連續(xù)近似，并設(shè)線性磁場滿足式(6)，將式(4)、(6)代入式(3)，可以得到一個新的含空間變系數(shù)的非線性微分方程

(19)

U=Φ(η)·ei?(η,t),

(20)

其中，Φ和相位?均為實函數(shù)；η=X-F(t)描述擴(kuò)展的行波運動；F(t)是一個關(guān)于時間的單變量實函數(shù). 將式(20)代入式(19)中，經(jīng)過整理運算，可得

(21)

其中h(t)為待定實函數(shù)，即

(22)

其中，

(23)

方程(22)是一個復(fù)雜的非線性方程，可求得當(dāng)K(η,t)為常數(shù)時的解. 于是設(shè)K(η,t)=C′，C′為常數(shù). 基于此，由式(21)、(23)易得F(t)、h(t)及相位的表達(dá)式. 而方程(22)的解則為

2(η-η0),

其中，η0為常數(shù)，由初始條件決定. 等號左端的第2項可以近似為常數(shù)，可歸入η0中，從而可以得到方程(22)的一個近似孤子解[26-27]. 結(jié)合歸一化條件，最后可得常數(shù)C′的值及一維鐵磁鏈在線性磁場作用下的改進(jìn)孤子解

(24)

(25)

同樣，式中g(shù)0、v均為常數(shù)，其具體取值由初始條件決定. 式(24)這個孤子只有在各向異性的鐵磁鏈中才存在，并且依然是一個可以穩(wěn)定傳播的孤立子. 容易判斷，孤子的外形即寬度和峰值都沒有受到線性磁場的影響. 改進(jìn)后的孤子依然具有寬度變窄、峰值更高的特點[26]，而這些是由于只考慮了不同的非線性相互作用而造成. 從雙曲余弦函數(shù)內(nèi)的表達(dá)式可以看出，加入線性磁場后，該改進(jìn)孤子的運動規(guī)律與式(13)孤子的運動規(guī)律一樣，具有相同的初速度(式(14))、加速度(式(15)). 這里可以看出線性磁場對孤子的產(chǎn)生及穩(wěn)定性并沒有任何影響，而僅起到改變它運動模式的作用.

通過式(25)可以考察這個改進(jìn)孤子的能量分布. 設(shè)此處孤子的頻移量為Ω′=?Θ′/?t，同理可以證明dΩ′/dt=0，于是能量為

5 結(jié)論

受外場影響的物理系統(tǒng)是普遍存在的. 本文首先推導(dǎo)出一維鐵磁鏈在非均勻外磁場中，自旋概率幅的運動方程，進(jìn)而研究了在線性磁場作用下2種情況的孤子激發(fā)，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀荒軌蚣ぐl(fā)出穩(wěn)定地孤子，但此時孤子的相位和運動情況上發(fā)生了變化. 孤子的激發(fā)特征量，如峰值、寬度和有效質(zhì)量這些均由非線性相互作用決定，與外加的線性磁場無關(guān). 而外加的線性磁場對鐵磁鏈孤子的影響都體現(xiàn)在其運動狀態(tài)和能量的轉(zhuǎn)化上. 線性磁場的存在破壞了系統(tǒng)原有的平移對稱性，使得鐵磁鏈中激發(fā)的孤子做勻變速運動，而且最終運動方向取決于加速度的方向，由此使得孤子能量呈現(xiàn)定域分布，然而其傳輸?shù)目偰芰看笮s不會受到磁場線性項的影響. 孤子的運動減少了對初始條件的依賴，增強(qiáng)其運動的可控性，同時又不會為孤子的傳播帶來負(fù)面影響.

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Solitons in One-Dimensional Heisenberg Ferromagnetic Chain with Linear Magnetic Field

MO Zijie, CHEN Hao*, WANG Ruiqiang

(Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials, School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

Two kinds of soliton excitations in 1D ferromagnetic chain with linear magnetic field are considered. By solving two different modified nonlinear Schr?dinger equations, the soliton solutions excited by them are obtained. The two obtained soliton solutions show that linear term of magnetic field has no influence on the shape and effective mass of each soliton, but changes the motional mode from uniformly motion to uniformly variable motion. Moreover, the energy of soliton appears the localized distribution after introducing the linear magnetic field. Introducing linear magnetic can make the excitation and motion of soliton more controllable without destroying the stability in 1D ferromagnetic chain.

2015-12-31 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項目(11474106)

*通訊作者:陳浩，教授，Email:chenhao@scnu.edu.cn.

O482.51；O175.14

A

1000-5463(2017)05-0016-06

【中文責(zé)編：譚春林 英文審校：肖菁】