一類與In算子有關(guān)的解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟， 李宗濤

(1. 滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部， 滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部， 廣州 510403)

一類與In算子有關(guān)的解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟1*， 李宗濤2

(1. 滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部， 滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部， 廣州 510403)

單葉函數(shù)；In算子；Q(a,n;A,B)函數(shù)； Fekete-Szeg?不等式

When the parameters ofa,AandBare assigned with some special values, Fekete-Szeg? inequalities of some special function class are obtained.

Keywords： univalent function;Inoperator;Q(a,n;A,B) function; Fekete-Szeg? inequality

令H表示形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

且在U={z:|z|<1}內(nèi)解析的函數(shù)f(z)的全體所成的函數(shù)類.H中單葉函數(shù)全體記作S. 如果f(z)H，且滿足Re{zf′(z)/f(z)}>0，則稱函數(shù)f(z)為單位圓U內(nèi)的星形函數(shù)，記作S*.

對于f(z)H,RUSCHEWEYH[2]定義算子D:H→H,D=*f(z) (f(z)H;>-1),并稱之為Ruscheweyh導(dǎo)數(shù). 類似地，NOOR[3]定義了如下算子：

In:H→H,Inf(z)=[z/(1-z)](-1)*f(z)=

(2)

顯見I0f(z)=zf′(z),I1f(z)=f(z).

FEKETE和SZEG?[4]于1933年證明了：設(shè)f(z)S，f(z)由式(1)給出，0≤μ<1，則且對每個μ等號都成立.

學(xué)者們研究了H中一些子類的Fekete-Szeg?問題[5-9],但對于In算子定義的函數(shù)類上的Fekete-Szeg?問題研究很少. 本文研究了Q(a,n;A,B)函數(shù)類上的Fekete-Szeg?問題，推廣了一些已有的結(jié)果.

下面給出算子In定義上的函數(shù)類Q(a,n;A,B).

定義1對于-1≤B

(Inf(z))′+az(Inf(z))″(zU),

(3)

記函數(shù)f(z)Q(a,n;A,B).

當(dāng)參數(shù)a、B、A取特殊值時，可得一些特殊的解析函數(shù)類. 例如:

Q(0,n;1-2β,-1)=Re(Inf(z))′>β(zU)；

Q(0,1;1,-1)=Ref′(z)>0 (zU)；

Q(1,0;1,-1)=Re[f′(z)+3zf″(z)+z2f?(z)]>0

(zU);

Q(0,0;1,-1)=Q(1,1;1,-1)=Re[f′(z)+zf″(z)]>0

(zU).

近年來，學(xué)者們研究了與NOOR算子相關(guān)的各種解析函數(shù)類和亞純函數(shù)類[10-14]，如定義了函數(shù)類Q(a,n;A,B)，研究了此函數(shù)類的包含關(guān)系和函數(shù)f(z)屬于此函數(shù)類的2個充要條件[10].

為了導(dǎo)出本文的主要結(jié)果，需要如下引理.

引理1[15]設(shè)ω(z)=d1z+d2z2+…(zU)解析,且|ω(z)|≤|z|,則|d1|≤1,|d2|≤1-|d1|2.

引理2[16]設(shè)p(z)=1+p1z+p2z2+…在U={z:|z|<1}內(nèi)解析且滿足Rep(z)>0，則

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1假設(shè)f(z)H由式(1)給出，f(z)Q(a,n;A,B)，u,則

證明因為f(z)Q(a,n;A,B)，所以存在ω(z)=d1z+d2z2+…，使得

(4)

將Inf(z)的冪級數(shù)展開式代入式(4)，并比較恒等式兩邊的z和z2兩項的系數(shù)，可得

由引理1可得：

H(x)=C+CDx2,

其中

E=8B(1+a)2(n+2)+9u(1+2a)(A-B)(n+1).

所以

相應(yīng)地,極值函數(shù)為：

(Inf(z))′=

推論1假設(shè)Re(Inf(z))′>β(0≤β<1),f(z)由式(1)給出，u,則

且對所有的u等號都成立.

在推論1中令n=1,β=0，則得：

推論2[17]假設(shè)Ref′(z)>0,f(z)由式(1)給出，u,則

且對所有的u等號都成立.

推論3假設(shè)Re[f′(z)+3zf″(z)+z2f?(z)]>0，f(z)由式(1)給出，u,則

且對所有的u等號都成立.

推論4假設(shè)Re[f′(z)+zf″(z)]>0，f(z)由式(1)給出，u,則

且對所有的u等號都成立.

利用引理2，類似于定理1的證明可以得到以下定理：

且對所有的u等號都成立.

且對所有的u等號都成立.

且對所有的u等號都成立.

且對所有的u等號都成立.

且對所有的u等號都成立.

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The Fekete-Szeg? Inequality for Some Subclass of Analytic Functions Related to InOperator

GUO Dong1*, LI Zongtao2

(1. Foundations Department, Chuzhou Vocational and Technical College, Chuzhou 239000, China;2. Foundations Department, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510403, China)

2016-01-12 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

安徽省高校自然科學(xué)基金項目(KJ2015A372); 廣東省博士啟動項目(2016A030310106)

*通訊作者:郭棟,副教授,Email:gd791217@163.com.

O174.51

A

1000-5463(2017)05-0096-04

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】