對立體幾何找直線與平面交點問題的探究

田煒歌

對立體幾何找直線與平面交點問題的探究

田煒歌

立體幾何基礎(chǔ)知識體系的建構(gòu)是一個循序漸進的過程，學(xué)生對其基本定理和公理的理解程度決定了解題和判斷能力。很多學(xué)生到了高三階段在立體幾何問題中舉步維艱，其實是源于基礎(chǔ)知識的缺失。本文以2016年高三質(zhì)量檢測考試中的一道立體幾何試題為例，探究直線與平面交點的方法，希望對鞏固學(xué)生的立體幾何知識、提升空間想象和推理論證的能力，為教師進行立體幾何教學(xué)和高三復(fù)習(xí)提供幫助。

立體幾何；交點；公理；定理

一、發(fā)現(xiàn)問題

在2016年9月的長春市高三質(zhì)量檢測（一模）考試中，文科數(shù)學(xué)16題是一道考查學(xué)生空間想象能力的立體幾何試題：已知三棱錐S-ABC，滿足SA,SB,SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一個動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為多少？

圖(1)

圖(2)

此題的得分率不高，是因為學(xué)生習(xí)慣性地先畫如圖(1)所示的三棱錐，這就很難求出外接球的特征。當(dāng)提示要觀察三垂足S，并把三棱錐S-ABC還原成立方體之后，學(xué)生們很快就能發(fā)現(xiàn)三棱錐的外接球就是立方體的外接球，外接球的球心即立方體的中心，到平面ABC距離最大時點Q的位置如圖(2)所示，在頂點S所在的體對角線的另一端。

但是5分鐘后，學(xué)生仍然沒能得出結(jié)論，其原因不是SQ為什么垂直于平面ABC，而是提出了另外一個問題：SQ與平面ABC的交點在哪里？

這個問題很好回答，也有多種方法去解決，其應(yīng)用的是立體幾何中的基礎(chǔ)知識，但卻成為了學(xué)生解題的絆腳石。這說明學(xué)生的空間想象能力較弱，對直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用能力弱，對最基本公理的理解也不到位。

二、探究問題

以此題為例，介紹三個方法來解決這個“找交點”問題。

方法一：從外接球的角度講，直徑SQ垂直于球的截面ABC，這個垂足K就是△ABC外接圓的圓心。去掉干擾線，應(yīng)如圖3所示。

圖(3)

圖(4)

方法二：人教A版教材中，習(xí)題B組中有原題，求證立方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AC1與平面A1BD的交點是△A1BD的重心。利用射影定理，因為 AB=AD=AA1，所以 KD=KB=KA1，所以得點K是△A1BD的外心，即為正△A1BD的重心。如圖4所示。

方法三：利用公理進行作圖求得交點K。如圖5所示，連接SD交AC于點M，連接BM。因為 K∈SQ且 SQС 平面 SBQD，所以 K∈面SBQD，所以K是平面ABC與平面SBQD的公共點，所以位于平面ABC與平面SBQD上的交線上；又因為點B,M都在平面ABC與平面SBQD上，所以線BM即為平面ABC與平面SBQD的交線，所以點K在交線BM上；綜上，直線SQ與直線BM的交點即為直線SQ與平面ABC的交點K。

圖(5)

三、比較三個方法得出找交點的通法

方法一要求學(xué)生有很好的空間想象能力，這個思路以球為載體，在復(fù)習(xí)必修2第一章旋轉(zhuǎn)體的部分時，借助正方體的外接球模型來認識球是一個空間的幾何體，讓學(xué)生熟知球的截面是圓，過球面上任意三個點A、B、C做的截面都是圓，即△ABC的外接圓。

方法二是考查射影定理模型，新教材中，不提倡射影定理及其逆定理，而是直接用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理來理解這個模型。在復(fù)習(xí)必修2第二章直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理時，讓學(xué)生對這個模型深入理解。通過這道題或正三棱錐為載體來了解掌握射影定理模型，并通過這個模型來進一步理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。

方法三是最基礎(chǔ)的方法，只使用公理1與公理3即可。公理1的作用是判定直線在平面內(nèi)，公理3的作用最常用來證明三點共線或三線共點，教材中能夠作為理解這兩個定理的題很少，本題恰恰提供了一個很好的思路，并且適用于所有類似的找交點問題。

為了能提高學(xué)生在立體幾何上的綜合能力，加強對公理的理解與使用，教學(xué)時，筆者先要求學(xué)生背誦一遍三個公理的內(nèi)容，并給出以下三個“找交點”問題。

題1：已知長方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 6，底面ABCD邊長1，高 AA1長2，求BD1與面B1AC的交點。

題 2：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 7，F(xiàn)點為體對角線BD1的四分之一分點，靠近B，求過點A,C,F的平面與棱BB1的交點。

題 3：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 8，F(xiàn)點為體對角線BD1的四分之一分點，靠近B，求過點D,C,F的平面與棱BB1的交點。

圖(6)

圖(7)

圖(8)

顯然，對于這三個例子，方法一與方法二不適合，應(yīng)當(dāng)用方法三。題1的解答與方法三完全一樣，不再贅述。題2作法：連接BD交AC于點M，連接MF并延長交BB1于點H,H為所求交點。

題3作法：連接DF并延長交BB1于點N，點N為所求交點。

圖（9）

還可以拓展一些直線與平面交點在幾何體外的類型題。

題4：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 9，點M為A1B的中點，求C1M與平面ADD1A1的交點.

完成練習(xí)之后，再次讓學(xué)生總結(jié)，三個公理的作用是什么，交點可以通過什么來求。

必修2教材的習(xí)題B組中，有對公理應(yīng)用的配備練習(xí)，即三點共線和三線共點問題，應(yīng)當(dāng)有效地利用起來。在教學(xué)中，強調(diào)公理的作用能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和應(yīng)用公理定理解決問題的能力。

四、強化幾何作圖教學(xué)，提升空間想象能力

在初等教育中，幾何是一門很形象的學(xué)科，是研究圖形的大小和位置關(guān)系。學(xué)生一開始很容易就喜歡上幾何，因為圖形來源于直觀的生活，卻在最后很容易就放棄幾何，因為無法把圖形還原于直觀的生活。所以，在立體幾何教學(xué)中，我們對任何抽象小題研究的目的都思考：如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

通過這個簡單試題，發(fā)現(xiàn)在多個解題方法中，最簡單的也最容易被忽視的方法是應(yīng)用公理的方法三，即幾何作圖能力。簡單的平面幾何作圖，對高中生來說已經(jīng)很簡單，但是立體幾何圖形的作圖就有難度了。

教學(xué)的第一步，如教材中用斜二側(cè)畫法來畫一個整體的立體圖形，如長方體、直六棱柱。先畫底面，再畫側(cè)棱，最后將上底面各個頂點順次鏈接起來。這種畫法讓學(xué)生可以很快感受到一個幾何體的直觀圖。但是對于幾何體內(nèi)部點、線、面的關(guān)系就需要進一步的引導(dǎo)。需要引導(dǎo)學(xué)生先找到點的位置，進而找到線的位置，有了線的位置，就能找到面的位置。

公理是立體幾何的基石，是所有定理和重要結(jié)論存在的依據(jù)，是將對點、線、面的直觀感知轉(zhuǎn)化成準確位置關(guān)系的重要依據(jù)。課標中指出：公理對學(xué)生建立空間感，實現(xiàn)從認識平面幾何到認識空間幾何具有十分重要的促進作用?？季V中要求“能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形位置關(guān)系的簡單命題”，所以要重視培養(yǎng)學(xué)生使用公理看待問題的意識和能力。

過去的考試中，對立體幾何公理的考察基本只出現(xiàn)在文字判斷辨析中，而作圖既能考察學(xué)生的空間推理證明能力，又能考查學(xué)生將知識應(yīng)用于生活的實踐能力。近幾年高考題，立體幾何作圖找點等問題回到了人們的視線中，這提示我們不能忽略公理使用的教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與應(yīng)用意識。

G632

A

1671-6531（2017）09-0074-03

田煒歌/長春市第七中學(xué)二級教師（吉林長春130051）。

責(zé)任編輯：蘇 航