拓?fù)涫Ｓ喔?/h1>
2017-11-01 14:37:13賀永春練利鋒
賀永春, 練利鋒
(1.榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)
拓?fù)涫Ｓ喔?/p>
賀永春1, 練利鋒2
(1.榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)
利用剩余格L中濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)洇覨,證明了(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔?給出拓?fù)涫Ｓ喔?L,τF)中任意一個(gè)非空集合的閉包的表達(dá)形式,并且在給定的一些特殊的條件下證明了(L,τF)是Hausdor ff空間.
拓?fù)涫Ｓ喔?濾子系統(tǒng);Hausdor ff空間
1 引言
剩余格已成為模糊邏輯中比較理想的代數(shù)框架,是研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具.關(guān)于剩余格的研究,讀者可以參考文獻(xiàn)[1-4].代數(shù)和拓?fù)涫菙?shù)學(xué)的兩個(gè)基礎(chǔ)的領(lǐng)域,它們雖然是相對獨(dú)立的,但是在數(shù)學(xué)的高領(lǐng)域的研究中有著緊密的聯(lián)系,如群表示論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)浯鷶?shù)等.自從剩余格理論建立以來[5],關(guān)于剩余格在模糊代數(shù)理論的研究得到了廣泛的關(guān)注,但是在拓?fù)淅碚摲矫嫜芯可跎?有關(guān)邏輯代數(shù)上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究,請讀者參照文獻(xiàn)[6,8].基于此,研究拓?fù)涫Ｓ喔袷怯幸饬x的.
2 預(yù)備知識
定義 2.1[1-2]一個(gè)(2,2,2,2,0,0)型的代數(shù)(L,∧,∨,⊙,→,0,1)若滿足下列條件:對任意的x,y,z∈L,
(i)(L,∧,∨,0,1)是有界格,0,和1分別為L的最小元和最大元;
(ii)(L,⊙,1)是可換幺半群;
(ii)x⊙y≤z當(dāng)且僅當(dāng) x≤y→z;則稱(L,∧,∨,⊙,→,0,1)為一個(gè)剩余格.
本文中,如沒有特別聲明,剩余格(L,∧,∨,⊙,→,0,1)簡記為L.
命題 2.1[4]若L是一個(gè)剩余格,則以下各條可證：對任意的x,y,z∈L,
(R1)1→x=x,x→1=1,
(R2)x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1,
(R3)如果x≤y,則有y→z≤x→z,z→x≤z→y以及x⊙z≤y⊙z,
(R4)x⊙(x→y)≤y,
(R5)x⊙y≤x∧y,x≤y→x,
(R6)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z),
定義 2.2[2,3]設(shè)F是L的一個(gè)非空子集,若F滿足以下條件:
(i)x,y∈F蘊(yùn)含x⊙y∈F;
(ii)x∈F且x≤y蘊(yùn)含y∈F；則稱F是L的濾子.
剩余格L的子集F稱為推導(dǎo)系統(tǒng)是指F滿足以下條件:
(i)1∈F;
(ii)x,x→y∈F蘊(yùn)含y∈F.容易驗(yàn)證在剩余格中濾子和推導(dǎo)系統(tǒng)是一致的.記剩余格L中全體濾子的集合為F(L).
定義 2.3[6]偏序集(D,≤)稱為定向集,如果對任意x,y∈D,存在z∈D使得
定義 2.4[7]設(shè)τ是L上的拓?fù)?若L中的每個(gè)運(yùn)算都關(guān)于τ連續(xù),則稱序?qū)?L,τ)為拓?fù)涫Ｓ喔?
3 主要結(jié)果及其證明
定義 3.1[12]設(shè)Λ是定向集以及
是剩余格L的一族濾子.對任意的 i,j∈Λ,如果i≤j蘊(yùn)含F(xiàn)j?Fi,則稱 {Fi:i∈Λ}為 L的濾子系統(tǒng)（或簡記為系統(tǒng)）.
引理 3.1設(shè)F={Fi:i∈Λ}是L的系統(tǒng).則L中存在拓?fù)洇泳哂谢?/p>
證明設(shè)
下面證明τ是L上的拓?fù)?顯然?,L∈τ.設(shè)
則存在i∈I使得x∈Ui.由于 Ui∈τ,從而存在Fj∈F 使得x/Fj?Ui.因此有
故
假設(shè) Ui,Uj∈τ.下面我們證明 Ui∩Uj∈τ.設(shè)x∈Ui∩Uj.則存在Fk,Fl∈F 使得
由于Λ是定向集,存在h∈Λ使得k,l≤h.因此有
不難證明
故有
任取U∈τ以及x∈U,則存在Fx∈F使得x/Fx?U.因此有
所以β是τ的基.
注 3.1本文主要討論剩余格L中濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)?/p>
(簡記為τF)的拓?fù)湫再|(zhì).如果沒有特殊說明,本文總假設(shè)τF是由濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)?
眾所周知剩余格L中的任意一個(gè)濾子F都可以誘導(dǎo)L上的一個(gè)同余關(guān)系θF,這里θF定義為 (x,y)∈θF當(dāng)且僅當(dāng)x→y∈F,y→x∈F.
定理3.1設(shè)
是L的系統(tǒng).則(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔?
證明由引理知 (L,τF)是拓?fù)淇臻g.下面只需要證明對L中運(yùn)算 ?∈{∧,∨,⊙,→}以及
映射f?:L×L→L定義為
是連續(xù)的.由于(L,τF)具有基
則有 x?y∈b/Fi,顯然有
是L×L中點(diǎn)(x,y)的開領(lǐng)域.下面證明
則 u∈x/Fi且 v∈y/Fi,即 (u,x)∈θFi以及 (v,y)∈θFi,這里 θFi是由 Fi誘導(dǎo)的同余.因此有
由x?y∈b/Fi,可得到u?v∈b/Fi.故有
下面給出拓?fù)涫Ｓ喔?L,τF)中任意一個(gè)非空集合的閉包的具體表達(dá)形式.
定理 3.2設(shè)(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔褚约癝是L中的非空子集.則
這里S是S的拓?fù)溟]包,
證明設(shè)x∈L以及
是τF的基.則有 x∈,
?對x的任何領(lǐng)域U,總有
定理 3.3(L,τF)是 Hausdor ff空間當(dāng)且僅當(dāng)
證明設(shè)(L,τF)是 Hausdor ff空間.則
是閉集.由引理得
反之,設(shè)
任取 x/=y,則有
或者
不失一般性,設(shè)
由假設(shè)
則存在λ∈Λ使得x→y/∈Fλ.因此x/∈y/Fλ,則有
[1]Ward M,Dilworth P R.Residuated lattice[J].Transactions of the American Mathematical Society,1939,45(1939):335-354.
[2]Piciu D.Algebras of Fuzzy Logic[M].Ed.Craiova:Universitaria,2007.
[3]裴道武.Ro-代數(shù)中的蘊(yùn)涵濾子與同余關(guān)系[J].西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2000,3(4):24-29.
[4]Kowalski T,Ono H.Residuated Lattices:An Algebraic Glimpse at Logic Without Contraction[M].New York:Springer,2001.
[5]Davey B A,Priestley H A.Introduction to Lattice and Order[M].Cambridge:Cambridge University Press,2002.
[6]Haveshki M,Eslami E,Borumand Saeid A.A topology induced by uniformity on BL-algebras[J].Math.Log.Q.,2007,53(2):162-169.
[7]Zahiri O,Borzooei R A.Topology on BL-Algebras[J].Fuzzy Sets.Syst.,2016,289(3):137-150.
[8]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.
Topology on residuated lattices
He Yongchun1,Lian Lifeng2
(1.School of Mathematics and Statistics,Yulin University,Yulin 718000,China 2.School of Mathematics and Information Engineering,Chongqing University of Education,Chongqing 400065,China)
In this paper,by using a special family of fi lters on a residuated lattice L,we construct a topology τFon L,show that(L,τF)is a topological residuated lattice, fi nd the closure of any subsets of L and obtain some conditions under which that(L,τF)is a Hausdor ffspace.
topological residuated lattice,system of fi lters,Hausdor ffspace
O159
A
1008-5513(2017)05-0545-06
10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.013
2017-9-27.
陜西省教育廳項(xiàng)目(15JK1859),重慶第二師范學(xué)院校項(xiàng)目(KY201548C).
賀永春(1981-),碩士,講師,研究方向：模糊數(shù)學(xué)、一般拓?fù)鋵W(xué).
練利鋒(1989-),碩士,助教,研究方向：代數(shù)學(xué).
2010 MSC:54A05,54C08
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賀永春, 練利鋒
(1.榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)
拓?fù)涫Ｓ喔?/p>
賀永春1, 練利鋒2
(1.榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)
利用剩余格L中濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)洇覨,證明了(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔?給出拓?fù)涫Ｓ喔?L,τF)中任意一個(gè)非空集合的閉包的表達(dá)形式,并且在給定的一些特殊的條件下證明了(L,τF)是Hausdor ff空間.
拓?fù)涫Ｓ喔?濾子系統(tǒng);Hausdor ff空間
1 引言
剩余格已成為模糊邏輯中比較理想的代數(shù)框架,是研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具.關(guān)于剩余格的研究,讀者可以參考文獻(xiàn)[1-4].代數(shù)和拓?fù)涫菙?shù)學(xué)的兩個(gè)基礎(chǔ)的領(lǐng)域,它們雖然是相對獨(dú)立的,但是在數(shù)學(xué)的高領(lǐng)域的研究中有著緊密的聯(lián)系,如群表示論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)浯鷶?shù)等.自從剩余格理論建立以來[5],關(guān)于剩余格在模糊代數(shù)理論的研究得到了廣泛的關(guān)注,但是在拓?fù)淅碚摲矫嫜芯可跎?有關(guān)邏輯代數(shù)上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究,請讀者參照文獻(xiàn)[6,8].基于此,研究拓?fù)涫Ｓ喔袷怯幸饬x的.
2 預(yù)備知識
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(i)(L,∧,∨,0,1)是有界格,0,和1分別為L的最小元和最大元;
(ii)(L,⊙,1)是可換幺半群;
(ii)x⊙y≤z當(dāng)且僅當(dāng) x≤y→z;則稱(L,∧,∨,⊙,→,0,1)為一個(gè)剩余格.
本文中,如沒有特別聲明,剩余格(L,∧,∨,⊙,→,0,1)簡記為L.
命題 2.1[4]若L是一個(gè)剩余格,則以下各條可證：對任意的x,y,z∈L,
(R1)1→x=x,x→1=1,
(R2)x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1,
(R3)如果x≤y,則有y→z≤x→z,z→x≤z→y以及x⊙z≤y⊙z,
(R4)x⊙(x→y)≤y,
(R5)x⊙y≤x∧y,x≤y→x,
(R6)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z),
定義 2.2[2,3]設(shè)F是L的一個(gè)非空子集,若F滿足以下條件:
(i)x,y∈F蘊(yùn)含x⊙y∈F;
(ii)x∈F且x≤y蘊(yùn)含y∈F；則稱F是L的濾子.
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(i)1∈F;
(ii)x,x→y∈F蘊(yùn)含y∈F.容易驗(yàn)證在剩余格中濾子和推導(dǎo)系統(tǒng)是一致的.記剩余格L中全體濾子的集合為F(L).
定義 2.3[6]偏序集(D,≤)稱為定向集,如果對任意x,y∈D,存在z∈D使得
定義 2.4[7]設(shè)τ是L上的拓?fù)?若L中的每個(gè)運(yùn)算都關(guān)于τ連續(xù),則稱序?qū)?L,τ)為拓?fù)涫Ｓ喔?
3 主要結(jié)果及其證明
定義 3.1[12]設(shè)Λ是定向集以及
是剩余格L的一族濾子.對任意的 i,j∈Λ,如果i≤j蘊(yùn)含F(xiàn)j?Fi,則稱 {Fi:i∈Λ}為 L的濾子系統(tǒng)（或簡記為系統(tǒng)）.
引理 3.1設(shè)F={Fi:i∈Λ}是L的系統(tǒng).則L中存在拓?fù)洇泳哂谢?/p>
證明設(shè)
下面證明τ是L上的拓?fù)?顯然?,L∈τ.設(shè)
則存在i∈I使得x∈Ui.由于 Ui∈τ,從而存在Fj∈F 使得x/Fj?Ui.因此有
故
假設(shè) Ui,Uj∈τ.下面我們證明 Ui∩Uj∈τ.設(shè)x∈Ui∩Uj.則存在Fk,Fl∈F 使得
由于Λ是定向集,存在h∈Λ使得k,l≤h.因此有
不難證明
故有
任取U∈τ以及x∈U,則存在Fx∈F使得x/Fx?U.因此有
所以β是τ的基.
注 3.1本文主要討論剩余格L中濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)?/p>
(簡記為τF)的拓?fù)湫再|(zhì).如果沒有特殊說明,本文總假設(shè)τF是由濾子系統(tǒng)
誘導(dǎo)的拓?fù)?
眾所周知剩余格L中的任意一個(gè)濾子F都可以誘導(dǎo)L上的一個(gè)同余關(guān)系θF,這里θF定義為 (x,y)∈θF當(dāng)且僅當(dāng)x→y∈F,y→x∈F.
定理3.1設(shè)
是L的系統(tǒng).則(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔?
證明由引理知 (L,τF)是拓?fù)淇臻g.下面只需要證明對L中運(yùn)算 ?∈{∧,∨,⊙,→}以及
映射f?:L×L→L定義為
是連續(xù)的.由于(L,τF)具有基
則有 x?y∈b/Fi,顯然有
是L×L中點(diǎn)(x,y)的開領(lǐng)域.下面證明
則 u∈x/Fi且 v∈y/Fi,即 (u,x)∈θFi以及 (v,y)∈θFi,這里 θFi是由 Fi誘導(dǎo)的同余.因此有
由x?y∈b/Fi,可得到u?v∈b/Fi.故有
下面給出拓?fù)涫Ｓ喔?L,τF)中任意一個(gè)非空集合的閉包的具體表達(dá)形式.
定理 3.2設(shè)(L,τF)是拓?fù)涫Ｓ喔褚约癝是L中的非空子集.則
這里S是S的拓?fù)溟]包,
證明設(shè)x∈L以及
是τF的基.則有 x∈,
?對x的任何領(lǐng)域U,總有
定理 3.3(L,τF)是 Hausdor ff空間當(dāng)且僅當(dāng)
證明設(shè)(L,τF)是 Hausdor ff空間.則
是閉集.由引理得
反之,設(shè)
任取 x/=y,則有
或者
不失一般性,設(shè)
由假設(shè)
則存在λ∈Λ使得x→y/∈Fλ.因此x/∈y/Fλ,則有
[1]Ward M,Dilworth P R.Residuated lattice[J].Transactions of the American Mathematical Society,1939,45(1939):335-354.
[2]Piciu D.Algebras of Fuzzy Logic[M].Ed.Craiova:Universitaria,2007.
[3]裴道武.Ro-代數(shù)中的蘊(yùn)涵濾子與同余關(guān)系[J].西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2000,3(4):24-29.
[4]Kowalski T,Ono H.Residuated Lattices:An Algebraic Glimpse at Logic Without Contraction[M].New York:Springer,2001.
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[7]Zahiri O,Borzooei R A.Topology on BL-Algebras[J].Fuzzy Sets.Syst.,2016,289(3):137-150.
[8]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.
Topology on residuated lattices
He Yongchun1,Lian Lifeng2
(1.School of Mathematics and Statistics,Yulin University,Yulin 718000,China 2.School of Mathematics and Information Engineering,Chongqing University of Education,Chongqing 400065,China)
In this paper,by using a special family of fi lters on a residuated lattice L,we construct a topology τFon L,show that(L,τF)is a topological residuated lattice, fi nd the closure of any subsets of L and obtain some conditions under which that(L,τF)is a Hausdor ffspace.
topological residuated lattice,system of fi lters,Hausdor ffspace
O159
A
1008-5513(2017)05-0545-06
10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.013
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