基于全局方差和噪聲估計(jì)的維納濾波圖像的復(fù)原方法

李東升，陳春曉，王章立，楊俊豪

（南京航空航天大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系，南京 211106）

1 引 言

圖像復(fù)原是利用圖像處理的知識(shí)，從降質(zhì)圖像恢復(fù)得到接近真實(shí)圖像的方法。圖像復(fù)原的優(yōu)劣在一定程度上影響后續(xù)圖像的處理和分析［1］。因此，圖像復(fù)原在醫(yī)學(xué)影像、天文觀測(cè)、刑事偵查等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。

常用的圖像復(fù)原方法有維納濾波、最小二乘法、最大似然估計(jì)等。其中維納濾波器是基于最小均方差準(zhǔn)則的復(fù)原方法，可以使逆濾波和噪聲平滑過(guò)程中的均方差最小化，適用于抑制加性或乘性噪聲［2］。維納濾波將退化圖像與噪聲統(tǒng)計(jì)特性一并納入復(fù)原過(guò)程，因而可以在消除加性噪聲的同時(shí)恢復(fù)模糊圖像［3］。作為一種經(jīng)典的復(fù)原算法，維納濾波也在不斷地被改進(jìn)。Lahmiri等提出了混合維納和偏微分方程濾波方法，在圖像復(fù)原中取得了良好的結(jié)果［4］；Aouinti等將遺傳算法應(yīng)用到迭代維納濾波器中，提出了可迭代的維納濾波方法［5］；張紅民、陳新平等使用局部方差替代維納濾波中固定的K值，提出了自適應(yīng)變參數(shù)維納濾波方法［6-7］；劉曉輝等使用噪聲方差代替維納濾波中的噪聲功率，對(duì)退化圖像進(jìn)行二次維納濾波，獲得了較好的處理效果［8］。然而以上算法仍存在不穩(wěn)定、易失真的問(wèn)題，本研究提出了基于全局方差和誤差估計(jì)的維納濾波方法。實(shí)驗(yàn)證明，該方法可以保持圖像復(fù)原過(guò)程的穩(wěn)定性，通過(guò)設(shè)置合適的修正參數(shù)可以獲得較高質(zhì)量的復(fù)原結(jié)果。

2 維納濾波

圖像在傳輸過(guò)程中受到噪聲等因素的干擾，會(huì)導(dǎo)致圖像退化失真，圖像退化過(guò)程可表示為：

其中，f表示未退化的清晰圖像，h表示觀測(cè)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n表示圖像獲取過(guò)程中的噪聲，g為降質(zhì)退化圖像。圖像復(fù)原即根據(jù)已知條件通過(guò)一定方法獲得未退化清晰圖像。將公式（1）變換到頻域，圖像退化模型轉(zhuǎn)化為：

其中 G（u，v）、F（u，v）、H（u，v）、N（u，v）分別為g（x，y）、f（x，y）、h（x，y）、n（x，y）的傅里葉變換。若忽略噪聲的影響，可進(jìn)一步得到：

因此，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)理想的濾波器W（u，v）與已知的退化圖像頻譜G（u，v）點(diǎn)乘，可以得到理想的原圖像頻譜F（u，v），進(jìn)而恢復(fù)原圖像：

然而，由于使圖像模糊的系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)往往是一個(gè)低通濾波器，其在高頻部分的值很小，甚至接近于零，造成其倒數(shù)在高頻部分的值過(guò)大，這種逆濾波器會(huì)過(guò)分放大圖像的細(xì)節(jié)，容易造成復(fù)原結(jié)果失真［1］，不能有效地復(fù)原圖像。為解決這一問(wèn)題，工程上常在公式（4）的分母上加入一個(gè)合適的正則項(xiàng)r，則濾波器的表達(dá)式可以寫成：

其中，H*（u，v）是 H（u，v）的共軛。對(duì)于公式（5），當(dāng)H較大時(shí)，正則項(xiàng)r幾乎不起作用，濾波器近似于理想的逆濾波器；當(dāng)H較小時(shí)，由于r的存在濾波器對(duì)高頻部分過(guò)分放大的作用將會(huì)受到抑制，保證復(fù)原結(jié)果不會(huì)失真。

維納濾波的目的是使原始清晰圖像f（x，y）與復(fù)原得到的估計(jì)圖像（x，y）之間的均方差最小，即滿足：

其中E［·］代表數(shù)學(xué)期望算子。求解方程（6），可得：

其中 Pn（u，v）為噪聲功率，Pf（u，v）為原始清晰圖像功率。W（u，v）即為維納濾波器的傳遞函數(shù)。然而在實(shí)際工程中，原始清晰圖像和噪聲類型往往未知，因此常使用公式（8）來(lái)近似維納濾波器的傳遞函數(shù)：

其中K是一個(gè)合適大小的常數(shù)。對(duì)于不同圖像，常數(shù)K的選取需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)決定，不能夠充分利用圖像信息，難以得到理想的復(fù)原結(jié)果，這種方法通常只適合在圖像要求不高的情況下使用［9］。針對(duì)該問(wèn)題，可以使用頻域矩陣K（u，v）或空域矩陣K（x，y）來(lái)代替常數(shù)K，以獲得自適應(yīng)的參數(shù)，代替固定的 K值［10］。

因此，如何利用先驗(yàn)知識(shí)獲得原始清晰圖像和噪聲的估計(jì)成為重要的研究?jī)?nèi)容。劉曉輝等人提出了改進(jìn)的二次維納濾波方法［8］。該方法利用公式（8）對(duì)退化圖像進(jìn)行第一次復(fù)原，獲得原始清晰圖像功率譜Pf（u，v）的近似估計(jì)，進(jìn)而利用第一次維納濾波前后兩幅圖像的差值得到噪聲的估計(jì)。

實(shí)驗(yàn)表明，在高信噪比下，該方法可以獲得細(xì)節(jié)豐富的圖像，但低信噪比下往往會(huì)產(chǎn)生失真。針對(duì)上述問(wèn)題，本研究提出了一種基于全局方差和噪聲估計(jì)的維納濾波新方法。

3 基于全局方差和誤差估計(jì)的維納濾波

針對(duì)文獻(xiàn)［8］中的方法在低信噪比情況下復(fù)原效果差的問(wèn)題，本研究將噪聲功率譜引入維納濾波算法，以增強(qiáng)算法穩(wěn)定性，并結(jié)合全局方差，對(duì)維納濾波方法進(jìn)行了如下改進(jìn)：

實(shí)際工程中，噪聲的估計(jì)可分為基于塊和濾波的兩類方法［11］。本研究使用3×3的均值濾波算子對(duì)退化圖像進(jìn)行平滑，并將處理前后圖片的差值作為噪聲的估計(jì)。由于全局方差在強(qiáng)噪聲時(shí)數(shù)值較小，不能很好地起到修正的作用。本研究引入修正參數(shù)γ來(lái)獲得更好的修正能力。選取γ＝min（M，N），其中M，N為圖片的長(zhǎng)度與寬度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

選取Lenna圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用模糊核尺寸為，標(biāo)準(zhǔn)差為3的高斯型點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，對(duì)圖像進(jìn)行模糊，并分別加入方差為 10-i，i＝2，4，6，8，10的高斯型噪聲。使用文獻(xiàn)［6-7］中固定K值的維納濾波方法（K＝0.1），文獻(xiàn)［8］提出的改進(jìn)的二次維納濾波方法，與本研究提出的方法對(duì)模糊加噪圖像進(jìn)行復(fù)原，復(fù)原結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 模糊加噪圖像及其復(fù)原結(jié)果。（a1）-（a5）：噪聲方差分別為10-i；i＝2，4，6，8，10的模糊加噪圖像，（b1）-（b5）：固定 K值維納濾波復(fù)原結(jié)果；（c1）-（c5）：改進(jìn)的二次維納濾波復(fù)原結(jié)果；（d1）-（d5）：本研究提出方法復(fù)原結(jié)果Fig 1 Blurred and degraded images and results of recovery.（a1）-（a5）：Blurred and degraded images corrupted by noises with variances 10-i，i＝2，4，6，8，10；（b1）-（b5）：The recovery results of Wiener filter with fixed K；（c1）-（c5）：The recovery results of improved Wiener filter；（d1）-（d5）：The recovery results of method proposed in this article

為了客觀地評(píng)價(jià)圖像復(fù)原的質(zhì)量，本研究使用三個(gè)指標(biāo)對(duì)圖像復(fù)原結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，即峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR），均方誤差（mean square error，MSE）和結(jié)構(gòu)相似性（structural similarity index，SSIM）。其中 PSNR越大、MSE越小，表示圖像復(fù)原質(zhì)量越好，SSIM的數(shù)值越接近1，表示兩幅圖像相似度越高。表1給出了各種方法進(jìn)行圖像復(fù)原后的性能指標(biāo)。

從圖1及表1可以看出，在強(qiáng)噪聲下，本研究提出的方法明顯優(yōu)于固定K值和文獻(xiàn)［8］提出的改進(jìn)二次維納濾波算法。在噪聲較弱時(shí)，本研究提出的算法復(fù)原能力與文獻(xiàn)提出的改進(jìn)二維維納濾波方法差別不大。此外，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由于噪聲估計(jì)方法能力有限，隨著噪聲強(qiáng)度減弱該方法對(duì)噪聲方差的估計(jì)結(jié)果最終趨于某定值。因此在弱噪聲情況下，使用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)時(shí)，如果γ數(shù)值過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致復(fù)原圖像質(zhì)量下降，此時(shí)作為補(bǔ)充，可考慮使用γ＝1作為修正參數(shù)，以獲得較小的數(shù)值。圖2給出了模糊核尺寸為10×10，標(biāo)準(zhǔn)差為3的高斯型點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)模糊圖像后，分別加入方差為10-i，i＝2，4，6，8，10的高斯噪聲的情況下，使用 γ＝min（M，N）和γ＝1兩種方法復(fù)原圖像的結(jié)果。從表2可以看出，當(dāng)噪聲強(qiáng)時(shí)，使用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)復(fù)原結(jié)果很好，而在噪聲較弱時(shí)，為獲得更多的圖像細(xì)節(jié)信息，取γ＝1時(shí)，圖像復(fù)原的質(zhì)量更好。

圖2 改變值圖像復(fù)原結(jié)果。其中（a1）-（a5）：取 γ＝min（M，N），噪聲方差分別為10-i，i＝2，4，6，8，10圖像復(fù)原的結(jié)果；（b1）-（b5）：取 γ＝1，噪聲方差分別為10-i，i＝2，4，6，8，10圖像復(fù)原的結(jié)果Fig 2 The recovery results by changing the value of.（a1）-（a5）：The recovery results of images corrupted by noises with variances10-i，i＝2，4，6，8，10 whenγ＝min（M，N）；（b1）-（b5）：The recovery results of images corrupted by noises with variances10-i，i＝2，4，6，8，10 whenγ＝1.

表1 模糊加噪圖像復(fù)原結(jié)果的性能指標(biāo)Table 1 The performances of recovery results of the blurred and degraded images

表2 模糊加噪圖像復(fù)原結(jié)果的性能指標(biāo)Table 2 The performances of recovery results of the blurred and degraded images

根據(jù)Lenna圖像的復(fù)原結(jié)果及性能指標(biāo)對(duì)比，可以看出，根據(jù)噪聲強(qiáng)弱程度調(diào)整修正參數(shù)γ，算法對(duì)圖像的復(fù)原能力優(yōu)于固定K值的維納濾波算法和文獻(xiàn)中提出的二次維納濾波算法。此外，當(dāng)工程上獲得的圖片受噪聲干擾嚴(yán)重時(shí)，可選用γ＝min（M，N）作為修正參數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原；而當(dāng)圖像受噪聲干擾較弱時(shí)，可使用γ＝1作為修正量對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原處理。利用本研究提出的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)中獲得的顯微切片圖像進(jìn)行復(fù)原，復(fù)原結(jié)果見(jiàn)圖3。從圖3中分別利用修正參數(shù)為γ＝min（M，N）和γ＝1的本研究方法對(duì)顯微切片圖像進(jìn)行復(fù)原，進(jìn)一步驗(yàn)證，根據(jù)圖像中的噪聲強(qiáng)度調(diào)節(jié)參數(shù)γ可以更好地提高圖像復(fù)原的質(zhì)量，恢復(fù)圖像原本的細(xì)節(jié)信息。

圖3 病理切片圖像復(fù)原。其中，（a1）強(qiáng)噪聲病理切片圖像，（b1）γ＝min（M，N）時(shí)（a1）的復(fù)原結(jié)果，（c1）γ＝1時(shí)（a1）的復(fù)原結(jié)果；（a2）弱噪聲病理切片圖像，（b2）γ＝min（M，N）時(shí)（a2）的復(fù)原結(jié)果，（c2）γ＝1時(shí)（a2）的復(fù)原結(jié)果。Fig 3 The recovery results of pathological images.（a1）Pathological section with strong noise；（b1）The recovery results of（a1）when（b1）γ＝min（M，N）；（a2）Pathological section with week noise；（b1）The recovery results of（a1）whenγ＝1

5 結(jié)論

本研究充分利用已知圖像的先驗(yàn)知識(shí)，結(jié)合噪聲估計(jì)及全局方差，對(duì)維納濾波的圖像復(fù)原方法進(jìn)行了改進(jìn)。實(shí)驗(yàn)表明，本研究提出的算法復(fù)原質(zhì)量較高，性能穩(wěn)定，抗噪能力強(qiáng)，失真小，在圖像復(fù)原方面具有一定的實(shí)用價(jià)值。