創(chuàng)設(shè)有效情境培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

吳青

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程設(shè)計(jì)思路中明確指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)……使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程?！蓖瑫r(shí)，將“模型思想”作為八個(gè)核心概念之一。由此可以看出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，必須依托具體的生活情境，讓學(xué)生充分感受生活情境，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的生活情境中挑選有效信息，從而將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程中，生活情境的選擇非常重要。我們要優(yōu)選生活情境，使其具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，并且要和兒童的實(shí)際生活密切聯(lián)系，這樣學(xué)生才容易理解其中隱含的問(wèn)題，才能引起他們的探究欲望，從而將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并得到解決，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模。

一、創(chuàng)設(shè)有效的生活情境，將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化

一切知識(shí)皆來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建更是依賴于一定的生活情境，只有在對(duì)生活情境有充分的了解，舍棄那些與問(wèn)題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)因素，保留問(wèn)題的本質(zhì)因素之后，學(xué)生才能順利地建立起有效的數(shù)學(xué)模型，從而將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

說(shuō)到數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)史上一個(gè)最著名的例子，就是格尼斯堡的七橋問(wèn)題。當(dāng)格尼斯堡的人們每天沿著市中心的7座橋散步時(shí)，不知不覺(jué)中便提出了一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過(guò)一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這就是一個(gè)生活問(wèn)題，然而在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們都被河、橋、陸地這些因素所干擾，始終無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題。而歐拉將陸地抽象成點(diǎn)，將橋抽象成線，舍棄了那些無(wú)關(guān)因素，從而將七橋問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上的一筆畫問(wèn)題，進(jìn)而順利解決了這個(gè)困擾大家多年的問(wèn)題。

從歐拉解決七橋問(wèn)題的過(guò)程中，可以看出數(shù)學(xué)建模的魅力就在于能夠?qū)⑸顔?wèn)題數(shù)學(xué)化，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活問(wèn)題。因此在實(shí)際教學(xué)中，我們要善于從兒童的日常生活中選取可用的素材，創(chuàng)設(shè)豐富而有效的生活情境，讓學(xué)生在情境中感悟、體驗(yàn)、思考、探究，進(jìn)而將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而得到解決。

比如在教學(xué)和的奇偶性時(shí)，老師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)拋骰子玩轉(zhuǎn)盤的生活情境。拋骰子和玩轉(zhuǎn)盤在學(xué)生的生活中很常見(jiàn)，由此拉近了學(xué)生與課堂探究?jī)?nèi)容之間的心理距離，也密切了數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。在這個(gè)游戲中規(guī)定，拋出骰子后，將拋到的數(shù)再加一遍，得到一個(gè)結(jié)果，然后在轉(zhuǎn)盤上找到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，領(lǐng)取對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品。學(xué)生玩了幾次都是空手而返，這是為什么呢？在生動(dòng)有趣的生活情境的渲染下，學(xué)生陷入了沉思中。很快有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)盤上奇數(shù)對(duì)應(yīng)的都是獎(jiǎng)品，而與偶數(shù)對(duì)應(yīng)的則都是“謝謝參與”。還有學(xué)生意識(shí)到，將拋到的數(shù)再加一遍，不管原來(lái)拋到的是幾，再加一遍之后都是偶數(shù)，因此都拿不到獎(jiǎng)品。看來(lái)，拿不到獎(jiǎng)品不是運(yùn)氣不好，而是規(guī)則定得不好。

于是，老師讓學(xué)生修改規(guī)則，使得這個(gè)游戲更加公平。有學(xué)生提出，拋兩次骰子，然后將兩次拋到的數(shù)相加。那么，如何確定和的奇偶性呢？?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，有哪幾種不同的情形呢？接下來(lái)，學(xué)生分別研究偶數(shù)加偶數(shù)、奇數(shù)加奇數(shù)、偶數(shù)加奇數(shù)這三種不同情形下和的奇偶性，并最終得出規(guī)律。

在這個(gè)課例中，學(xué)生通過(guò)玩轉(zhuǎn)盤這個(gè)具體的生活情境，將骰子和轉(zhuǎn)盤這些無(wú)關(guān)因素舍棄，保留下來(lái)的則是兩個(gè)數(shù)相加確定和的奇偶性，從而將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。他們經(jīng)歷了生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這是整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。

在六年級(jí)的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師向?qū)W生介紹了古印度梵塔的傳說(shuō)。在古老傳說(shuō)的情境渲染下，再讓學(xué)生玩漢諾塔，比一比誰(shuí)的速度最快。當(dāng)學(xué)生從2層漢諾塔開(kāi)始，逐漸過(guò)渡到3層、4層、5層漢諾塔，難度逐漸加大，移動(dòng)的次數(shù)也變得越來(lái)越多。于是有學(xué)生開(kāi)始思考，在每一種情形下，最少需要移動(dòng)的次數(shù)之間有怎樣的規(guī)律。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，n層漢諾塔最少需要移動(dòng)2n-1次。在這個(gè)教學(xué)片段中，教師創(chuàng)設(shè)了梵塔傳說(shuō)與漢諾塔移動(dòng)比賽的生活情境，學(xué)生在操作過(guò)程中，自主地將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題并建立起數(shù)學(xué)模型，思考最少移動(dòng)次數(shù)存在的規(guī)律，進(jìn)而解決了這個(gè)問(wèn)題。

但是在這節(jié)課上，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程并沒(méi)有止于此，而是向著數(shù)學(xué)思維的縱深處發(fā)展。教師隨后又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生活情境，向?qū)W生介紹了古印度的另一個(gè)傳說(shuō)，關(guān)于國(guó)際象棋發(fā)明者接受國(guó)王賞賜的故事：在棋盤的第1個(gè)小格里賞一粒麥子，在第2個(gè)小格里賞2粒，第3個(gè)小格賞4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，把棋盤上的64格都擺上麥粒。64格一共能擺放多少麥粒呢？學(xué)生紛紛拿起筆計(jì)算起來(lái)，真是不算不知道，一共竟然有264-1粒，這是一個(gè)20位數(shù)，真是一個(gè)超出我們感知能力的天文數(shù)字。

將剛才的兩個(gè)例子進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩種不同的生活情境，兩種不同的生活問(wèn)題，最終都?xì)w結(jié)為2n-1這個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型。同一個(gè)數(shù)學(xué)模型會(huì)應(yīng)用到不同的生活問(wèn)題中，會(huì)有不同的具體解釋，所以數(shù)學(xué)模型具有高度的抽象性和概括性。

對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，實(shí)際上就是生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有模型意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。在這節(jié)課上，教師創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)不同的生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生排除無(wú)關(guān)信息的干擾，把生活問(wèn)題與一定的數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，把生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，他們的數(shù)學(xué)思維能力也就得到了一次提升。而當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同的生活問(wèn)題竟然歸結(jié)到同一個(gè)數(shù)學(xué)模型之中，他們對(duì)數(shù)學(xué)模型會(huì)有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)，也為以后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題提供了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

二、創(chuàng)設(shè)優(yōu)化的現(xiàn)實(shí)情境，將形象問(wèn)題抽象化

我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，須要將生活問(wèn)題進(jìn)行一定的抽象，經(jīng)過(guò)適當(dāng)概括，提煉出抽象的數(shù)學(xué)模型。因此在課堂上，我們須要?jiǎng)?chuàng)設(shè)優(yōu)化的現(xiàn)實(shí)情境，將生活問(wèn)題形象地呈現(xiàn)出來(lái)，促使學(xué)生在直觀的情境中分析、反思，并進(jìn)一步進(jìn)行抽象概括。endprint

數(shù)學(xué)模型的抽象化，主要是在數(shù)學(xué)概念方面運(yùn)用得比較多，比如數(shù)的概念、幾何概念等。由于這些概念本身就是對(duì)大量生活原型進(jìn)行抽象概括之后得到的，所以在課堂教學(xué)中，我們要注重讓學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括。

比如在教學(xué)百分?jǐn)?shù)的意義一課時(shí)，結(jié)合學(xué)校正在開(kāi)展的籃球比賽，創(chuàng)設(shè)了評(píng)選最佳投籃運(yùn)動(dòng)員的現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生都來(lái)做小考官，對(duì)三位運(yùn)動(dòng)員的投籃情況進(jìn)行評(píng)比。首先讓學(xué)生分析圖1給出的三位同學(xué)投中的次數(shù)，當(dāng)有同學(xué)根據(jù)小吳投中次數(shù)最多，而選擇小吳為最佳投籃運(yùn)動(dòng)員時(shí)，有同學(xué)提出反對(duì)意見(jiàn)，認(rèn)為還應(yīng)該考慮一共投籃的次數(shù)。這時(shí)出示圖2，又有同學(xué)根據(jù)小張沒(méi)有投中的個(gè)數(shù)最少，而選擇小張。此時(shí)再出示圖3，小王未投中的個(gè)數(shù)最少，是否小王投籃本領(lǐng)最好？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)，可以計(jì)算出每位同學(xué)投中次數(shù)各占投籃總次數(shù)的幾分之幾，然后再進(jìn)行比較。于是，百分?jǐn)?shù)概念的得出就水到渠成了。

在這個(gè)教學(xué)片斷中，教師選取了學(xué)生喜歡的、和他們生活密切相關(guān)的籃球比賽這一現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生在優(yōu)化的情境中，感受生活問(wèn)題并將其逐步抽象，從而得出百分?jǐn)?shù)這一數(shù)學(xué)模型。

接下來(lái)和學(xué)生一起分析64%的含義，此時(shí)學(xué)生所能理解的還只是這個(gè)百分?jǐn)?shù)的具體含義，還只是在投籃命中率這種生活情境之下的百分?jǐn)?shù)。為了讓學(xué)生更加充分地感受各種不同的百分?jǐn)?shù)的情境，充分認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)的具體含義，并能抽象概括出百分?jǐn)?shù)的一般意義，教師再一次創(chuàng)設(shè)了優(yōu)化的現(xiàn)實(shí)情境，在班級(jí)開(kāi)展“新聞發(fā)布會(huì)”，讓學(xué)生都成為小小新聞發(fā)布員，向大家介紹自己收集的生活中的百分?jǐn)?shù)，分析它們所表示的具體含義。通過(guò)對(duì)這些百分?jǐn)?shù)具體含義的分析，學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)這個(gè)數(shù)學(xué)概念有了更為深刻的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象，從而抽象概括出百分?jǐn)?shù)的模型。

通過(guò)課堂上教師精心創(chuàng)設(shè)的兩個(gè)優(yōu)選的現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生在充分感受百分?jǐn)?shù)具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，對(duì)生活中的百分?jǐn)?shù)進(jìn)行了深入思考，經(jīng)過(guò)兩次抽象概括，得出了百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)模型。這不僅培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)建模能力，也進(jìn)一步發(fā)展了數(shù)學(xué)分析、概括和抽象能力。

三、創(chuàng)設(shè)模擬的操作情境，將具體問(wèn)題一般化

數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，是對(duì)生活現(xiàn)象的抽象、概括與提升。許多生活現(xiàn)象之間都存在著數(shù)學(xué)上的某種聯(lián)系，表現(xiàn)出相類似的規(guī)律性，可以將它們概括在一個(gè)更為普遍的數(shù)學(xué)模型之中。因此在數(shù)學(xué)課堂上，我們可以將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材引入課堂，讓學(xué)生在教師精心創(chuàng)設(shè)的模擬情境中進(jìn)行操作探究，將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將具體問(wèn)題一般化，從而得到一個(gè)更為普遍適用的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的高度概括性，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)規(guī)律的普遍存在，從而對(duì)數(shù)學(xué)模型有更深的認(rèn)識(shí)。

比如在教學(xué)格點(diǎn)與面積時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)師生比賽的生活情境，給出幾個(gè)格點(diǎn)多邊形，看誰(shuí)能最先得到它的面積。幾輪比賽都是老師獲勝，學(xué)生在驚嘆之余，非常想要找到計(jì)算格點(diǎn)多邊形面積的秘密，于是開(kāi)始研究?jī)?nèi)部格點(diǎn)數(shù)為1的這些格點(diǎn)多邊形（這是老師給定的圖形），從而發(fā)現(xiàn)它們的面積恰好等于邊上格點(diǎn)數(shù)的一半，這是數(shù)學(xué)建模的開(kāi)始。

可是，當(dāng)學(xué)生畫出內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)不是1的格點(diǎn)多邊形時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律并不成立，看來(lái)剛才建立的數(shù)學(xué)模型只有在內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為1時(shí)才成立，并不具有一般性，還是屬于比較具體的情形，因此須要將它進(jìn)行一般化，從而得到更為普遍適用的規(guī)律。于是，接下來(lái)再研究?jī)?nèi)部格點(diǎn)數(shù)為其他情形時(shí)的格點(diǎn)多邊形，分別得出相應(yīng)的規(guī)律，并最終將它們整合在一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型之中，將數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建推向最高點(diǎn)。

從上面的例子可以看出，通過(guò)教師精心創(chuàng)設(shè)的優(yōu)化的生活情境，讓學(xué)生從一個(gè)具體的生活問(wèn)題出發(fā)，將其抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究它的解法，并上升到一種數(shù)學(xué)模型，最后再將其一般化，進(jìn)行廣泛的運(yùn)用和推廣，從而得到更為普遍的規(guī)律，建立起更具一般意義的數(shù)學(xué)模型。

在數(shù)學(xué)課堂上，我們要盡可能地創(chuàng)設(shè)有效的生活情境，幫助學(xué)生從生活問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過(guò)程，培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題的能力，促使小學(xué)生的思維水平從直觀形象思維向邏輯抽象思維過(guò)渡。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]endprint