小學(xué)生“做數(shù)學(xué)”能力提升的深度思考與實(shí)踐建構(gòu)

李其進(jìn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過學(xué)生動(dòng)手操作，借助一定的教學(xué)儀器或技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”來學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念、原理、公式等，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的基本取向。學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”，從中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的鮮活，同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中親身參與實(shí)踐，在操作中主動(dòng)去探究和發(fā)現(xiàn)，能深刻感受到數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，學(xué)生的主體地位得以凸顯。

但是，“做數(shù)學(xué)”不能簡(jiǎn)單理解為只要學(xué)生動(dòng)手了，就達(dá)到“做教學(xué)”的目的了；動(dòng)手做了，就能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展了；動(dòng)手做過了，就能得到正確的結(jié)論。而應(yīng)該在學(xué)生能力的提升上深度思考：“做數(shù)學(xué)”是否促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)化地觀察，學(xué)生是否在做的過程中有思考、出思想、見模型、得經(jīng)驗(yàn)。

一、“做”中要有思考，促進(jìn)學(xué)生在實(shí)踐中“做思共生”

從思維與動(dòng)作的關(guān)系來看，思維源于動(dòng)作，而動(dòng)作啟動(dòng)思維，他們之間是相輔相成的，如果動(dòng)作與思維的聯(lián)系切斷了，思維就得不到發(fā)展?！白鰯?shù)學(xué)”既要學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，又要學(xué)生動(dòng)腦思考，才能促進(jìn)學(xué)生在實(shí)踐中“做思共生”。

首先，以“做”促“思”?！白觥笔恰八肌钡耐怙@，在教學(xué)中應(yīng)該給予學(xué)生“先做”的自由，促進(jìn)學(xué)生思考。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往有一定的操作經(jīng)驗(yàn)，而且學(xué)生要形成新的想法也必須依據(jù)現(xiàn)有的生活或者知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，這時(shí)不妨讓其動(dòng)手嘗試一下，讓學(xué)生“先做”，讓他們先擁有一定的解決相應(yīng)問題的體驗(yàn)和感悟，然后根據(jù)自己的理解，再進(jìn)行自我建構(gòu)、自我反思。這個(gè)時(shí)候，“做”就成為“思”的外顯表現(xiàn)，所以，讓學(xué)生在“做”的基礎(chǔ)上進(jìn)行有意義的“思”才有促進(jìn)學(xué)生解決問題的意義。例如，在教學(xué)長方體表面積計(jì)算時(shí)，提供長方體和正方體框架、長方體的表面積展開圖等學(xué)習(xí)材料，先讓學(xué)生動(dòng)手操作，折一折、摸一摸、畫一畫，“解剖”長方體和正方體，在頭腦中初步建立長方體和正方體的直觀圖像，建立長方體6個(gè)面之間的關(guān)系的表象。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考長方體表面積如何計(jì)算。在這一過程中學(xué)生的“做”為“思”提供了豐富的感性材料，抓住了推導(dǎo)長方體表面積計(jì)算方法的關(guān)鍵，有助于學(xué)生形成探索性學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

其次，先“思”再“做”?！白觥笔恰八肌钡氖侄?，在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生“想好了再做”?！跋牒昧嗽僮觥笔菍W(xué)生形成探究意識(shí)的關(guān)鍵；“想好了再做”可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展；“想好了再做”可以使學(xué)生“做”的指向性更強(qiáng)，目的更明確，效率更明顯，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有條理、有程序地分析和解決問題大有裨益。例如，為什么經(jīng)常有學(xué)生在計(jì)算三角形面積時(shí)忘記除以2？實(shí)際上，這是因?yàn)閷W(xué)生缺乏這樣的經(jīng)驗(yàn)：用兩個(gè)完全一樣的三角形就可以拼成一個(gè)平行四邊形，沿著一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線剪開也可以得到兩個(gè)完全一樣的三角形。這時(shí)，讓學(xué)生思考為什么，“想好了”再向?qū)W生提供三角形和平行四邊形等學(xué)習(xí)材料，給予學(xué)生“做數(shù)學(xué)”充分的時(shí)間，讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐，親身經(jīng)歷拼、剪的過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成三角形面積的計(jì)算方法。

第三，“做思共生”。“做”是外因，“思”是內(nèi)因，內(nèi)因外因相互作用才能更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展?！白觥北旧聿皇墙?jīng)驗(yàn)，但“做”有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，“做”能促進(jìn)兒童心智的發(fā)展。例如學(xué)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，先讓學(xué)生用能夠拼成三角形的三根小棒拼一拼；再讓學(xué)生用兩邊長度之和等于第三邊的三根小棒拼一拼；最后讓學(xué)生用兩邊長度之和小于第三邊的三根小棒拼一拼。學(xué)生“做思共生”，總結(jié)歸納出怎樣的三條邊可以圍成三角形。

二、 “做”中要出思想，引領(lǐng)學(xué)生感悟解決問題的方法

向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角。讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想方法，既能使數(shù)學(xué)更易于理解，又能讓學(xué)生易于記憶。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣讓學(xué)生通過操作“做數(shù)學(xué)”，來體驗(yàn)知識(shí)背后的方法及蘊(yùn)涵的思想呢？

首先，在動(dòng)手做的過程中，讓學(xué)生感悟隱含的數(shù)學(xué)思想。“做數(shù)學(xué)”重點(diǎn)是從“教”轉(zhuǎn)向“學(xué)”，動(dòng)手“做”是學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的重要手段之一，動(dòng)手操作獲得的數(shù)學(xué)思想方法更形象、更深刻，更能實(shí)現(xiàn)遷移，學(xué)生有了豐富的體驗(yàn)感悟，能更好地提高學(xué)習(xí)能力。因此，在引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作時(shí)，不能僅停留在為理解知識(shí)而“做”，更要讓學(xué)生在“做”中領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法。例如，教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”一課時(shí)，放手讓學(xué)生動(dòng)手操作，將圓剪一剪、拼一拼，化曲為直、化圓為方，讓學(xué)生在觀察、操作、探究、交流、反思等活動(dòng)中，逐步體會(huì)圓面積推導(dǎo)的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想、感悟數(shù)形思想。這樣通過“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化結(jié)合，化抽象為直觀、化繁雜為簡(jiǎn)單的方法，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，又掌握了要學(xué)的知識(shí)。

其次，滲透數(shù)學(xué)思想時(shí)，設(shè)計(jì)動(dòng)手“做”促進(jìn)學(xué)生理解。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)思想，為了讓學(xué)生感悟、理解這些思想，提高解決實(shí)際問題的能力，我們應(yīng)該有意識(shí)地設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的動(dòng)手做實(shí)踐活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在操作中體驗(yàn)、在體驗(yàn)中感悟。例如，教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”時(shí)，利用學(xué)生學(xué)習(xí)已有的長方形知識(shí)，拿出準(zhǔn)備好的學(xué)具，讓學(xué)生動(dòng)手操作，通過割補(bǔ)、分割、平移、翻折等途徑變形成長方形，進(jìn)而分析兩種圖形的面積與底（長）、高（寬）之間的關(guān)系，得出平行四邊形面積計(jì)算公式。這個(gè)過程，學(xué)生不僅掌握了平行四邊形的面積公式， 更經(jīng)歷了推導(dǎo)過程，領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，生體驗(yàn)到成功的喜悅。

三、“做”中要見模型，揭示數(shù)學(xué)直覺背后所隱藏的本質(zhì)聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性，而兒童思維又是具體形象的，這是一對(duì)矛盾。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“做”，更多的是直觀觀察，但對(duì)于學(xué)生更深層次的學(xué)習(xí)來講，它遠(yuǎn)非學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，最終還必須在直覺的基礎(chǔ)上獲得思維提升，建立解決問題的表象，擺脫具體事物的束縛，向抽象思維過渡，幫助學(xué)生形成穩(wěn)固的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立解決問題的模型。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)建立數(shù)學(xué)模型就要解決“抽象性”與“具體形象的矛盾”。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式。因此，合理及必要的操作，是學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型過程中的重要活動(dòng)方式。endprint

首先，在“做”中誘發(fā)模型意識(shí)。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題，產(chǎn)生解題欲望，讓操作成為學(xué)生解決問題的內(nèi)心需求時(shí)，就能誘發(fā)學(xué)生的模型意識(shí)。例如“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)，都知道三角形是由三條線段圍成的，那么，任意提供三條線段是不是就一定能圍成一個(gè)三形呢？對(duì)此，學(xué)生心存疑惑。這個(gè)時(shí)候，提供小棒，動(dòng)手操作圍一圍，自然成為學(xué)生驗(yàn)證自己內(nèi)心想法的一種強(qiáng)烈需求。學(xué)生在操作過程中發(fā)現(xiàn)任意兩邊長度和大于第三邊才能圍成三角形。這個(gè)操作，是真正建立在學(xué)生內(nèi)在需求礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)活動(dòng)，有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的思考與探索，學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。

其次，在“做”中豐富模型體驗(yàn)。教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)模型，非常抽 象，學(xué)生理解困難，容易混淆。這時(shí)，我們要盡量將抽象概念做具體演繹，將靜態(tài)描述轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)操作過程，讓學(xué)生通過操作獲得直接感性體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，在多角度操作體驗(yàn)中逐步豐富模型屬性。如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積計(jì)算”，提供操作學(xué)具時(shí)，要多元化，既提供兩個(gè)完全相同的三角形，還要補(bǔ)充一些不完全一樣的三角形，讓學(xué)生在動(dòng)手“做”的過程中遇到很多沖突和問題，反復(fù)多次地操作、討論后，終于發(fā)現(xiàn)只要是兩個(gè)完全相同的三角形就可以拼成一個(gè)平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出面積計(jì)算的公式。只有經(jīng)歷“做”的探索過程，學(xué)生才能在“做”中有體驗(yàn)、有思考、有感悟，思想、方法才能在腦中沉積、凝聚，建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

第三，在“做”中生成模型表征。學(xué)生在操作中體驗(yàn)、積累經(jīng)驗(yàn)，是一種思維外化的過程，能夠助推其直覺思維和表象思維的發(fā)展，內(nèi)化為他們頭腦中的表象或圖式，并進(jìn)一步深化為理性經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，形成數(shù)學(xué)模型。如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“平行與相交”一課時(shí)，如果只是讓學(xué)生感知生活中有關(guān)平行的具體素材，而沒有通過動(dòng)手操作實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的過程，學(xué)生在頭腦中建立的“平行線”數(shù)學(xué)模型，可能形態(tài)各異，而不是具有一般意義的數(shù)學(xué)模型。因此，應(yīng)該通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的三個(gè)活動(dòng)來引導(dǎo)認(rèn)識(shí)過程：第一個(gè)活動(dòng)，在兩條平行線間作垂線；第二個(gè)活動(dòng)，量一量這些垂線的長度；第三個(gè)活動(dòng)，可以用什么辦法使兩條線始終保持平行。學(xué)生通過以上的實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，對(duì)平行的認(rèn)識(shí)與理解更直觀、更深入，就能生成具體、抽象的模型表征，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

四、“做”中要得經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得解決問題的實(shí)際能力

“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)、理解數(shù)學(xué)、反思數(shù)學(xué)的過程，是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生變被動(dòng)地“聽”為主動(dòng)地“做”的過程，“做”中要得經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得解決問題的實(shí)際能力。

首先，從生活經(jīng)驗(yàn)中遷移數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。生活中我們親自做過的事情，往往留下深刻印象；生活中我們親自經(jīng)歷的事情，往往留下清晰的記憶。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)也不例外，學(xué)生經(jīng)歷了具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)之后，必定也留下基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如學(xué)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”一課時(shí)，請(qǐng)學(xué)生自己動(dòng)手“做”，把任意三角形的兩個(gè)角撕下來，將兩個(gè)角的頂點(diǎn)和第三角重合并依次拼接在一起，發(fā)現(xiàn)正好形成一個(gè)平角，很直觀地得出：三角形的內(nèi)角和是180°。這個(gè)過程，學(xué)生親自動(dòng)手操作，從生活中拼一拼的經(jīng)驗(yàn)，遷移到數(shù)學(xué)，獲得了對(duì)三角形內(nèi)角和的直觀感受，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

其次，從操作經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要實(shí)踐，需要學(xué)生親自經(jīng)歷，在“做”的過程中，學(xué)生能獲得直接經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)思維發(fā)展，而思維的發(fā)展又能讓學(xué)生更加樂于實(shí)踐。所以，應(yīng)該放手讓學(xué)生去動(dòng)手、體驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)。例如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)“一一間隔排列”一課時(shí)，在學(xué)生初步了解什么是一一間隔后，提出問題：用4個(gè)正方形和5個(gè)三角形擺一排，能做到嗎？讓學(xué)生用正方形和三角形進(jìn)行自主操作，通過動(dòng)腦想、動(dòng)手?jǐn)[、動(dòng)口說，感受一一間隔排列規(guī)律，并在操作活動(dòng)中積累了豐富的直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)操作活動(dòng)過程的回顧和思考，深入體會(huì)并促進(jìn)學(xué)生理解一一間隔規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一一間隔排列的兩種不同情況。從而使學(xué)生進(jìn)一步完善對(duì)間隔排列的兩種物體間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，豐富了對(duì)一一對(duì)應(yīng)這一數(shù)學(xué)方法的體驗(yàn)，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

第三，從反復(fù)經(jīng)歷中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。沒有經(jīng)歷，一定沒有經(jīng)驗(yàn)，但經(jīng)歷了不等于獲得了經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是在學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)、經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程中獲得的，是在學(xué)生個(gè)體感覺的基礎(chǔ)上獲得的。由于個(gè)體存在差異，學(xué)生雖然經(jīng)歷了同樣的活動(dòng)，但是參與活動(dòng)的程度和個(gè)體之間感悟數(shù)學(xué)的水平是存在差異的，獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也就各不相同。所以在活動(dòng)中，我們要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程，讓學(xué)生在反復(fù)經(jīng)歷中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。例如，在教學(xué)“一一間隔排列”一課時(shí)，要通過不同素材構(gòu)成的題組對(duì)比，讓學(xué)生不斷動(dòng)手操作開展實(shí)踐活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)兩種物體一一間隔排列的認(rèn)識(shí)?；顒?dòng)是直觀的、經(jīng)驗(yàn)是直接的，在反思中不斷形成經(jīng)驗(yàn)，不斷經(jīng)歷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，才能更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 賁友林.關(guān)于獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].江蘇教育，2011（12）.

[2] 顧長明.做中學(xué)：在“動(dòng)手”與“動(dòng)腦”間追尋[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2015（8）.

[3] 崔靜靜.淺談數(shù)學(xué)建模思想小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].山東教育，2011（3）.

[4] 江大軍，花銀磊.自主學(xué)習(xí) 相信學(xué)生會(huì)學(xué)的更好[J].吉林教育，2014（11）.

[5] 陳松，史息良.動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2004（8）.

[6] 紀(jì)宏偉.在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美[J].咸寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（11）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint