數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的原則、路徑及措施

張曉斌

概念是思維的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想與方法的源泉。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的地位，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要又是數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。本文就數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的基本原則、路徑及實(shí)施措施，談一些不成熟的看法，供同行參考。

一、數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的基本原則

1.遵循認(rèn)知規(guī)律

科學(xué)是有規(guī)律的，數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)是按照一定規(guī)律發(fā)展的，人們認(rèn)識(shí)與把握數(shù)學(xué)知識(shí)也是遵循一定規(guī)律的，因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中必須堅(jiān)持由淺入深、由特殊到一般、由形象到抽象、由具體到理性、由表及里等規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，必須符合學(xué)生的年齡特征、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)規(guī)律，必須把學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和規(guī)律與數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展規(guī)律相匹配，具有邏輯連貫一致性。

例如“函數(shù)單調(diào)性”概念的教學(xué)，我們必須在學(xué)生初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，首先給出3～4個(gè)具體的特殊函數(shù)圖象讓學(xué)生觀察，形象直觀發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的圖象在其函數(shù)的定義域內(nèi)有些部分y隨x的增大而增大，有些部分y隨x的增大而減??；這種描述性語(yǔ)言敘述能否用來(lái)判斷或證明一個(gè)函數(shù)的增減性？這些圖象特征能否用數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫？能取一些特殊值來(lái)刻畫嗎？選擇幾個(gè)變量恰當(dāng)呢？又用什么關(guān)系來(lái)刻畫？教師逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)選擇兩個(gè)變量x1，x2恰當(dāng)，而且這兩個(gè)變量x1，x2是函數(shù)定義域的子區(qū)間內(nèi)任意取值，同時(shí)滿足若x1f（x2）），這樣就可以抽象概括出函數(shù)單調(diào)性概念的定義。進(jìn)而教師引導(dǎo)學(xué)生從定義中辨析出：函數(shù)單調(diào)性概念具有局部性、任意性和同區(qū)間性。

這一教學(xué)過(guò)程就是符號(hào)化、抽象化和一般化的關(guān)鍵過(guò)程，也是初中函數(shù)增減性與高中函數(shù)單調(diào)性的重要差異之處，如果處理好了就為學(xué)生深刻理解、掌握與運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性概念奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.注重形成過(guò)程

“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)?！盵1]不同數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有不同的途徑，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要特別注重概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程的教學(xué)，創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，努力讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，從中獲得體驗(yàn)并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法，去偽存真，提煉表達(dá)數(shù)學(xué)概念。例如上述“函數(shù)單調(diào)性”概念的教學(xué)，首先給出幾個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體感知到抽象概括的過(guò)程，最后獲得函數(shù)單調(diào)性的定義。當(dāng)然，有時(shí)還可以創(chuàng)設(shè)生活問(wèn)題情境、歷史問(wèn)題情境、學(xué)科問(wèn)題情境和動(dòng)手操作問(wèn)題情境來(lái)引入數(shù)學(xué)概念，但一定要根據(jù)數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展途徑的不同來(lái)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境引入，這樣才有利于學(xué)生揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

3.突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念的定義方式是多種多樣的，一般中學(xué)數(shù)學(xué)概念常用的幾種定義方式有：屬概念加種差的定義方式；發(fā)生定義方式；揭示外延的定義方式；用描述語(yǔ)言下定義等。但不論哪種定義方式，我們都應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，注意揭示數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，突出數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的教學(xué)。由于原始概念有些是不下定義的，有些只是用揭示外延或用描述法給出定義，因此教學(xué)中常常通過(guò)大量具體例子讓學(xué)生從中體會(huì)感悟。除原始概念外，其他數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，我們就要注重其數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的挖掘與提煉。

4.培育核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)不但讓學(xué)生提出、理解、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，更為重要的是能讓學(xué)生從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法以及培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決問(wèn)題的能力，特別是訓(xùn)練與發(fā)展學(xué)生的思維能力，最終指向培育和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，必須要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念教學(xué)的全過(guò)程，把數(shù)學(xué)概念納入數(shù)學(xué)概念發(fā)展的系統(tǒng)中，明確認(rèn)識(shí)各數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，了解各個(gè)數(shù)學(xué)概念在抽象、推理、運(yùn)算、證明和建模中的指導(dǎo)作用。

5.浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)概念教學(xué)不但要情境化、數(shù)學(xué)化，更為重要的是要從數(shù)學(xué)文化的角度審視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的品味，讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有情境味、數(shù)學(xué)味、文化味和藝術(shù)味，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)。

例如“隨機(jī)事件的概率”的教學(xué)，通過(guò)讓學(xué)生分組拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，尋找硬幣正面向上的頻率的規(guī)律，由于課堂教學(xué)時(shí)間有限和人民幣硬幣質(zhì)地不夠均勻，會(huì)導(dǎo)致硬幣正面向上的頻率的規(guī)律不明顯，學(xué)生不易觀察體驗(yàn)頻率的變化規(guī)律，因此，我們必須通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親身發(fā)現(xiàn)并確信隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，硬幣正面向上的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定，從而引出隨機(jī)事件概率的定義。同時(shí)，我們可以不失時(shí)機(jī)地向?qū)W生穿插介紹歷史上有許多大數(shù)學(xué)家們拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，讓學(xué)生不但確信隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，可以通過(guò)頻率估計(jì)概率，而且讓學(xué)生受到歷史上數(shù)學(xué)家們求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神的熏陶與浸染。情感態(tài)度知時(shí)節(jié)，恰到此時(shí)乃發(fā)生，悄無(wú)聲息地對(duì)學(xué)生進(jìn)行了第三維目標(biāo)教育。

二、數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的基本路徑和實(shí)施措施

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的一般教學(xué)流程（或環(huán)節(jié)）是：概念的引入→概念的抽象→概念的明確與表達(dá)→概念的辨析→概念的應(yīng)用→概念的“精致”。[2]

1.概念的引入（或背景引入）

借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念，引入方式主要有：（1）情境問(wèn)題式；（2）以舊引新式；（3）認(rèn)知沖突式；（4）直觀形象式。

（1）情境問(wèn)題式。課堂教學(xué)中經(jīng)常給出一些具體現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境讓學(xué)生來(lái)觀察，接著教師提出一個(gè)又一個(gè)由淺入深、由易到難的遞進(jìn)式的問(wèn)題串幫助學(xué)生深入思考來(lái)導(dǎo)入。

例如“函數(shù)”概念的教學(xué)：人教A版教材安排了三個(gè)實(shí)例。

[例1]“炮彈距離地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2，經(jīng)過(guò)26s落地?！盵3]

對(duì)此實(shí)例，我們?cè)O(shè)計(jì)如下問(wèn)題讓學(xué)生思考回答：

①時(shí)間t的變化范圍是什么？

②問(wèn)題“100s時(shí)對(duì)應(yīng)的高度是多少”有沒(méi)有意義？

③你認(rèn)為如何描述才能真實(shí)反映炮彈發(fā)射過(guò)程？[4]

說(shuō)明：①②問(wèn)是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍及其重要性；③問(wèn)是引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

[例2]教材圖中曲線顯示了1979年至2001年南極上空臭氧層空洞的面積的變化情況。[3]

針對(duì)這一實(shí)例，教學(xué)中我們應(yīng)該設(shè)計(jì)如下一些問(wèn)題讓學(xué)生思考回答：

①時(shí)間的變化范圍是什么？空洞面積s的變化范圍是什么？

②從所給的圖中能回答“2002年對(duì)應(yīng)的臭氧空洞面積是多少”嗎？

③s是t的函數(shù)嗎？為什么？

④這是一個(gè)函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個(gè)函數(shù)，你會(huì)怎么做？把這個(gè)圖搬出來(lái)嗎？——符號(hào)意識(shí)，s=f（t）呼之欲出。[4]

說(shuō)明：①②問(wèn)是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)變量的取值范圍及其重要性；③問(wèn)是引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)過(guò)程，并能說(shuō)出它們之間是怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④問(wèn)是讓學(xué)生明白這兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系，用什么方式來(lái)表達(dá)，從而抽象化、符號(hào)化。

[例3]教材用表格給出1991年至2001年我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況。[3]

對(duì)于此例，教師教學(xué)中類比例2，可以設(shè)計(jì)上述一些類似問(wèn)題讓學(xué)生思考回答。

（2）以舊引新式。課堂教學(xué)中經(jīng)常根據(jù)新舊概念之間的聯(lián)系，找出它們之間具有某些相同或相似的性質(zhì)，區(qū)分它們之間的不同之處，充分利用舊概念引出新概念，可以從種概念引入類概念，采用對(duì)比方法，利用逆反關(guān)系，運(yùn)用概念的推廣或特例的聯(lián)系等引入新概念。如在棱柱概念的基礎(chǔ)上，可由增加內(nèi)涵而直接引入直棱柱和正棱柱的概念；如對(duì)比等差數(shù)列的定義引出等比數(shù)列的定義；如利用逆反關(guān)系，由指數(shù)函數(shù)概念引出對(duì)數(shù)函數(shù)概念；如任意角三角函數(shù)的定義可由銳角三角函數(shù)的坐標(biāo)定義推廣而來(lái)等。

（3）認(rèn)知沖突式。課堂教學(xué)中常?；趯W(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，誘發(fā)學(xué)生思考那些與自己已經(jīng)具有的知識(shí)所不同的一些問(wèn)題，形成學(xué)生認(rèn)知上的沖突或矛盾或困惑，打破原有心理平衡，造成“憤”“悱”的心理狀態(tài)，過(guò)去已有知識(shí)解決不了，需要引入新的知識(shí)才能解決，自然而然地引出新概念。如“復(fù)數(shù)”概念的引入教學(xué)，就注意形成學(xué)生認(rèn)知上的矛盾沖突，從而引出了復(fù)數(shù)的

定義。

（4）直觀形象式。數(shù)學(xué)概念一般來(lái)源于兩個(gè)方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得出的；另一方面是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象而獲得的結(jié)論。中學(xué)生的抽象思維仍與直覺(jué)和感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。直觀的形象可使學(xué)生獲得十分豐富且合乎實(shí)際的感性材料，因此，在教學(xué)新概念時(shí)，教師一定要細(xì)致耐心，盡量用學(xué)生熟悉的直觀形象引入，這樣可以使學(xué)生獲得大量的與數(shù)學(xué)概念有關(guān)的感知和表象，然后再進(jìn)行抽象概括，如此學(xué)生就更容易學(xué)習(xí)。如在教學(xué)“頻率和概率”這兩個(gè)概念時(shí)，一定要讓學(xué)生動(dòng)手操作，多次拋擲硬幣、拋擲骰子等經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，親身體驗(yàn)過(guò)程，從中感悟頻率的穩(wěn)定性，從而引出隨機(jī)事件的概率的

概念。

2.概念的抽象（共性歸納）

提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征。

如在函數(shù)概念引入的三個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上，宜設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象揭示上述三個(gè)實(shí)例的共同屬性。

問(wèn)題：上述三個(gè)實(shí)例有哪些共同的

特點(diǎn)？

都涉及兩個(gè)集合A，B，且都是非空數(shù)集；一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示形式不同（解析式、圖、表等），但本質(zhì)一樣：對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

3.概念的明確與表達(dá)（下定義）

數(shù)學(xué)概念往往有多種表征方式，在不同的表征系統(tǒng)中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統(tǒng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)。通過(guò)對(duì)幾個(gè)實(shí)例的不斷抽象，提出了它們的共同屬性。如何明確本質(zhì)屬性呢？這就要給出準(zhǔn)確的文字和符號(hào)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述。在給概念下定義時(shí)要注意：寬窄適度，恰如其分；不允許循環(huán)；不得引用未被定義過(guò)的概念。

如在函數(shù)概念引入的三個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上，宜再設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生怎樣簡(jiǎn)捷地表示出來(lái)？

問(wèn)題：如果把一種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為對(duì)應(yīng)法則f，數(shù)集A，B中的元素名稱分別記為x，y，那么上述三個(gè)例子的共同特點(diǎn)又可以如何來(lái)表達(dá)呢？

用符號(hào)化表達(dá)是數(shù)學(xué)的智慧，數(shù)學(xué)家是這么做的：f：A→B，即x→y=f（x），x∈A。這樣就概括得到了函數(shù)的定義表達(dá)。

4.概念的辨析

通過(guò)正例和反例深化概念理解。在揭示概念定義后，為進(jìn)一步突出概念的本質(zhì)特征，防止概念誤解，可以利用概念的正例或反例。以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例），不要過(guò)快地進(jìn)入復(fù)雜的解題訓(xùn)練。

運(yùn)用變式訓(xùn)練完善概念認(rèn)識(shí)。變式是指事物的肯定例證在無(wú)關(guān)特征方面的變化，通過(guò)變式，從不同角度研究概念并給出例子，可以全面認(rèn)識(shí)概念。變式是變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。這樣通過(guò)數(shù)式變式、圖象變式等，可使學(xué)生更好地掌握概念的本質(zhì)和規(guī)律。

“函數(shù)”概念教學(xué)辨析的重點(diǎn)是：對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義域不同，是兩個(gè)不同的函數(shù)；“函數(shù)概念”教學(xué)的難點(diǎn)是：定義域相同但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，也是兩個(gè)不同的函數(shù)。怎么辨析？應(yīng)該回到實(shí)際中去。如步行平均速度5km，買商品單價(jià)5元，與用什么符號(hào)表示無(wú)關(guān)，只看自變量對(duì)應(yīng)到什么結(jié)果；函數(shù)y=│x│，x∈R和函數(shù)y=，x∈R表示的是同一個(gè)函數(shù)；但函數(shù)y=│x│，x∈R和函數(shù)y=log22x，x∈R表示的不是同一個(gè)函數(shù)。

5.概念的應(yīng)用

通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解掌握概念。用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。函數(shù)概念的應(yīng)用除了給出緊扣函數(shù)三要素的練習(xí)外，還可以讓學(xué)生根據(jù)已知函數(shù)解析式構(gòu)建實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。

6.概念的“精致”

一定意義上，概念的精致可理解為概念濃縮，即抓住概念的精要所在；概念的精練表達(dá)和“組塊”占記憶空間少且易于提取。因此，概念教學(xué)要讓學(xué)生能抓住概念中簡(jiǎn)單而本質(zhì)的關(guān)鍵詞，對(duì)關(guān)鍵詞的理解就是概念本質(zhì)屬性的理解，概念能起作用的是精致后的概念精要，把所學(xué)概念納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生只有把新概念納入一定的知識(shí)體系，才能對(duì)概念有較完整而深刻的理解，要教會(huì)學(xué)生整理知識(shí)，使知識(shí)系統(tǒng)化，進(jìn)一步鞏固、發(fā)展、深化概念。如“函數(shù)”概念教學(xué)后，要不斷深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用，因此，要把函數(shù)概念的本質(zhì)和三要素納入函數(shù)的表示、函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)中，這樣不但加深了對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的深刻理解，又對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)掌握奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（3上）：2-5，11.

[3]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4]章建躍.“第八屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”大會(huì)報(bào)告[C].福州，2016（11）.

責(zé)任編輯：肖佳曉

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