關(guān)于胡克定律中勁度系數(shù)的分析

劉清揚

1引言

影響彈簧勁度系數(shù)的因素有很多，本文選取了彈簧原長、橫截面直徑和材質(zhì)這三個因素探討了彈簧勁度系數(shù)的變化，并通過分析驗證了實驗結(jié)果的可靠性。

2實驗方案

彈簧的勁度系數(shù)計算公式如式（1）所示：

[F=kx] （1）

式（1）中k為彈簧的勁度系數(shù)（N/m），x為彈簧的形變量（m），F(xiàn)為彈簧的彈力（N），式（1）所示的等式即為胡克定律。

采用的彈簧為圓柱形，對變量進(jìn)行逐一控制，每組實驗采用相同的砝碼，以焦利氏秤測量彈簧的勁度系數(shù)。各組實驗的參數(shù)如表1所示：

對比A1、A2的實驗結(jié)果可以得出彈簧長度對勁度系數(shù)的影響；對比B1、B2的實驗結(jié)果可以得出彈簧直徑對勁度系數(shù)的影響，需要說明的是，彈簧是由各種材質(zhì)的絲線密繞而成的，這里所說的彈簧直徑是指整個彈簧的直徑，與彈簧絲的直徑不同；對比C1、C2的實驗結(jié)果可以得出彈簧材質(zhì)對勁度系數(shù)的影響。

3結(jié)果分析

表1所示為勁度系數(shù)的實驗結(jié)果，A1和A2的實驗結(jié)果，A1和A2組實驗中采用的彈簧都是鋼絲制成的，彈簧的直徑都相同，但A1彈簧的長度約為A2彈簧的一半，經(jīng)過測試后A1的勁度系數(shù)是A2的兩倍。B1組的彈簧直徑明顯小于B2組，但測試得到的勁度系數(shù)卻要大于B2組，當(dāng)彈簧材質(zhì)和原始長度相同時，彈簧的直徑越大，其勁度系數(shù)反而越小。當(dāng)彈簧原長和直徑都相同時，不同材質(zhì)的彈簧其勁度系數(shù)不同，如C1和C2組獲得的勁度系數(shù)，C1組所用的彈簧是用鋼絲制成的，C2組的彈簧是用銅絲制成的，從實驗結(jié)果來看，鋼絲制成的彈簧的勁度系數(shù)要大于銅絲。

通過上述實驗結(jié)果可以看出彈簧的勁度系數(shù)與彈簧的形狀和材質(zhì)由密切的關(guān)系，形狀因素是指彈簧的外形、尺寸（包括原長、半徑以及彈簧絲的半徑）等，材質(zhì)因素則是指制作彈簧的原材料，原料的眾多力學(xué)參數(shù)如彈性和剪切模量等都會對彈簧的勁度系數(shù)產(chǎn)生影響。對于常見的彈簧來說，往往是由各種材料的細(xì)絲密繞而成，彈簧的直徑往往遠(yuǎn)大于細(xì)絲的直徑，綜合考慮各種因素后，這種彈簧的勁度系數(shù)可以表示為式（2）：

[k=Gr4/32nR3] （2）

式（2）中用于制作彈簧的材質(zhì)的剪切模量用G表示，彈簧細(xì)絲的半徑用r表示，彈簧的橫截面半徑用R表示，彈簧匝數(shù)（有效匝數(shù)）用n表示。從式（2）中可以獲得與實驗結(jié)果一致的規(guī)律，即當(dāng)其他變量固定時，彈簧的直徑越大，勁度系數(shù)越小，這與B1和B2組得到的結(jié)果一致；C1和C2組中使用的彈簧分別由鋼絲和銅絲制成，我們知道鋼絲的剪切模量要大于銅絲，因此根據(jù)式（2），前者的彈性模量要大于后者，與實驗結(jié)果吻合。

彈簧的原始長度L和彈簧匝數(shù)n有關(guān)，L與n滿足式（3）所示的關(guān)系：

[L=2rn] （3）

將式（3）代入式（2），得到如式（4）所示的關(guān)系式：

[k=Gr5/16LR3] （4）

從式（4）中可以看出彈簧的勁度系數(shù)k反比于彈簧原長L，即彈簧原長越短勁度系數(shù)越大，與A1和A2組的實驗數(shù)據(jù)吻合。

4結(jié)論

綜上所述，胡克定律中彈簧的勁度系數(shù)與彈簧的原長、彈簧橫截面直徑和彈簧材料有關(guān)，彈簧原長越短，橫截面直徑越小，制作彈簧的材料剪切模量越大，彈簧的勁度系數(shù)越大。endprint