基于三次樣條插值法的滑坡變形階段分析

黃小研，賈培剛

（西安工業(yè)大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

基于三次樣條插值法的滑坡變形階段分析

黃小研，賈培剛

（西安工業(yè)大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

滑坡位移監(jiān)測數(shù)據(jù)能夠有效、直接地反映出滑坡整體變形趨勢，在監(jiān)測過程中，由于受到干擾或遇到設(shè)備故障，常會導(dǎo)致數(shù)據(jù)異常或缺失?；谌螛訔l插值法，對某新建工程監(jiān)測位移的缺失數(shù)據(jù)進行了插值，使用t檢驗法對插值后的數(shù)據(jù)進行了顯著性檢驗，并利用切線角法對插值后的累計位移數(shù)據(jù)進行了變形階段分析。結(jié)果表明，利用三次樣條插值法得到的插值數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)沒有顯著差異，滑坡處于加速變形階段，可進行短期預(yù)報。

三次樣條插值；t檢驗法；切線角法；滑坡變形階段

采集滑坡位移數(shù)據(jù)時，自動化監(jiān)測設(shè)備會受到外界影響而產(chǎn)生異常值，或因設(shè)備故障而缺失部分數(shù)據(jù)。如果直接采用原始位移數(shù)據(jù)分析滑坡變形階段，或預(yù)測后續(xù)滑坡變形趨勢，則會出現(xiàn)與實際值偏差過大的情況。因此，在分析滑坡變形前，需對得到的原始位移數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。對于原始位移數(shù)據(jù)的缺失一般采用插值方法，插值法是一種重要的數(shù)學計算工具，在諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括線性插值法、拉格朗日（Lagrange）插值法、牛頓（Newton）插值法、分段插值法和樣條插值法等，其中，樣條插值法是在每兩個相鄰節(jié)點構(gòu)成的一個小區(qū)間內(nèi)用一個低次多項式來逼近，并保證在各個節(jié)點處的連接是光滑的。經(jīng)過三次樣條插值法處理的插值數(shù)據(jù)曲線變得光滑，如果與原始數(shù)據(jù)差異不顯著，便可使用切線角法進行滑坡變形階段分析。分析時，應(yīng)使用累計位移數(shù)據(jù)，并構(gòu)造累計位移—時間曲線。從曲線的大致趨勢可先簡單判斷滑坡位移趨勢，之后再根據(jù)切線角法計算各個小區(qū)間的曲線斜率，通過變形速率便可判斷滑坡變形階段。

1 三次樣條插值法基本原理及顯著性檢驗

1.1 三次樣條插值法

考慮到高次插值不收斂又不穩(wěn)定，而二次插值擬合的函數(shù)光滑性不夠，所以，選擇三次樣條插值法對滑坡數(shù)據(jù)進行插值。三次樣條插值函數(shù)的基本定義為：如果函數(shù)f（x）在節(jié)點x0，x1，…，xn處的函數(shù)值為 f（xi）＝y(tǒng)i，i＝0，1，…，n，并且關(guān)于這個節(jié)點集的三次樣條函數(shù)S（x）滿足插值條件S（xi）＝y(tǒng)i，i＝0，1，…，n，則稱這個三次樣條函數(shù)S（x）為三次樣條插值函數(shù)。

在每個小區(qū)間[xi，xi+1]上，三次樣條函數(shù)可以表示為：

式（1）中：hi為步長，滿足 hi＝xi+1－xi，i＝1，2，…，n－1.

本文中，邊界條件滿足自然邊界條件，即S"（x1）＝M1，S"（xn）＝Mn，由此可得，M1＝Mn＝0.所以有：

聯(lián)合基本方程組可得到mi矩陣：

將求得的各未知數(shù)代入式（1）就可得到三次樣條函數(shù)的表達式。

1.2 t檢驗

t檢驗是用t分布理論來推論差異發(fā)生的概率，從而比較2個平均數(shù)的差異是否顯著。本文選取單總體t檢驗對插值前后的數(shù)據(jù)進行比較。如果總體標準差σ未知且樣本容量n＜30，那么，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計量呈t分布。此時，檢驗統(tǒng)計量為：

如果樣本總數(shù)為大樣本（n＞30），檢驗統(tǒng)計量也可寫為：

式（5）（6）中：X為樣本平均數(shù)；μ為總體平均數(shù)；σX為樣本標準差；n為樣本容量。

計算自由度df＝n－1，選定顯著性水平，查詢t檢驗表，如果t＜t0.05（df），則接受原假設(shè)，即認為插值前后的數(shù)據(jù)差別不顯著；反之，則拒絕原假設(shè)，認為插值前后數(shù)據(jù)差別過大，不適用于后期的滑坡變形階段分析。

2 滑坡變形階段分析

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過三次樣條插值處理、t檢驗可靠之后，即可進行滑坡變形階段分析，一般常采用切線角法。切線角的線性擬合方程為：

式（7）中：A為方程的斜率值。

式（7）適用于監(jiān)測值為等時間間隔數(shù)據(jù)，如果時間間隔不等，可使用式（8），即：

式（8）中：i＝1，2，…，n，為時間序號；ti為累計監(jiān)測時間；t為時間ti的平均值；αi為xi處的切線角；α為切線角αi的平均值。

αi的計算公式為：

式（9）中：B為比例尺度。

比例尺度的計算公式是：

根據(jù)求得的A，B值，查詢表1即可判別滑坡變形階段。

如果滑坡位移監(jiān)測數(shù)據(jù)量較大，可分段分析數(shù)據(jù)。如果劃分為n（n＝1，2，…，n）段，則分別對是對整體數(shù)據(jù)的分析。

3 滑坡變形階段分析實例

3.1 三次樣條插值法

為了便于分析，本文選取了某新建工程一個月的滑坡監(jiān)測數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)列，其具體數(shù)據(jù)如表2所示。

計算時，橫坐標參數(shù)為日期，無法計算，所以，將所有橫坐標均換成可計算的數(shù)字，如果遇到確實點，便多空過去一個數(shù)字。由于計算過程復(fù)雜，數(shù)據(jù)量多，本文所有參數(shù)均使用MATLAB編程算出。根據(jù)式（1）（2）（3），λimi-1＋2mi＋μimi＝gi，i＝0，1，…，n－1，S"（x1）＝M1，S"（xn）＝式（4）經(jīng)過計算后可以得到全部三次樣條插值方程。此處截取了缺失數(shù)據(jù)點前后兩點構(gòu)成的小區(qū)間所計算出的函數(shù)方程組，對其余方程組進行了省略，部分函數(shù)如下：

通過上述方程組各缺失點對應(yīng)的函數(shù)可計算出相應(yīng)的缺失值，如表3所示。在圖1中，折線表示原始位移數(shù)據(jù)，曲線表示插值位移數(shù)據(jù)，圓圈表示各缺失點對用的缺失值。

圖1 原始位移數(shù)據(jù)曲線與插值曲線對比

從圖1中可以看出，三次樣條插值法保證了每個小區(qū)間在連接點處的連續(xù)性，除去數(shù)據(jù)缺失點，原始數(shù)據(jù)曲線與插值曲線之間有許多基本重合的地方。由此可見，三次樣條插值法具有較好的收斂性。

表1 滑坡切線角法變形階段分析表

表2 滑坡監(jiān)測位移原始數(shù)據(jù)表

表3 各缺失點對應(yīng)的缺失值

3.2 檢驗

根據(jù)數(shù)據(jù)表2中的原始位移數(shù)據(jù)可計算出其平均數(shù)為2.688 8，標準差為0.672 1；插值后插值點樣本數(shù)n＝5，樣本平均數(shù)X＝2.482 1.建立原假設(shè)檢驗H0∶μ＝2.666 8，認為插值后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間的差別不顯著。由于樣本數(shù)小于30，根據(jù)公式（5）可計算出：

選取顯著性水平為0.05，自由度df＝4，查詢t值臨界表，臨界值t0.05（4）＝2.776.由此可見，樣本的t值遠遠小于臨界值2.776.因此，接受原假設(shè)檢驗H0，認為插值前后數(shù)據(jù)差別不顯著，可進行滑坡變形階段的分析。

3.3 變形階段分析

根據(jù)上述分析，插值后的缺失值具有顯著性，可進行滑坡變形階段的分析。將原始位移數(shù)據(jù)與插值位移數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)成新數(shù)據(jù)列進行數(shù)據(jù)累加，使其成為累計位移數(shù)據(jù)列，并繪制出累計位移—時間曲線圖，如圖2所示。

圖2 插值后累計位移數(shù)據(jù)

從圖2中可以簡單看出滑坡的整體變形趨勢，但僅僅通過圖像去判斷變形趨勢過于片面，因此，我們依據(jù)切線角法對此數(shù)據(jù)列進行相關(guān)參數(shù)計算。根據(jù)式（10）先計算出參數(shù)B，再根據(jù)式（1）和式（7）計算出參數(shù)A，并根據(jù)表1判斷該滑坡的變形階段，分析結(jié)果如表4所示。

表4 切線角法滑坡變形階段分析

利用切線角法對滑坡的變形階段進行分析是使用較為廣泛的方法，但是，受坐標單位的影響，用不同單位求得的切線角差別往往過大，有時甚至會造成誤判。例如，本文所監(jiān)測的數(shù)據(jù)是以日為單位，如果監(jiān)測時間很長，以周或以月為單位重新擬合插值曲線，便會存在差異。有研究人員改進了切線角法，并提出了相應(yīng)的預(yù)警依據(jù)。但是，由于滑坡位移監(jiān)測曲線呈現(xiàn)出一定的波動，所以，還需要結(jié)合專業(yè)人員的經(jīng)驗綜合判斷得到的位移數(shù)據(jù)。

4 結(jié)論

本文選取了某新建工程為期一個月的滑坡位移監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值法對該數(shù)據(jù)進行了曲線擬合，并對缺失點進行了數(shù)據(jù)插值。對比原始數(shù)據(jù)曲線可知，該插值法擬合效果比較好，利用t檢驗法檢測插值數(shù)據(jù)，驗證了插值數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)不存在明顯差異，可將原始數(shù)據(jù)與插值數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)成累計位移新數(shù)據(jù)列，并利用切線角法對新數(shù)據(jù)列進行滑坡變形階段分析。結(jié)果表明，該滑坡具有加速趨勢，方程斜率值A(chǔ)趨近于零，可進行短期預(yù)報。

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TP301.6

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2017.20.016

2095－6835（2017）20－0016－03

黃小研（1993—），女，陜西人，碩士研究生，研究方向為機械制造及其自動化。

〔編輯：白潔〕