應(yīng)用型本科院?！熬€性代數(shù)”立體化教學(xué)模式的探討

張鍇+賀麗娟

摘 要：作為應(yīng)用型本科院校的重要基礎(chǔ)課程，線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容抽象、概念較多并且教學(xué)課時(shí)少。因此，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等方面對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)改革做出嘗試，建立立體化教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 立體化教學(xué)

“線性代數(shù)”是一門在應(yīng)用型本科院校普遍開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)理論課程，該課程所介紹的方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。文華學(xué)院是一所定位于培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才的本科院校。基于學(xué)院對(duì)于應(yīng)用型本科人才的培養(yǎng)目標(biāo)以及學(xué)生自身的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力，本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)，提出對(duì)線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核形式的改革和探索，從而全面提高線性代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)效果，以及學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

1、教學(xué)目標(biāo)與培養(yǎng)目標(biāo)相結(jié)合

在課程教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)課程基礎(chǔ)理論的同時(shí)，還要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，必須將線性代數(shù)課程的教學(xué)目標(biāo)與培養(yǎng)具有創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)相結(jié)合，避免普通高校強(qiáng)調(diào)理論的演繹推導(dǎo)，弱化對(duì)于知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)目標(biāo)?！耙詰?yīng)用為目的、以夠用為度”，是我們進(jìn)行應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程教學(xué)改革的關(guān)鍵。我院教師在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，需要提前了解不同專業(yè)的學(xué)生對(duì)該課程內(nèi)容的基本要求，組織相關(guān)專業(yè)教師，緊密結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)進(jìn)行討論，確定培養(yǎng)目標(biāo)，制定教學(xué)計(jì)劃，力圖將理論知識(shí)與本專業(yè)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合。

2、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率

對(duì)于線性代數(shù)[1]課程的教學(xué)內(nèi)容，要想進(jìn)行較大幅度的改動(dòng)，是比較困難的。但是對(duì)于部分過(guò)于理論，過(guò)于抽象，難以理解的內(nèi)容的處理上，還是可以更加靈活的。下面是作者對(duì)本校該課程中部分內(nèi)容的一些處理方法。

2.1行列式概念的引入

在很多教材中，行列式的內(nèi)容都被安排在第一章。作為線性代數(shù)的重要概念之一的行列式，是學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程接觸到的第一個(gè)概念。這個(gè)概念從何而來(lái)？

為了做到概念引入不突兀，我們從學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的消元法入手，通過(guò)運(yùn)用消元法求解二元、三元線性方程組，引出二階行列式和三階行列式的定義，并介紹對(duì)角線法則。據(jù)此，不難想象， n元線性方程組可以利用n階行列式進(jìn)行求解。但是，該如何計(jì)算n階行列式呢？它也滿足對(duì)角線法則嗎？于是接下來(lái)，通過(guò)分析三階行列式的結(jié)果，引出行列式的按行（列）的展開(kāi)法則，即拉普拉斯定理。至此，不僅引出了n階行列式的概念，還給出了n階行列式的計(jì)算。

這樣的處理，回避了讓學(xué)生覺(jué)得晦澀難懂的排列及逆序這一部分內(nèi)容。雖然刪減了教學(xué)內(nèi)容，但實(shí)踐證明，學(xué)生更容易掌握，并且不影響學(xué)生對(duì)該課程總體內(nèi)容的把握。相反，這種處理方法目的性更強(qiáng)，也更為簡(jiǎn)潔。

2.2線性方程組的求解

如何判斷線性方程組有解？當(dāng)線性方程組有解時(shí)，如何判斷是唯一解，還是無(wú)窮多解？如何規(guī)范線性方程組的求解？這些解的相關(guān)理論，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的重要目標(biāo)之一。圍繞線性方程組求解這條主線，將求解理論與求解方法分散于各章。

首先，利用行列式這個(gè)工具，即Cramer法則，可以解決部分線性方程組的求解問(wèn)題。但當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù)行列式為零時(shí)，Cramer法則不適用，于是我們找到了矩陣這個(gè)工具。利用矩陣的乘法，不僅可以簡(jiǎn)化線性方程組的表達(dá)，還可以利用逆矩陣，求解矩陣方程。對(duì)于更加一般化的線性方程組，通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)消元法的加工，提煉，提出了矩陣初等變換這一重要概念。于是，對(duì)線性方程組進(jìn)行的消元變換，完全可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的初等行變換，也可以說(shuō)，是利用矩陣這個(gè)工具，換一種更加簡(jiǎn)潔的形式，對(duì)方程組進(jìn)行消元變換。原來(lái)的線性方程組，經(jīng)過(guò)消元變換后，所包含的相互獨(dú)立的方程的個(gè)數(shù)，就是增廣矩陣的秩的含義。由此，可以推導(dǎo)出判斷線性方程組有解、無(wú)解的法則，以及求解線性方程組的方法。最后，利用向量這個(gè)工具，從向量組的線性相關(guān)性的角度出發(fā)，討論了線性方程組解的結(jié)構(gòu)，從而，不僅給出了線性方程組的求解方法，還從本質(zhì)上分析了線性方程組解的結(jié)構(gòu)，使得線性方程組的求解在理論層次上更上一層樓。

對(duì)于教學(xué)內(nèi)容如此處理的優(yōu)點(diǎn)在于，利用求解線性方程組這一教學(xué)主線，把整個(gè)教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，渾然一體。

3、采用案例式教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量

由于該課程內(nèi)容從整體上講，理論性強(qiáng)，相對(duì)抽象，而且大多教材對(duì)于相關(guān)知識(shí)的背景和應(yīng)用案例介紹較少，教學(xué)中可以采用案例教學(xué)法。案例教學(xué)主張加強(qiáng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中關(guān)鍵性問(wèn)題的實(shí)例進(jìn)行研究，注重老師和學(xué)生的雙向交流，能夠把理論與實(shí)際結(jié)合起來(lái)，提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力和對(duì)知識(shí)的使用能力。

例如，對(duì)于經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)的學(xué)生，可以收集整理一些與經(jīng)濟(jì)、金融、證券股票類相關(guān)的實(shí)例；對(duì)于計(jì)算機(jī)和信息專業(yè)的學(xué)生，可以介紹一些線性代數(shù)在通信保密中的簡(jiǎn)單例子。

例1：利潤(rùn)問(wèn)題[2]

某公司銷售A、B、C、D四類商品，1-4月的月銷售額以及銷售利潤(rùn)如下表所示，試求每類商品的利潤(rùn)率。

解出 所以 四類商品的利潤(rùn)率分別為10%，8%，5%，4%。

例2：用逆矩陣進(jìn)行保密編譯碼[3]

在英文中有一種對(duì)傳送的信息進(jìn)行保密的措施，就是把信息中的英文字母用一個(gè)整數(shù)來(lái)表示，然后將這組整數(shù)傳遞出去。例如，“SEND MONEY”這9個(gè)字母，可用9個(gè)數(shù)來(lái)表示：5，8，10，21，7，2，10，8，3。5代表S，8代表E…。這樣進(jìn)行編碼是很容易被破譯的。如果我們需要傳遞的消息很長(zhǎng)，往往可以根據(jù)每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率，大體估計(jì)出它所代表的字母。

實(shí)際應(yīng)用中，可以用矩陣乘法來(lái)對(duì)這個(gè)消息進(jìn)行進(jìn)一步的加密。例如，我們可以使用整數(shù)矩陣A（|A|=±1）乘以所得的整數(shù)組，利用矩陣A對(duì)消息進(jìn)行變換。那么，想要破譯經(jīng)過(guò)變換后的消息，就比較困難了。

為了說(shuō)明問(wèn)題，設(shè)矩陣endprint

= ，

可得

，

將“SEND MONEY”對(duì)應(yīng)的9個(gè)數(shù)值排成一個(gè)矩陣 ，則乘積

= ，

所以，發(fā)出的消息為[31，80，54，37，83，67，29，69，50].值得注意的是，原來(lái)的兩個(gè)8和兩個(gè)10，在變換后就變成了不同的數(shù)字。這樣，就難以按其出現(xiàn)的頻率破譯了。而接收方只需將收到的消息左乘 ，就可以知道發(fā)送方發(fā)出的原信息。

把應(yīng)用型案例融入到《線性代數(shù)》的課堂教學(xué)中，不僅使得課堂教學(xué)內(nèi)容更加生動(dòng)、豐富，還讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，增加學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果。

4、教學(xué)手段多樣化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

1）傳統(tǒng)課堂教學(xué)與多媒體技術(shù)的有效結(jié)合

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)，以黑板板書為主要教學(xué)手段。這種方式，能夠?qū)φn程內(nèi)容中大量的公式、定理的演繹，提供詳細(xì)的解題思路和方法，但是教學(xué)效率不高；而多媒體課件，則能夠使教學(xué)內(nèi)容由抽象變得直觀、生動(dòng)，大大提高教學(xué)質(zhì)量。

在課程的課堂教學(xué)中，我們將傳統(tǒng)的黑板板書與現(xiàn)代的多媒體手段相結(jié)合，使其充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，不僅提高了教學(xué)效率，也為學(xué)生爭(zhēng)取了更多的思考時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效果。

2）課堂教學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)精品課程網(wǎng)站的配合使用

充分利用我院大學(xué)數(shù)學(xué)精品課程網(wǎng)站，實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源的整合與共享。除了課堂教學(xué)，在課下，應(yīng)充分鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)圖書館、網(wǎng)絡(luò)等各種資源和多種方式查找線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并將有用的信息添加到課程資源平臺(tái)中。這樣，不僅建立起一種新的“線上線下”的學(xué)習(xí)模式，也可以引導(dǎo)學(xué)生利用課程網(wǎng)站自主學(xué)習(xí)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和氛圍，同時(shí)，也為教師備課、答疑解惑等提供了足夠的素材和保證。

5 結(jié)束語(yǔ)

文華學(xué)院的人才培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才，本文從四個(gè)方面對(duì)線性代數(shù)課程的教學(xué)模式進(jìn)行了分析和探討，希望通過(guò)教學(xué)模式的改革，為學(xué)生營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 林升旭，梅家斌.線性代數(shù)教程[M].華中科技大學(xué)出版社，2009.

[2] 賀麗娟，張鍇.獨(dú)立學(xué)院《線性代數(shù)》課程體系改革與實(shí)踐[J].考試周刊，2015（33）.

[3] 賀麗娟.線性代數(shù)教程[M].華中科技大學(xué)出版社，2016.endprint