數(shù)學教學中培養(yǎng)思維能力的探索

黃敏芝

通過數(shù)學教學養(yǎng)學生直覺思維、發(fā)散思維，提高學生的創(chuàng)造思維能力。

一、啟迪直覺思維

美國心理學家布魯納說：“直覺思維是以熟悉的知識領域及其結構為依據(jù)，使思維者實行躍進、超級和采取捷徑，并用比較分析、驗證結果的一種快速思維形式”?？梢?，直覺思維是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在數(shù)學教學中，應予以重視。例1、已知3（a-b）+3（b-c）+（c-a）=0（a≠b），求（c-b）（c-a）/（a-b）2的值。分析：由3=（3）2，故直覺告訴我們，該題設條件在形式上與一元二次方程的形式相似，于是可通過構造一元二次方程來解決問題。由題意，3一定是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的一個根，又（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，故1是該方程的另一根，由韋達定理得3+1=c-b/a-b，3.1=c-a/a-b，所以（c-a）（c-b）/（a-b）2=3（3+1）=3+3.

例2、已知：梯形ABCD，直角腰上的中點E到斜腰的距離是5㎝，斜腰CD的長是10㎝，求此梯形的面積。

分析：直覺判斷該梯形的面積=CD·EF=50㎝2，而CD·EF與求平行四邊形的面積相似，于是可通過構造平行四邊形來解決問題`。過E點作CD的平行線交BC于G，交DA的延長線于H，由于E是AB的中點，所以Rt△BGE≌Rt△AHF，所以ABCD的面積=GCDH的面積=CD·EF=50㎝2

為此，教學中應常常告誡學生：拿到問題不要輕易下手，要多看看，多想想，運用直覺去尋求解決問題的途徑。這正如布魯納所說：“應當鼓勵學生去猜想?！?/p>

二、培養(yǎng)發(fā)散思維

發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心在數(shù)學中可通過典型例題的一題多解、一題多用、多題一解來培養(yǎng)學生的發(fā)散機智，實現(xiàn)和提高思維的流暢性，通過對典型例題的多變（變條件、變結論、變命題），引申拓廣以及轉(zhuǎn)向思維，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)向機智，實現(xiàn)和提高發(fā)散思維的變通性。

1.充分發(fā)揮和挖掘課本例題的功能。

教材中的例題給出的解法是有限的，如果我們對所有例題只限于課本的解法，不作深入研究，不求解法有新的突破，例題教學中不敢于開拓創(chuàng)新，這只能使學生的思想僵化，死套模式，陷入機械學習的泥坑。把教材中的例題、習題講得精一點、深一點，探求題型的變通，無疑對學生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力是大有裨益的。下面我們不妨看一例：

例1：如圖1、⊙O1和⊙O2外切于A點，BC是⊙O1和⊙O2的外公切線，BC為切點，求證：AB⊥AC （見初中幾何第二冊P124例）

圖1 圖2 圖3

此例題是一個內(nèi)涵十分豐富的例題，它的拓廣見于多種數(shù)學刊物，它的證法有多種，還可以進行多種變形練習，教師應抓住此種例題給學生進行多角度思維訓練，下面僅給出三種變形練習，教師講完課本解法后可進行下列分析。

分析：如圖1、若能證得∠ABC+∠ACB=90°，不也同樣能證明此題嗎？如何證呢？因為BC是外公切線，所以連結O1B，O2C，O1O2，則有O1B⊥BC，O2C⊥BC，因此，O1B∥O2C，由于∠ABC與∠ACB都是弦切角，可得∠ABC=1/2∠O1， ∠ACB=1/2∠O2，所以∠ABC+∠ACB=（∠O1+∠O2）=90°，由此得證法㈡（證明略）， 從這一問題出發(fā)可得新命題：

如圖2、如果⊙O1與⊙O2不是外切，而是相交于點A、D，那么∠BAC+∠BDC=？，我們可以猜想到等于180°。這是因為比較圖1與圖2后發(fā)現(xiàn)，只要將圖2中的兩圓向兩邊拉一拉變?yōu)橥馇?，則∠BAC與∠BDC就會重合起來，變?yōu)閳D1中的∠BAC，如何證明∠BAC+∠BDC=180°呢？顯然連結AD，利用∠ABC=∠ADB，∠ACB=∠ADC及ΔABC的內(nèi)角和就可以證得。

我們還可將上面命題進一步探索：在圖1中，O1、A、O2是共線的，設想⊙O1與⊙O2外離，連結O1O2交⊙O1于A，交⊙O2于D，那么，是不是有直線BA⊥CD呢？這就要看是否有∠ABC+∠DCB=90°？回顧一下上面證法㈡（圖1），不難得出肯定答案。

如果繼續(xù)探索，還可以得出許多新的結論，限于篇幅不一一列出。

2.從多方面看問題，正確處理正向思維與逆向思維的關系。

有些問題正向思維比較繁，如果改為逆向思維，則能化繁為簡，好多例子都能說明，這里就不一一列舉了。

總之，非常規(guī)解法的獲得是建立在各種常規(guī)解法基礎之上的，只有讓學生清晰、牢固地掌握好基本概念、基本定理和一般的解題思路，才能在教師的潛心引導下適時進行非常規(guī)解法探討，以達到培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的目的。

參考文獻：

[1]《實用中學數(shù)學解題思路策略與方法技巧大典》

[2]《來自教改實踐的報告》endprint