覆蓋粗糙集算子的性質(zhì)及關系之注記

夏秀云，常安成，劉一龍

(湖南信息學院 公共課部，長沙 410005)

覆蓋粗糙集算子的性質(zhì)及關系之注記

夏秀云，常安成，劉一龍

(湖南信息學院 公共課部，長沙 410005)

覆蓋粗糙集是粗糙集的一種推廣，也是為了刻畫信息系統(tǒng)中具備不完備性與模糊性的信息. 本文借助鄰域，首先定義了幾對覆蓋粗糙集算子，然后根據(jù)定義研究了這幾對覆蓋粗糙上、下近似算子的性質(zhì)及定理，并討論這幾對覆蓋粗糙集算子的相關性，最后還討論了這幾對上、下近似算子對偶的等價條件.

粗糙集；覆蓋；近似算子

經(jīng)典粗糙集理論是1982年波蘭數(shù)學家Pawlak首次提出來的，它是集合理論的一種推廣[1].粗糙集理論是用來處理模糊和不確定性的知識，已經(jīng)廣泛用于人工智能、模式識別、過程控制、數(shù)據(jù)庫的知識發(fā)現(xiàn)和專家系統(tǒng)等方面[2-11]. 其中屬性約簡是粗糙集理論的一個很重要應用部分，所以對其進行研究是很有意義的工作. 經(jīng)典粗糙集的屬性約簡只是通過劃分或者等價關系來約簡條件屬性，這嚴重局限了粗糙集理論的發(fā)展.基于上述原因，故有學者把劃分擴展到覆蓋，使得粗糙集理論研究的范圍大大地擴展了[9]. Z.Bonikowsk從實際應用出發(fā)，提出了覆蓋粗糙集模型，討論了相關的性質(zhì)[5].之后，Mordeson等從另外的角度對覆蓋近似集進行了研究，給出了基于覆蓋的近似集的相互關系和公理化體系[6]，使得從邏輯和代數(shù)上搞清楚了覆蓋上、下近似運算的結(jié)構(gòu)和本質(zhì).緊接著，陳德剛等從格的角度出發(fā)，提出了完備分配格的覆蓋粗糙集模型[11].針對Z.Bonikowski定義的算子不具有對偶性，特別是其上近似算子不滿足單調(diào)性.許多學者對其定義的近似算子做了適當?shù)男薷?其中，William Zhu提出了幾種新的覆蓋上近似算子，并討論了它們的性質(zhì)、公理化條件及其相互關系.本文筆者首先給出了幾對新的覆蓋上、下近似算子，討論他們各自的性質(zhì)及定理，并且研究這幾對算子彼此之間的關聯(lián)性，最后還給出了這對近似算子對偶的等價條件，這對覆蓋粗糙集模型的深入研究起到一定參考作用.

1 預備知識

定義1[2]設U是一個論域，A是U的子集族，如果A中所有子集非空，并且∪A=U，則稱A是U的一個覆蓋.顯然，U的一個劃分也是一個覆蓋，覆蓋是劃分的推廣.

定義2[2]設(U，A)為一個覆蓋近似空間，?x∈U，稱md(x)={K∈A;x∈K∧?S∈A(x∈S∧S?K→K=S)}，為x關于(U,A)的最小描述.

定義3[10]設(U,A)是一個覆蓋近似空間，x∈U，稱N(x)=∩cv(x)=∩{K∈A;x∈K}為x的鄰域，其中cv(x)={K∈A;x∈K}.注意到md(x)是cv(x)中關于包含關系的極小元構(gòu)成的集合，故N(x)=∩md(x).

定義4 設(U,A)是一個覆蓋近似空間,X?U,則可得到如下幾對覆蓋粗糙上、下近似算子：

2 覆蓋粗糙算子的性質(zhì)

定理1 設(U,A)為一個覆蓋近似空間, 對于任意X,Y?U, 則有以下性質(zhì)成立：

定理2 設(U,A)為一個覆蓋近似空間, 對于任意X,Y?U, 則

證明 由算子(II)的定義知，易證(1)，(2)，(3)，(5). 以下我們只證明(4)式.

定理3 設(U,A)為一個覆蓋近似空間, 對于任意X,Y?U, 則

證明 根據(jù)覆蓋算子(V)的定義可得.該定理的證明過程類似例1及定理2.

3 覆蓋粗糙算子的相關性

定理4 設(U,A)為一個覆蓋近似空間,A0=U,則算子(I)與算子(II)等價.

定理5 設(U,A)為一個覆蓋近似空間, 對任意X?U,則

證明 (1)設

定理6 設(U,A)為一個覆蓋近似空間, 若對于任意X?U, 則

推論1 設(U,A)為一覆蓋近似空間, 若對于任意X?U, 則

證明 證明類似于定理4，這里不再累述.

引理1 設(U,A)為一覆蓋近似空間, {N(x);x∈U}的形成U的劃分充分必要條件對于任意x,y∈U,x∈N(y),則y∈N(x).

證明 因為x∈N(y)且x∈N(x),則x∈N(y)∩N(x)，又因{N(x);x∈U}?U且N(y)∩N(x)=?，N(x)≠N(y),因此N(y)=N(x).又因y∈N(y),從而y∈N(x).另一方面，假設存在N(y)∩N(x)=?，N(x)≠N(y)對于任意x∈N(y)且y∈N(x)，則存在z∈N(y)∩N(x), 故z∈N(x),又因x∈N(z)且x∈N(x),則x∈N(z)∩N(x),從而N(z)=N(x).又因z∈N(y)且y∈N(z),y∈N(y),則y∈N(y)∩N(x)，因此N(y)=N(x),即{N(x);x∈U}形成U的劃分.

推論2 設(U,A)為一個覆蓋近似空間,則以下條件相互等價:

(1){N(x);x∈U}形成U的一劃分；

(2)算子(II)? 算子(IV);

(3)算子(II)? 算子(V);

(4)算子(IV)? 算子(V).

證明由推論1可得，(2)式和(3)式成立，故可得(4)式成立.又由定理7可得，(1)?(2)中算子(II)的下近似=算子(IV)的下近似；同理可證，(1)?(2)中算子(II)的上近似=算子(IV)的上近似，從而(1)?(2).故有(1)?(2)?(3)?(4).證畢.

4 結(jié) 論

某一論域上的等價關系與該論域的劃分互相確定,劃分是一種特殊的覆蓋.本文研究了幾對覆蓋上、下近似算子的性質(zhì)及定理，討論這幾對覆蓋算子的關聯(lián)性，另外給出了上、下近似算子對偶的等價條件.基于以上研究，這對覆蓋粗糙集模型的進一步研究起到一定的參考意義.

[1] Z.Pawlak,Rough sets.International Journal of Computer and Information Sciences[J].1982,11(82):341-356.

[2] Zbigniew Bonikowski,Edward Bryniarski,Urszula Wybraniec-Skardowska, Extensions and Intentions in the Rough Set Theory[J].Information Sciences,1998,107(98):149-167.

[3] G.Cattaneo,Abstract Approximate Spaces for Rough Theories[M].in:Polkowski,Skowron (Eds.),Rough Sets in Knowledge Discovery 1:Methodology and Applications,Physicaverlag, Heidelberg,1998,59-98.

[4] H.S.Nguyen,D.Slezak,Approximation Reducts and Association Rules Correspondence and Complexityresults[J].in:N.Zhong,A.Skowron,S.Oshuga(Eds.),ProceedingsofRSFDGrC’99,Yama Guchi,Japan,LNAI 1999.1777(234):137-145.

[5] Z.Bonikowski,E.Bryniarski,U.Wybraniec.Extensions and Intensions in the Roughset Theory[J].Joural of Information Sciences,1998, 107(46):149-167.

[6] J.N.Mordeson.Rough Set Theory Applied to (fuzzy) Ideal Theory[J].Joural of FuzzySets and Systems, 2001,121(78):315-324.

[7] Z.Pawlak,Andrezej Skowron, Rough Sets:Some Extensions[J].Information Sciences,2006,17(26):28-40.

[8] Chen Degang,Wang Changzhong,HuQinghua,A New Approach to Attribute Reduction of Con-sistent and Inconsistent Covering Decision Systems with Covering Rough Sets[J].Information Sciences,2007,177(49):3500-3518.

[9] E.Bryniarski,A Calculus of Rough Sets of the First Order[J]. Bulletion of the Polish Academy of Sciences,1989,16(20):71-77.

[10] 高 巖,秦克云.基于覆蓋的粗糙近似算子[J].計算機工程與應用,2007,43(21):75-78.

[11] Chen Degang,Zhang Wenxiu,S.Yeung,C.C.Tsang,Rough Approximations on a Completely Distributively Lattice with Applications to Generalized Rough Sets[J]. Information Sciences,2006, 176(57):1829-1848.

StudyonDegradationofPesticideResiduesinVegetablesandFruitsByOzone

XIA Xiu-yun，CHANG An-cheng，LIU Yi-long

(Department of Public Course,Hunan Institute of Information Technology, Changsha 410005, China)

The covering rough sets theory is a generalization of traditional rough set theory,and also describes the information with incompleteness and fuzziness in information system. Firstly, we define several operators on covering rough sets by epsilon neighborhood. Secondly, we discuss properties, theorems and relations of those operators. Finally, we also get conditions of equivalence with dual of those operators.

rough sets; covering; approximation operators

0159

A

1671-119X(2017)03-0043-04

2017-03-29

國家自然科學基金項目(60474022)；湖南省教育廳科研資助項目(16C1118).

夏秀云(1980-)，女，碩士，講師，研究方向：智能信息處理.