數(shù)學解題反思：層次性及其案例（上）

文︳潘小明

數(shù)學解題反思：層次性及其案例（上）

文︳潘小明

潘小明，北京大學教育學院博士，教授，碩士生導師，兼任泰州市陶研會副會長、數(shù)學學會理事，中國高職院校學術委員會委員。主持省級以上課題5項，擔任省數(shù)學重點學科方向帶頭人、省數(shù)學課程與教學論精品課程負責人和校數(shù)學教育教學團隊負責人。出版學術專著、教材多部，發(fā)表論文120余篇。先后獲市人民政府獎8項，省教學成果獎1項、省教育研究成果獎2項、省教育管理成果獎1項。先后被評為省教科研先進個人、省“青藍工程”學術帶頭人和省“333工程”培養(yǎng)對象。

早在上世紀80年代，Zeichner&Liston就曾根據(jù)Van Manen的研究提出了關于學習者反思具有低、中、高等不同層次的觀點[1][2]。國內(nèi)也有學者把反思劃分為“前反思”“準反思”和“反思”三種不同水平的反思層次[3]。那么，就中學生數(shù)學解題這一特定的實踐而言，實踐者的實踐反思在層次上有怎樣的特點？針對這一現(xiàn)實而基本的問題，研究者于2015年3月開始對江蘇省中部地區(qū)某農(nóng)村初中學生數(shù)學解題反思的行為進行了跟蹤研究，初步概括了初中生數(shù)學解題反思的常識性、知識性、技術性和思想性特點，本文擬結合具體案例對這4種不同層次的反思進行簡要的描述與分析。

1.解題反思的常識性層次

這種層面的反思表現(xiàn)對當下數(shù)學解題活動瞬間的常識化思維，本質上是一種對數(shù)學解題活動沒有深層思考的準反思。研究者在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，成績較差的學生在數(shù)學解題過程中如果遇到了自己熟悉的數(shù)學刺激或問題情境，就容易表現(xiàn)出常規(guī)式、習慣性“想一想”“推一推”的數(shù)學活動方式。他們的數(shù)學解題行為更多地表現(xiàn)出一種自動化、半自動化的特性。個別訪談時發(fā)現(xiàn)，一些學生在數(shù)學解題中之所以出現(xiàn)數(shù)學錯誤，是因為他們的反思始終處于一種即時化、意識流式的常識狀態(tài)，在數(shù)學思維上沒有或很少涉及下一步該如何行動以及為什么這樣行動。從本質上看，與其說這些學生處于數(shù)學解題反思狀態(tài)中，還不如說他們僅僅是處于數(shù)學解題活動的準反思狀態(tài)中。

案例1 求4m的倒數(shù)。

案例描述與分析 在一個有45名學生的班級中，有6名學生的答案都是

研究者就該題解答的思維過程對錯解學生進行了訪談，結果發(fā)現(xiàn)，他們之所以得出錯誤的答案，是因為他們對倒數(shù)這一概念有著自以為是式的“過于熟悉”。針對做這個題目“你是怎樣想的”，有學生回答：“求數(shù)x的倒數(shù)，就是求一個與其相乘的積為1的數(shù)。4m就相當于x，答案肯定是”“求一個分數(shù)的倒數(shù)只要把這個數(shù)的分子和分母交換位置，4m的分子是4m，分母為1，交換分子與分母的位置，答案當然是”顯然，學生的解答是在一種自動化、半自動化思維狀態(tài)下獲得的，是基于“求一個分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子和分母交換位置”這一常識求解一個分式的倒數(shù)，而沒有就所求數(shù)學對象4m的取值范圍進行分析，沒有意識到當m等于0時，4m的倒數(shù)并不存在。

由于學生的解題反思水平僅僅處于常識性的層次，他們在解題過程中就容易被一些看起來合情合理的常識所迷惑。比如，正數(shù)是表示大于0的數(shù)，對應的符號用+表示，負數(shù)是表示小于0的數(shù)，對應的符號用-表示，這是一種常識。在特定的數(shù)學情境下，這種所謂的常識會掩蓋數(shù)學整體的意義，稍有不慎，就有可能犯實質性的數(shù)學錯誤。一個典型的例子是，在對學生進行“比較4m與-4m大小”這一類題的測試中，有學生就因為所謂的常識而不加分析地斷定4m是正數(shù)、-4m是負數(shù)，并由此得到4m＞-4m的唯一答案，而沒有認識到字母m除了可取正值，還可取負值或0，4m與-4m的大小比較要根據(jù)m的取值進行討論?？偟膩碚f，僅僅處于常識性反思層面的學生在數(shù)學解題過程中并非沒有“想一想”“推一推”，只是他們的“想一想”“推一推”更多地停留于非常淺顯的數(shù)學思維層次。

2.解題反思的知識性層次

解題的第一要務是把題目解出來，基于這種基本使命，學生對題目“究竟怎么解決”“究竟怎么做”往往有較高的關注度，由此也使他們的解題反思表現(xiàn)出知識性層次的特點。這種特點表現(xiàn)為學生對相關數(shù)學題目中相關概念、命題、法則“所知”的反思，并因此產(chǎn)生對問題中相關要素界定的思維。比如，有學生在討論中會問：“這句話是什么意思？”“這個式子是什么含義？”“條件或結論在說什么？”知識性層次解題反思也會表現(xiàn)為學生對相關數(shù)學題目中相關概念、命題、法則“所識”的反思。這是學生基于個人經(jīng)驗、見識對當下數(shù)學問題及其解答過程中相關刺激、相關要素進行必要的辨認、識別、判斷，并據(jù)此產(chǎn)生進一步問題表征、方法匹配、解題決策的解題行為?？梢?，在知識性層次的解題反思中，學生不僅結合個人的數(shù)學活動經(jīng)驗對當下的事實性、命題性和程序性三類數(shù)學知識進行必要的提取，而且據(jù)此進一步揭示待解數(shù)學題目的一些特征，初步分析問題所屬的類型，基于“所知”“所識”進行解題思路、模式和經(jīng)驗的匹配與對接。

案例2 在一節(jié)習題課上，數(shù)學教師要求學生解答如下的一道選擇題：

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

案例描述與分析 研究者對迅速給出正確答案的一些學生進行了訪談，發(fā)現(xiàn)他們在解此題時主要涉及如下的一些反思：“這個函數(shù)的自變量應當是x吧？這個函數(shù)是什么函數(shù)呢？”“a2-a+2在這里是什么意思？有什么特性？”“這個函數(shù)是一個反比例函數(shù)嗎？題目中的a2-a+2是對應于反比例函數(shù)y=（k≠0）中的k嗎？”“對于反比例函數(shù)y=（k≠0），當 k＞0 時，圖像在第一、三象限；當 k＜0時，圖像在第二、四象限，對嗎？”“先判斷a2-a+2的正負情況才能判斷這個反比例函數(shù)的圖像特性，如何判斷a2-a+2的正負呢？”“我是不是要把a2-a+2進行配方，看能不能利用非負數(shù)的性質判斷它是否是一個恒大于0或恒小于0的代數(shù)式呢？”

“思維始于困惑、困難或混亂的情境”[4]。在數(shù)學解題中，引發(fā)學生思維的情境并非總是通常意義上的“后思”情境，而是一種“前思”情境。數(shù)學解題反思更多地是一種“后思”，即學生在解完一道題之后對自己的解題過程和所獲得的結論進行反復思考。在著手解題之前，對相應的知識進行反思既可以看成對以往解題經(jīng)驗的“后思”，也可以看成當前解題活動的“前思”。在本案例中，學生為了判斷函數(shù)圖像兩個分支所在的象限，需要對a2-a+2的正負情況進行判斷，本質上是對反函數(shù)圖像性質和特殊代數(shù)式非負性等數(shù)學知識進行必要的檢視，是通過知識層面的解題反思使自己進一步明晰題意、確立更加合理的解題方向。

案例3 下午4點到5點，電視里播出一部動畫片，開始時分針與時針正好成一條直線，結束時兩針正好重合，試求解這部動畫片播了多少時間？

案例描述與分析 在這一測試中，研究者要求3名學生就本題的解答進行出聲思維。為了說明出聲思維的含義，研究者本人結合其他數(shù)學題目的思考過程進行了必要的示范。

研究者發(fā)現(xiàn)，被試學生拿到題目后，先是讀了兩遍題目，然后準備在作業(yè)紙上書寫。不過，他們很快放下了筆，因為他們不知道寫什么。研究者啟發(fā)他們：“動筆之前，好好想一想喲！”但后來發(fā)現(xiàn)有2位學生開始自言自語：“這好像是小學里的算術問題！”“什么類型的呢？”“我想想！”“行程問題？噢，不，不是的?！薄坝悬c像追及問題?！薄拔胰绻逊轴樅蜁r針分別看成2個人，不就是分針這個人追趕時針這個人，追趕的時間不就是動畫片播放的時間嗎？”“嗯，解答有了。只要假設時針行走的速度為每小時1格，則分針行走的速度就是每小時12格，如果這部動畫片播了x小時，那么分針行走到與時針重合時也需要x小時，根據(jù)題目的信息，因為分針比時針多走6格，所以可以列出方程：12x＝1·x+6，嗯，搞定！”在該案例中，類似的問題通常被稱為鐘面問題。開始時，分針與時針成一條直線，所以相差180°；結束時兩針重合，所以相差0°。有學生在表征問題階段，聯(lián)想到小學階段應用題中的追及問題，本身體現(xiàn)了對數(shù)學模式的識別。據(jù)此，這些學生不僅重新理解了待求解的數(shù)學題目，而且解題時的思路顯得十分清晰。

中學生在數(shù)學解題反思中的“所識”直接影響著其“所知”的狀態(tài)。的值這道計算題中，有學生感覺分式中的分子、分母幾乎是不能直接計算的，但當他們一旦識別到題目的數(shù)學模式：

很快地求出待解分式中分子與分母其實是相同的，因而所求結果為1。學生解題中的“所識”一方面來源于平時的數(shù)學學習，另一方面來源于解題實踐的經(jīng)驗總結。

（待續(xù)）