基于比較可能度的多屬性決策方法

胡 鑫，常文軍，孫超平

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230009； 2.過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009)

(*通信作者電子郵箱changwenjay@163.com)

基于比較可能度的多屬性決策方法

胡 鑫1,2，常文軍1,2*，孫超平1,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230009； 2.過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009)

(*通信作者電子郵箱changwenjay@163.com)

圍繞多等級(jí)上同時(shí)考慮優(yōu)于、劣于、無(wú)差異和不確定等四種成對(duì)方案間關(guān)系的不同分布式偏好關(guān)系(DPR)，提出一種基于其比較可能度的屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法。首先，利用各等級(jí)的得分值將分布式偏好關(guān)系轉(zhuǎn)為得分值區(qū)間，并基于得分值區(qū)間構(gòu)造服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度；其次，通過(guò)理論分析證明其與未考慮分布的比較可能度間的大小關(guān)系及其取值差異范圍；最后運(yùn)用提出的比較可能度形成屬性權(quán)重未知的多屬性決策流程，產(chǎn)生高辨識(shí)度的決策解。將提出的方法運(yùn)用于求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)的評(píng)估問(wèn)題，驗(yàn)證了方法的正確性和有效性。

分布式偏好關(guān)系；得分值區(qū)間；比較可能度；多屬性決策；屬性權(quán)重

0 引言

互聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算、大數(shù)據(jù)等新興信息技術(shù)的發(fā)展及其在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等不同行業(yè)的應(yīng)用，在為不同行業(yè)中的決策提供更為強(qiáng)大、全面的技術(shù)和信息基礎(chǔ)的同時(shí)，也將相關(guān)決策置于一個(gè)高度動(dòng)態(tài)不確定的環(huán)境中，正改變著人們的決策思維方式。在新的不確定決策環(huán)境中，對(duì)方案進(jìn)行成對(duì)比較相對(duì)于直接給出方案評(píng)價(jià)更易為決策者所接受，能夠更便捷、有效地刻畫決策者的偏好。

已有的方案成對(duì)比較表示方法大體上包括三種：1)層次分析法[1]；2)模糊偏好關(guān)系[2]；3)分布式偏好關(guān)系[3]。層次分析法和模糊偏好關(guān)系是兩種經(jīng)典的方案成對(duì)比較表示方法，兩者都是在單等級(jí)上描述成對(duì)方案間的優(yōu)于(劣于)關(guān)系，前者運(yùn)用9標(biāo)度描述決策者認(rèn)為方案1優(yōu)于(劣于)方案2的程度，后者運(yùn)用[0, 1]區(qū)間上的連續(xù)值刻畫決策者認(rèn)為方案1優(yōu)于(劣于)方案2的不同程度，兩種表示方法之間存在等價(jià)轉(zhuǎn)換關(guān)系[4]。直覺(jué)模糊偏好關(guān)系[5]和模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系[6-9]是模糊偏好關(guān)系的兩種典型擴(kuò)展，前者在單等級(jí)上描述成對(duì)方案間的優(yōu)于、劣于和不確定三種關(guān)系，而后者則在多等級(jí)上描述成對(duì)方案間的優(yōu)于、劣于和無(wú)差異三種關(guān)系。不同于前面這兩種方法，分布式偏好關(guān)系在多等級(jí)上同時(shí)刻畫成對(duì)方案間的優(yōu)于、劣于、無(wú)差異和不確定四種關(guān)系[3,10]，從而更為全面、柔性地描述成對(duì)方案間的比較關(guān)系，更好地應(yīng)對(duì)高度動(dòng)態(tài)不確定環(huán)境下的決策問(wèn)題。

利用分布式偏好關(guān)系進(jìn)行多屬性決策問(wèn)題求解時(shí)，必須對(duì)分布式偏好關(guān)系進(jìn)行比較，從而產(chǎn)生合理的決策解。文獻(xiàn)[3]構(gòu)建的多屬性決策方法利用等級(jí)得分值(見(jiàn)1.1節(jié))將成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系轉(zhuǎn)化為得分值區(qū)間，基于文獻(xiàn)[11]中的區(qū)間數(shù)比較方法，構(gòu)建不考慮概率分布的分布式偏好關(guān)系的比較可能度，進(jìn)而產(chǎn)生決策解。此比較可能度的提出僅考慮了得分值區(qū)間的上下限，對(duì)得分值區(qū)間自身的概率分布缺乏考慮。一般而言，在決策者提供詳細(xì)信息的條件下，可考慮得分值區(qū)間服從相應(yīng)的概率分布；而在沒(méi)有進(jìn)一步信息支撐的情況下，成對(duì)方案比較的全局無(wú)知可隨機(jī)分配到各個(gè)等級(jí)，得分值區(qū)間內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)成為決策方案的綜合評(píng)價(jià)值是等可能的，在這種情況下，決策方案的綜合評(píng)價(jià)值在得分值區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。因此，有必要考慮分布式偏好關(guān)系得分值區(qū)間服從均勻分布的比較可能度，并運(yùn)用于決策問(wèn)題求解中。在進(jìn)行多屬性決策問(wèn)題求解時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)由于決策過(guò)程中知識(shí)的缺乏或者決策者的主觀判斷而導(dǎo)致屬性權(quán)重未知的情形。針對(duì)此情形，考慮得分值區(qū)間服從均勻分布，同時(shí)產(chǎn)生高辨識(shí)度的決策解，本文提出一種基于服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度的多屬性決策方法。

以下首先介紹分布式偏好關(guān)系及其未考慮分布的比較可能度；而后基于文獻(xiàn)[12]中的區(qū)間數(shù)比較方法構(gòu)造服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度，從理論上分析并證明了與未考慮分布的比較可能度相比，其具有更高的辨識(shí)度；進(jìn)而基于提出的比較可能度提出屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法。最后，將提出的方法運(yùn)用于求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)評(píng)估問(wèn)題，驗(yàn)證了方法的有效性與合理性。

1 相關(guān)基礎(chǔ)

1.1 分布式偏好關(guān)系

分布式偏好關(guān)系是定義在多等級(jí)對(duì)稱框架上，同時(shí)刻畫成對(duì)方案間的優(yōu)于、劣于、無(wú)差異和不確定四種關(guān)系的方案成對(duì)比較表示方法，規(guī)范化定義如下。

定義1[3]設(shè)X={x1,x2, …,xm}表示一組方案集，Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))為一個(gè)對(duì)稱的評(píng)價(jià)等級(jí)框架，其中H(N+1)/2+1,H(N+1)/2+2, …,HN表示遞增的優(yōu)于強(qiáng)度，H1,H2, …,H(N+1)/2-1表示遞減的劣于強(qiáng)度，H(N+1)/2表示無(wú)差異，且HN-n+1與Hn(n=1, 2, …, (N+1)/2-1)對(duì)稱。任給一對(duì)方案xi和xj，它們之間的分布式偏好關(guān)系表示為dij={(Hn,mij(Hn)),n=1, 2, …,N; (Ω,mij(Ω))}，其中mij(Hn)和mij(Ω)分別表示等級(jí)Hn上的信念度和全局無(wú)知上的信念度(不確定度)，滿足:

0≤mij(Hn),mij(Ω)≤1;n=1, 2, …,N

(1)

(2)

mij(Hn)=mji(HN-n+1);n∈{1, 2, …,N}

(3)

mij(Ω)=mji(Ω)

(4)

mii(H(N+1)/2)=1

(5)

分布式偏好關(guān)系等級(jí)框架Ω={H1,H2, …,HN}一般可通過(guò)決策者依據(jù)自身偏好和經(jīng)驗(yàn)信息，綜合專家意見(jiàn)來(lái)確定的。通過(guò)Saaty[1]提出的層次分析法可知，從心理學(xué)規(guī)律上來(lái)看，由決策者給出方案xi優(yōu)于xj的等級(jí)標(biāo)度不超過(guò)9。分布式偏好關(guān)系的對(duì)稱等級(jí)框架包括優(yōu)于、劣于以及無(wú)差異三種關(guān)系，依據(jù)層次分析法中的9標(biāo)度，一般而言，在實(shí)際決策過(guò)程中，分布式偏好關(guān)系的等級(jí)標(biāo)度滿足N≤17。

為了度量各等級(jí)的差異，定義各等級(jí)上的得分值，如下所示。

定義2[3]設(shè)Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))為表達(dá)定義1中分布式偏好關(guān)系的對(duì)稱框架，則其對(duì)應(yīng)的等級(jí)得分值s(Hn)滿足：

0

(6)

s(H(N+1)/2)=0

(7)

s(Hn)=s(HN-n+1)；n∈{1, 2, …,N}

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(6)～(12)易知，sij和sji滿足[3]：

(13)

(14)

1.2 分布式偏好關(guān)系的比較可能度

為了比較分布式偏好關(guān)系形成決策解，文獻(xiàn)[3]基于分布式偏好關(guān)系的得分值區(qū)間，利用文獻(xiàn)[11, 13]中的區(qū)間數(shù)比較方法(NSG區(qū)間數(shù)比較方法[14]的變形)構(gòu)造不考慮均勻分布的分布式偏好關(guān)系的比較可能度，具體如下。

(15)

定義3中的比較可能度僅考慮利用得分值區(qū)間的上下限對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣比較，未考慮得分值區(qū)間上隨機(jī)變量的概率分布，得分值區(qū)間是由等級(jí)得分值、等級(jí)信念度和全局無(wú)知產(chǎn)生的，一般而言，全局無(wú)知被分配到各個(gè)等級(jí)的概率是相同的，那么由此產(chǎn)生的得分值區(qū)間服從均勻分布。為了定義分布式偏好關(guān)系得分值區(qū)間服從均勻分布的比較可能度, 本文首先介紹一種服從均勻分布的區(qū)間數(shù)比較方法，具體如下。

定義4[12, 15]設(shè)a=[a-,a+]和b=[b-,b+]為兩個(gè)區(qū)間數(shù)，其上隨機(jī)變量均服從均勻分布，則a優(yōu)于b的可能度為：

(16)

以下將利用式(16)構(gòu)造服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度，并與定義3中的比較可能度進(jìn)行理論對(duì)比分析，探討兩者的大小關(guān)系和取值差異，進(jìn)而論證本文提出的比較可能度具有更高的辨識(shí)度。

2 服從均勻分布的比較可能度

在利用分布式偏好關(guān)系構(gòu)建的多屬性決策問(wèn)題中，對(duì)分布式偏好關(guān)系進(jìn)行比較，首先要產(chǎn)生其間的比較可能度，以下將從分布式偏好關(guān)系得分值區(qū)間出發(fā)，考慮其概率分布，探討服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系的比較可能度。

(17)

依據(jù)定義5，在多屬性決策中成對(duì)方案間的優(yōu)劣關(guān)系可定義如下。

基于得分值區(qū)間服從均勻分布，定義5提出了一種新的分布式偏好關(guān)系比較可能度，且與定義3中的比較可能度p(sij≥sji)相比，兩者在一定條件下存在固定的大小關(guān)系。

(18)

(19)

證畢。

由定理1可知，對(duì)于相同的一對(duì)方案，定義6中的比較可能度始終大于定義3中的比較可能度，且兩者之間的取值差異規(guī)約在一定范圍內(nèi)。

(20)

(21)

證畢。

綜合定理1和定理2可知，與不考慮概率分布的比較可能度相比，考慮服從均勻分布的比較可能度產(chǎn)生的決策解具有更高的辨識(shí)度。

3 多屬性決策方法

在真實(shí)決策過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)屬性權(quán)重未知的情形。針對(duì)此情形，本章對(duì)多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行建模，進(jìn)而設(shè)計(jì)一種基于服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度的多屬性決策方法。

3.1 問(wèn)題建模

3.2 問(wèn)題求解

對(duì)于3.1節(jié)中建模的多屬性決策問(wèn)題，首先要確定各屬性的相對(duì)權(quán)重。

給定各屬性上成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系d(ei(alk)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})，計(jì)算出各屬性上成對(duì)方案間的得分值區(qū)間，標(biāo)記為s(ei(alk))=[s-(ei(alk)),s+(ei(alk))] (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})。

為了衡量在各屬性上成對(duì)方案間的差異，需要考慮度量不同得分值區(qū)間之間的距離。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，借鑒文獻(xiàn)[16]中的兩區(qū)間數(shù)的距離公式，即設(shè)a=[a-,a+]和b=[b-,b+]為兩個(gè)區(qū)間數(shù)，則：

(22)

其中，d(a,b)為區(qū)間數(shù)a與b之間的距離。

依據(jù)式(22)計(jì)算在各屬性上每個(gè)方案與其余方案間的平均距離，將其標(biāo)記為d(ei(al)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l∈{1, 2, …,m})，即:

(23)

基于式(23)度量在各屬性上所有方案間的平均距離，以此作為各屬性上的方案差異度，并將其標(biāo)記為di(?i∈{1, 2, …,L})，即:

(24)

依據(jù)式(24)，利用各屬性的方案差異度di(i=1, 2, …,L)來(lái)度量各屬性權(quán)重wi(?i∈{1, 2, …,L})，即:

(25)

從而得到各屬性的相對(duì)權(quán)重w=(w1,w2, …,wL)。

綜上，給出基于分布式偏好關(guān)系比較可能度屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法流程。

步驟1 針對(duì)3.1節(jié)建模的多屬性決策問(wèn)題，決策者依據(jù)自身偏好，綜合考慮專家意見(jiàn)，確定等級(jí)框架Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))，等級(jí)得分值s(Hn) (n=1, 2, …,N)。

步驟2 決策者給出屬性集E上成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系d(ei(alk)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})。

步驟3 計(jì)算各屬性上成對(duì)方案間的得分值區(qū)間，依據(jù)式(23)～(25)確定各屬性的相對(duì)權(quán)重wi(i=1, 2, …,L)。

步驟4 運(yùn)用文獻(xiàn)[3]中的屬性集結(jié)方法，得到完全的分布式偏好關(guān)系，形成得分值矩陣S。

4 案例分析

為了構(gòu)建國(guó)內(nèi)先進(jìn)產(chǎn)業(yè)基地以及現(xiàn)代高端產(chǎn)業(yè)體系，蕪湖市決定實(shí)行戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)重點(diǎn)培育和發(fā)展。蕪湖市發(fā)改委選定了4個(gè)產(chǎn)業(yè)作為備選方案，包括裝備制造、電子信息、新材料以及新能源。由蕪湖市發(fā)改委官員擔(dān)任決策者，邀請(qǐng)來(lái)自政府有關(guān)部門、相關(guān)產(chǎn)業(yè)以及合作高校的10位專家，選取產(chǎn)業(yè)發(fā)展?jié)摿?e1)、產(chǎn)業(yè)發(fā)展基礎(chǔ)(e2)、對(duì)低碳和環(huán)境保護(hù)的影響(e3)、促進(jìn)科技的產(chǎn)業(yè)效應(yīng)(e4)、盈利能力(e5)、就業(yè)吸納能力(e6)等6個(gè)屬性，并實(shí)現(xiàn)對(duì)4個(gè)產(chǎn)業(yè)的有效評(píng)估。由于針對(duì)每個(gè)屬性，需要考慮的子屬性頗多，且專家們相關(guān)意見(jiàn)繁雜不統(tǒng)一，獲取6個(gè)屬性的相對(duì)權(quán)重相當(dāng)困難。以下將針對(duì)屬性權(quán)重未知的情形，用本文提出的決策方法進(jìn)行問(wèn)題求解，流程如下：

1)決策者結(jié)合自身知識(shí)和偏好，綜合專家意見(jiàn)，確定對(duì)稱的等級(jí)框架為Ω={H1,H2, …,H11}={絕對(duì)弱, 非常弱, 很弱, 一般弱, 稍弱, 無(wú)差異, 稍強(qiáng), 一般強(qiáng), 很強(qiáng), 非常強(qiáng), 絕對(duì)強(qiáng)}，其等級(jí)得分值為s(Hn) (n=1,2,…,11)=(-1,-0.8,-0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)。

2)針對(duì)上述4個(gè)產(chǎn)業(yè)，給出成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系，如表1所示。其中，4個(gè)產(chǎn)業(yè)表示為Il(l=1, 2, …, 4)，成對(duì)產(chǎn)業(yè)在屬性上的分布式偏好關(guān)系表示為d(ei(Ilk)) (i=1, 2, …, 6;l,k=1, 2, …, 4)。

3)依據(jù)式(9)～(12)，將各屬性上成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的得分值區(qū)間s(ei(Ilk))， (?i∈{1, 2, …, 6}, ?l,k∈{1, 2, …, 4})，具體如表2所示。

基于表2，利用式(23)計(jì)算各屬性上每個(gè)方案與其余方案間的平均差距d(ei(Il))，如表3所示。

依據(jù)式(24)求取各屬性上成對(duì)方案間的平均差距di(i=1,2,…,6)=(0.418 2,0.772 3,0.471 8,0.387 8,0.552 7,0.883)。進(jìn)而利用式(25)求得各屬性的相對(duì)權(quán)重wi(i=1,2,…,6)=(0.112,0.221 6,0.135 3,0.111 2,0.158 6,0.253 3)。

4)運(yùn)用文獻(xiàn)[3]中的屬性集結(jié)方法，將各屬性上成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系d(ei(Ilk)) (?i∈{1, 2, …, 6}, ?l,k∈{1, 2, …, 4})集結(jié)為成對(duì)方案間的分布式偏好關(guān)系d(Ilk)，如表4所示。

表1 成對(duì)產(chǎn)業(yè)在屬性上的分布式偏好關(guān)系Tab. 1 Distributed preference relations on attributes of pairwise industries

表2 成對(duì)產(chǎn)業(yè)在屬性上的得分值區(qū)間Tab. 2 Score intervals on attributes of pairwise industries

表3 各屬性上每個(gè)方案與其余方案間的平均差距Tab. 3 Average difference on attributes of each alternative and other alternatives

將d(Ilk)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的得分值區(qū)間s(Ilk)=[s-(Ilk),s+(Ilk)]，進(jìn)而得到完全的得分值矩陣如下：

5) 基于分布式偏好關(guān)系得分值矩陣S，利用式(17)求取服從均勻分布的可能度矩陣:

表4 成對(duì)產(chǎn)業(yè)間的分布式偏好關(guān)系Tab. 4 Distributed preference relations of pairwise industries

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)利用分布式偏好關(guān)系建模的多屬性決策問(wèn)題，提出了一種基于其比較可能度的屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法。首先構(gòu)造了一種服從均勻分布的分布式偏好關(guān)系比較可能度，進(jìn)而運(yùn)用此可能度闡述了一種屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法。最后，利用提出的多屬性方法求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)評(píng)估問(wèn)題，詮釋該方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，驗(yàn)證了其應(yīng)用性和合理性。同時(shí)，與文獻(xiàn)[3]中的方法進(jìn)行了對(duì)比，突出了本文方法在考慮均勻分布合理性、深入挖掘決策信息、產(chǎn)生高辨識(shí)度的決策解等方面的優(yōu)點(diǎn)。

本文提出的分布式偏好關(guān)系比較可能度，能產(chǎn)生較高辨識(shí)度的決策結(jié)果，但仍不能保證比較可能度自身的傳遞性。下一步擬將設(shè)計(jì)新的區(qū)間數(shù)比較方法，實(shí)現(xiàn)比較可能度的傳遞性，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的多屬性決策方法。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (71201043, 71571060), the Ministry of Education, Humanities and Social Sciences Planning Project (14YJA630051).

HUXin, born in 1994, M. S. candidate. Her research interests include decision making theory and method.

CHANGWenjun, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include decision making theory and method.

SUNChaoping, born in 1973, Ph. D., associate professor. His research interests include management decision method in cloud computing.

Multi-attributedecisionmakingmethodbasedoncomparisonpossibilitydegree

HU Xin1,2, CHANG Wenjun1,2*, SUN Chaoping1,2

(1.SchoolofManagement,HefeiUniversityofTechnology,HefeiAnhui230009,China；2.KeyLaboratoryofProcessOptimizationandIntelligentDecision-making,MinistryofEducation,HefeiAnhui230009,China)

Based on comparison possibility degree of Distributed Preference Relation (DPR) considering four pairwise relations of alternatives including superiority, inferiority, indifference and uncertainty, a multi-attribute decision making method with unknown attribute weights was proposed. Firstly, DPRs were transformed to score intervals by using grade scores. Based on the score intervals, the comparison possibility degree of DPR with consideration of uniform distribution was constructed. Secondly, the relationship between comparison possibility degree and the difference range of values of the proposed possibility degree and the possibility degree without considering probability distribution were theoretically analyzed and proven. At last, by using the proposed possibility degree, a multiple attribute decision making process considering unknown attribute weights was generated. Meanwhile, a high recognizable decision solution was created. The proposed method was applied to evaluate the strategic emerging industries of Wuhu, which verified the applicability and validity of the method.

Distributed Preference Relation (DPR); score interval; comparison possibility degree; multi-attribute decision making; attribute weight

TP18

A

2017- 02- 20;

2017- 04- 24。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71201043，71571060)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(14YJA630051)。

胡鑫(1994—)，女，遼寧鐵嶺人，碩士研究生，主要研究方向：決策理論與方法； 常文軍(1991—)，男，安徽蕪湖人，碩士研究生，主要研究方向：決策理論與方法； 孫超平(1973—)，男，安徽懷寧人，副教授，博士，主要研究方向：云計(jì)算環(huán)境下管理決策方法。

1001- 9081(2017)08- 2223- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2223