三角函數(shù)求值問題的教學(xué)“糾錯”實錄

陳建邦 侯 軍

(1.云南省石屏縣第一中學(xué)，云南 662200；2.云南省紅河州石屏高級中學(xué)，云南 662200)

三角函數(shù)求值問題的教學(xué)“糾錯”實錄

陳建邦1侯 軍2

(1.云南省石屏縣第一中學(xué)，云南 662200；2.云南省紅河州石屏高級中學(xué)，云南 662200)

三角函數(shù)是高考的熱門考點，在高中數(shù)學(xué)教材中占有重要的地位.教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解三角函數(shù)問題時，經(jīng)常出現(xiàn)漏解、增解、錯解的現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)條件中的隱含條件挖掘不夠.本文以此為出發(fā)點，展示教師如何引導(dǎo)學(xué)生自主挖掘三角函數(shù)題目中的隱含條件，掌握更多的解題思想，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的.

錯解；三角函數(shù)求值；隱含條件

一、教材分析

三角函數(shù)與解三角形等知識在新課標(biāo)人教A版的教材的必修四第一、三章，必修五第一章.從課程的設(shè)置和安排上就可以看出三角函數(shù)的重要性，必修一用集合的觀點來定義函數(shù)，后續(xù)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，但是沒有具體的函數(shù)模型來認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì).學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)這些具體的函數(shù)之后，學(xué)生對定義域、值域、單調(diào)性有了深刻的認(rèn)識，通過對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步深化學(xué)生對函數(shù)的理解，它不僅體現(xiàn)了函數(shù)的通性，也涉及到了諸如整體代換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想.這也無形中確立了三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位.

二、問題提出

在涉及三角函數(shù)求值問題時，學(xué)生普遍有兩大問題，第一，公式記不住或者記憶混淆.第二，不能很好地判斷或分析角的范圍.對于第一個問題普遍是學(xué)生懶惰造成的，第二個問題確實是個難點，也是對教師的挑戰(zhàn).我們知道，三角函數(shù)求值問題類型主要有三類：

(1)“給角求值”問題：主要是公式的應(yīng)用.

(2)“給值求值”問題：解題的關(guān)鍵在于變角，注意角的拆分.

(3)“給值求角”問題：實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.但是解三角函數(shù)問題，不管用什么方法，都要首先明確角的范圍以及角所在的象限.

三、問題探究

1.錯解展示

學(xué)生A的解答過程是這樣的：

cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB.

2.正解解析

方法三(學(xué)生小組討論后的解答)由△ABC中大角對大邊以及正弦定理可以得到

若A>B?sinA>sinB，應(yīng)用這個關(guān)系可以判定該題的sinA

易得A為銳角，很容易得正確答案.

還有沒有其他解答方法呢？(教室安靜)

教師補(bǔ)充解答：

方法四∵0

cosA>cos(π-B)?cosA+cosB>0.

我們可以得到這樣的結(jié)論：在△ABC中，cosA+cosB>0.

學(xué)生出現(xiàn)錯解的主要原因是他們在解題時沒有注意角的范圍.故教師在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的“重視角的范圍”的解題意識.

學(xué)生甲的解答：

教師給出解答：

看來答案只有一個，那這是為什么呢？學(xué)生的方法怎么改進(jìn)才能正確呢？經(jīng)教師引導(dǎo)，學(xué)生仔細(xì)思考后，部分同學(xué)的回答是這樣的：

∵sin2θ>0,cos2θ<0，∴2θ是第二象限的角，則θ是第一、三象限的角，所以tanθ>0所以tanθ=2.這道題讓學(xué)生深刻地感受到挖掘隱含條件明確角的范圍對三角函數(shù)值的影響.

學(xué)生乙的解答是這樣的：

正確的解答如下：

四、反思總結(jié)

數(shù)學(xué)解題要注意觀察、分析問題的數(shù)學(xué)表征，然而許多學(xué)生在觀察問題時，往往把注意力集中在顯性條件上，只要求解符合思維邏輯，就盲目地下結(jié)論.所謂差之毫厘謬以千里.挖掘題目中的隱含條件，既是數(shù)學(xué)解題的一項基本功，也是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)的重要手段.建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論告訴我們“學(xué)習(xí)過程不是學(xué)習(xí)者被動地接受知識，而是積極主動地建構(gòu)知識的過程”.在課堂教學(xué)中，教師遇到學(xué)生的錯解不妨“等一等”，給學(xué)生充分的思考時間，讓學(xué)生通過集體討論、自主探究一點點地發(fā)現(xiàn)問題所在，教師再啟發(fā)誘導(dǎo)，給出完美的答案，這才更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]人民教育出版社等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書(必修)數(shù)學(xué)4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

G632

A

1008-0333(2017)22-0022-02

陳建邦，中學(xué)一級,石屏縣第一中學(xué)，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和初等數(shù)學(xué)研究工作.侯軍，中學(xué)一級，石屏高級中學(xué)，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和初等數(shù)學(xué)研究工作.

責(zé)任編輯：楊惠民]