地球自轉(zhuǎn)對(duì)上海自由落體運(yùn)動(dòng)的影響

陳琪琪

(上海市大同中學(xué)，上海 200003)

地球自轉(zhuǎn)對(duì)上海自由落體運(yùn)動(dòng)的影響

陳琪琪

(上海市大同中學(xué)，上海 200003)

本文通過對(duì)地球自轉(zhuǎn)基本理論的探討，用近似求解方法求解偏移量的方法，對(duì)地球自轉(zhuǎn)對(duì)上海自由落體運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行了相關(guān)探究.

地球自轉(zhuǎn)；上海；自由落體；偏移

對(duì)中學(xué)物理所涉及問題，將地球參考系視為慣性參考系是能滿足要求的.但對(duì)于跨越的時(shí)間和空間較廣、要求精度又較高的工程問題，往往需要考慮地球的自轉(zhuǎn).將地心參考系視為慣性參考系，而把地面參考系視為非慣性參考系.若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，從上海高處自由下落的物體是否沿著鉛直線的方向運(yùn)動(dòng).

一、基本理論

地球既有公轉(zhuǎn)又有自轉(zhuǎn)，所以是非慣性參考系.公轉(zhuǎn)角速度很小且所產(chǎn)生的慣性離心力幾乎與太陽引力相抵消，自轉(zhuǎn)的角速度為7.292×10-5弧度/秒.雖然也比較小，但卻產(chǎn)生了一些可以觀察到的現(xiàn)象.考慮地球繞地軸自轉(zhuǎn)時(shí)，可以認(rèn)為它的角速度是沿地軸的一個(gè)恒矢量，因而只要考慮慣性離心力和科里奧利力的影響.如質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地球是靜止的，即v/=0，則只考慮慣性離心力的影響.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)離地軸距離的變化一般都并不太大，故慣性離心力的效應(yīng)(重力的量值與引力有差別)，只要用重力替代引力就可以了.因此，在研究自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以只考慮科里奧利力的效應(yīng).科氏力：Fk=2mv×ω(1-1) 圖(1)代表地球,一質(zhì)點(diǎn)在半球的某點(diǎn)M上以速度v′相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)的緯度為φ.圖中豎直方向?yàn)榈剌S，地球自轉(zhuǎn)的角速度ω沿著該軸.單位矢量i、j、k則固著在地球表面上.且i水平向南，j水平向東，k豎直向上.令轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸x,y,z與i，j，k重合，即x軸指向南方，y軸指向東方，z軸豎直向上，如圖所示.

根據(jù)上面討論可略去慣性離心力，即認(rèn)為重力mg通過地球球心，則有：ma′=F-mgk-2mv′×ω(1-2)式中F代表重力以外的作用力.(此處a′和v′表示物理量而非對(duì)時(shí)間求導(dǎo))因ω與i，k共面，ω=ω(-cosφi+sinφk).故得：

將(1-3)代入(1-2)，即得質(zhì)點(diǎn)M在x,y,z三個(gè)方向得運(yùn)動(dòng)微分方程為：

mx″=Fx+2mωy′sinφ

假定質(zhì)點(diǎn)M從有限的高度h自由下落，

my″=Fy-2mω(x′sinφ+z′cosφ) (1-4)

那么我們可以認(rèn)為g的值不變，且重

mz″=Fz-mg+2mωy′cosφ

力以外的Fx=Fy=Fz=0.則(1-4)為：

x″= 2ωy′sinφ

運(yùn)動(dòng)的初試條件是：t=0時(shí)，x0=y0=0,

y″= -2ω(x′sinφ+z′cosφ) (1-5)

z0=hx0′=y0′=z0′=0

z″= -g+2ωy′cosφ

對(duì)(1-5)式積分并代入初試條件得：

x″= -4ω2sinφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

y″= 2gtωcosφ-4ω2y(1-6)

z″= -g-4ω2cosφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

二、用近似求解方法求解偏移量

(1-6)的落體相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組，要得到精確解也是超出我們能力范圍的.因此使用二種求法求近似解，并以上海金茂大廈樓頂(420.5米)物體自由落體為例計(jì)算落地偏移量.

1.略去ω2項(xiàng)法

(1-6)中出現(xiàn)了ω2項(xiàng).但如質(zhì)點(diǎn)自離地面200米以上的高處自由下落，則ω2項(xiàng)的值不會(huì)超過10-6米/秒2；而如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度在1米/秒的數(shù)量級(jí)時(shí)，科里奧利加速度2ωv′的數(shù)量級(jí)約為10-4，差100倍左右，略去ω2項(xiàng)(1-6)簡化為：

x″= 0x=0 取ω=7.292×10-5rad/s、

h=420.5m、φ=31.233°、z″=-g

計(jì)算結(jié)果得質(zhì)點(diǎn)只有向東的偏移：T= 9.26371s，ΔS=0.161922m.

2.逐步逼近法

注意(1-5)式方程組的三個(gè)方程等號(hào)的右側(cè)均與ω有關(guān)，又因ω是小量，于是可將該方程組的解假設(shè)為ω的冪級(jí)數(shù)形式，采用逐步逼近的方法，可獲得該方程的一次近似解和二次近似解.

則一次修正項(xiàng)為:ΔS1=2.83578×10-5m，ΔE=0.161922m.考慮到二次修正項(xiàng)為：ΔS2=2.83578×10-5+1.20918×10-9m，ΔE=0.161922m.可以看出向東的偏移明顯的與一次修正的結(jié)果一致，二次修正比一次修正更為進(jìn)一步的體現(xiàn)出了自由落體落地還有向南的偏移量,但是很小.由于空氣阻力以及風(fēng)力等原因，現(xiàn)場(chǎng)是難于測(cè)量出來的.如用二次修正則能得到更為精確的南偏值，作出圖象如圖(2)所示.

[1]王鳳黎.自由落體運(yùn)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國教育技術(shù)裝備，2011(13).

[2]王立華.空氣阻力對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)的影響[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000(02).

G632

A

1008-0333(2017)22-0060-02

2017-06-01

陳琪琪(1982.11-)，男，上海，中學(xué)一級(jí)，從事高中物理教學(xué).

責(zé)任編輯：閆久毅]