歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

蔣正洋

(江蘇省揚(yáng)州市樹人中學(xué)高二(二)班,江蘇 揚(yáng)州 225000)

歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

蔣正洋

(江蘇省揚(yáng)州市樹人中學(xué)高二(二)班,江蘇 揚(yáng)州 225000)

在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，歸納法是其中常用的解題方法之一，尤其是針對(duì)一類問題以及規(guī)律問題的解答當(dāng)中，更是重要的解題途徑.該類解題方法要求高中學(xué)生在日常學(xué)習(xí)的過程中，首先對(duì)例題深入分析，之后對(duì)解題思路進(jìn)行歸納、總結(jié)，以便在今后的解題當(dāng)中能夠熟練使用.

高中數(shù)學(xué)；歸納法；等式問題；不等式問題；高中幾何

一、歸納法在高中等式問題當(dāng)中的運(yùn)用

對(duì)于高中學(xué)生而言，其在知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解以及運(yùn)用方面均存在一定程度的差異，因此其在解題思維方面也將會(huì)不盡相同.在面對(duì)高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，部分高中學(xué)生由于數(shù)學(xué)思維的欠缺，導(dǎo)致其在審題的過程中，常常會(huì)因漏掉已知條件而使得問題無法解決.在現(xiàn)今的高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中，部分已知條件并不會(huì)在題目當(dāng)中直接給出，而是隱含在給定的條件之內(nèi).當(dāng)高中學(xué)生沒有將知識(shí)融會(huì)貫通時(shí)，則有可能出現(xiàn)問題.在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，等式問題是常見的問題之一，也是運(yùn)用歸納法進(jìn)行解決的典型問題之一.

“牛吃草”問題是高中學(xué)生解題的過程中常遇到的難題之一，其主要難點(diǎn)在于牛在吃草的同時(shí)，草也在不斷的生長.消耗量與生長量之間的關(guān)系，是討論該類問題的關(guān)鍵所在.例如，設(shè)y是一片草原當(dāng)中草的生長總量，N表示在該片草地當(dāng)中放牧的牛的總數(shù)，x表示草地在自然狀態(tài)下的生長速度，T是牛吃草的總時(shí)間，則可得出y=(N-X)T這樣的公式.類似的問題如在一片河流當(dāng)中，其河道當(dāng)中沉積著一定量的砂子.當(dāng)80個(gè)人晝夜不斷的開采砂子時(shí)，可開采180天；當(dāng)60個(gè)人晝夜不斷的開采砂子時(shí)，可開采300天.如若保證河道中的砂子不被開挖枯竭，則可有多少人晝夜不斷的開挖？在對(duì)該類問題進(jìn)行解答時(shí)，可將每個(gè)人的開挖速度設(shè)為X，則可以根據(jù)砂子的總量不變這一原則，得出(80-X)×180=(60-x)×300，最終得出X=30.

二、歸納法在高中不等式問題當(dāng)中的運(yùn)用

不等式的高中數(shù)學(xué)當(dāng)中常見的問題之一，也是高中學(xué)生學(xué)習(xí)、解題的難點(diǎn)所在.因此，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)首先根據(jù)自身的實(shí)際特點(diǎn)，尋找適合自身的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)方法，并以此方法為基礎(chǔ)，提高對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)程度，將知識(shí)融入到自己的數(shù)學(xué)體系當(dāng)中，對(duì)知識(shí)當(dāng)中的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、總結(jié).對(duì)于簡單的一元高次不等式而言，其主要的解題方法為區(qū)間法(或稱根軸法)，其具體解題步驟包括以下幾個(gè)：其一，去掉f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)的負(fù)號(hào)；其二，將f(x)因式分解；其三，設(shè)每個(gè)括號(hào)的因式為0，將解標(biāo)注到數(shù)軸之上；其四，根據(jù)題目要求，寫出不等式的解集.而在對(duì)分式不等式進(jìn)行解題的過程中，應(yīng)將已知問題整理成 “>0”或 “≥0”的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2…(2n-1) (n∈N)，從“k到k+1”，左端需乘的代數(shù)式為____.

A.2k-1B.2k-1 C.2kD.2k+1在對(duì)該類問題進(jìn)行解答時(shí)，應(yīng)將原式轉(zhuǎn)化為(2k+1-1)-(2k-1)=2k，因此其正確答案應(yīng)選C.

三、歸納法在高中幾何問題當(dāng)中的運(yùn)用

所謂的歸納推理，其實(shí)質(zhì)以現(xiàn)有的事物為基礎(chǔ)，對(duì)其中包含的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)而在遇到其他類似的問題時(shí)，可將該類規(guī)律運(yùn)用到新問題的解答當(dāng)中.而歸納推理的步驟主要包括以下幾個(gè)：其一，對(duì)現(xiàn)有的事物進(jìn)行仔細(xì)的研究；其二，根據(jù)現(xiàn)有的事物總結(jié)出具有一般性的規(guī)律.在高中數(shù)學(xué)幾何問題學(xué)習(xí)的過程中，類比推理也是常用的方法之一，其實(shí)質(zhì)根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理，其主要步驟包括：其一，對(duì)不同的已知問題進(jìn)行研究，找出其中相同或者相似之處；其二，根據(jù)相似之處總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用到其他問題的解答當(dāng)中.在幾何問題當(dāng)中運(yùn)用歸納法時(shí)，其所解決的問題主要包括幾何問題中各個(gè)量的計(jì)算以及幾何問題的證明.然而，歸納法的運(yùn)用并不意味著以往解題思路、數(shù)學(xué)知識(shí)的幾點(diǎn)套用，而是應(yīng)根據(jù)新、舊知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行揣摩，并做好知識(shí)的遷移.

例如，有n個(gè)圓，相鄰的兩個(gè)圓之間均有交點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分.

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成二個(gè)部分f(1)=2；又n=1時(shí)，n2-n+2=2，∴命題成立.

②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分，那么設(shè)第k+1個(gè)圓記⊙O，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn)，于是它與其它k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn).把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2即n=k+1時(shí)命題成立.由①②可知對(duì)任何n∈N命題均成立.

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生只有根據(jù)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)以及典型的例題，對(duì)其進(jìn)行深入的研究分析，明確解題思路，總結(jié)解題方法，歸納出一套行之有效的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)而能夠提升數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果.

[1]鄒毅,楊發(fā)建.運(yùn)用歸納法和演繹法施教的比較研究[J].江西教育科研，2004(11).

[2]余昌木.數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例[J].高中生之友，2005(21).

G632

A

1008-0333(2017)22-0043-02

2017-06-01

蔣正洋(2000.10.16-),江蘇省興化,在校學(xué)生.

責(zé)任編輯：楊惠民]