數(shù)形結(jié)合，我的數(shù)學(xué)解題法寶

梁心如

(山東省壽光市第一中學(xué)2015級(jí)高二24班，山東 濰坊 262700)

數(shù)形結(jié)合，我的數(shù)學(xué)解題法寶

梁心如

(山東省壽光市第一中學(xué)2015級(jí)高二24班，山東 濰坊 262700)

結(jié)合高中生平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，概括數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用要注意雙向性、等價(jià)性和簡(jiǎn)單性等基本原則，通過坐標(biāo)系、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化幾種主要途徑作為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的突破點(diǎn).

數(shù)形結(jié)合；解題方法；變換

縱觀做過的高中數(shù)學(xué)題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，尤其在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，可以大大提高做題的速度與正確率，對(duì)選擇題幾乎可以做到秒殺.數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是“以形助數(shù)”.結(jié)合本人的解題經(jīng)驗(yàn)，概括數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用要注意雙向性、等價(jià)性和簡(jiǎn)單性等基本原則，通過坐標(biāo)系、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化幾種主要途徑作為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的突破點(diǎn).由數(shù)變形，由形變數(shù)，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)靜變換.

一、由數(shù)變形

由數(shù)到形在解題過程中一般根據(jù)不等式，作出不等式表示的區(qū)域，根據(jù)圖形得到問題的答案.

例1 已知：x,y∈R,且x2+y2+2y≤0，求證：

x2+y2+6x+8>0.

解析

在直角坐標(biāo)系中，已知條件可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋簒2+(y+1)2≤1，表示圓心在(0,-1)，半徑為1的圓面區(qū)域，求證式為：(x+3)2+y2>1，表示半徑為1，圓心為(-3,0)的圓外部.

從圖形可知：圓面x2+(y+1)2≤1上的點(diǎn)在圓(x+3)2+y2=1外部，那么得出：(x+3)3+y2>1,即x2+y2+6x+8>0.

二、由形變數(shù)

一般應(yīng)用于求函數(shù)值域或某些系數(shù)的求解.

例2 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x(a，b∈R且ab≠0)的圖象如圖，且|x1|>|x2|，則有( )

A.a>0，b>0 B.a<0，b<0

C.a<0，b>0 D.a>0，b<0

分析由圖知函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2．從而得導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+1的圖象是開口向下、與x軸交于點(diǎn)(x1，0)、(x2，0)的拋物線.又由圖得a<0，從而可以判斷a，b，c的符號(hào)．

解由圖象可知：

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f(x)↘極小值↗極大值↘f'(x)-0+0-

∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+1的圖象是開口向下、與x軸交于點(diǎn)(x1，0)、(x2，0)的拋物線,

∴a<0，x1+x2=-2b/3a.

由x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|知：x1+x2=-2b/3a<0，∴b<0.故選B.

三、數(shù)形等價(jià)

在高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，由形觀察數(shù)或由數(shù)構(gòu)造圖，離不開“觀察”、“構(gòu)造”，需要數(shù)形等價(jià)進(jìn)行嚴(yán)格邏輯推理，防誤求優(yōu).

例3 方程x1/3=2sinx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( )

A.3 B.7 C.5 D.9

解析應(yīng)用圖象法，作函數(shù)圖：y=x1/3，y=2sinx.

兩函數(shù)為奇函數(shù)，只需要繪制x≥0部分就可以.

四、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換

在高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，以動(dòng)求靜，可以“動(dòng)”觀點(diǎn)看待“靜”問題，將常數(shù)看作是變量的取值，靜止?fàn)顟B(tài)是運(yùn)動(dòng)中的“瞬間”，也可以靜制動(dòng)，用字母表示無限取值，用方程表示動(dòng)點(diǎn)軌跡，用不等式描述變量極限趨勢(shì)，用函數(shù)反映事物關(guān)系.動(dòng)靜轉(zhuǎn)換策略表現(xiàn)為不變量、定值探求、軌跡相交、式子變換、遞推法、局部調(diào)整法、交換法等.

例4 一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)B(5,6)，且與已知圓x2+y2-4x-8y+15=0相切于點(diǎn)A(3,6)，求圓的方程.

解析化靜為動(dòng)，將點(diǎn)A(3，6)視為圓(x-3)2+(y-6)2=R2，當(dāng)R→0的極限值，那么過圓(x-3)2+(y-6)2=R2與已知圓交點(diǎn)的圓方程為：

(x-3)2+(y-6)2-R2+λ(x2+y2-4x-8y+15)=0.

x2+y2-8x-16y+75=0.

上述數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的基本思想，在具體解題中需要具體問題具體分析，在對(duì)題目分析的基礎(chǔ)上，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法才是解題正道，讓數(shù)學(xué)解題化易，化簡(jiǎn)，化熟！

[1]張藝璇.關(guān)于高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略[J].亞太教育，2015(34).

G632

A

1008-0333(2017)22-0037-02

梁心如，女，山東壽光人，高中在校生.

責(zé)任編輯：楊惠民]