構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

張利紅

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

張利紅

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

本文主要介紹了構(gòu)造思想方法的含義及構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的作用：如通過構(gòu)造實例來論證某些判斷或命題成立與否;通過構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù),應(yīng)用根的存在定理證明與中間值有關(guān)的等式,應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式;構(gòu)造特殊區(qū)域上的函數(shù)來證明一般區(qū)域上的函數(shù)具有的相關(guān)性質(zhì);在積分學(xué)中通過構(gòu)造對稱性來簡化積分問題的計算.以上構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中的應(yīng)用加深了我對數(shù)學(xué)分析理論的理解,也認(rèn)識到這種思想的重要性.

構(gòu)造反例;構(gòu)造函數(shù);構(gòu)造區(qū)域;構(gòu)造對稱

一、構(gòu)造思想方法

1.構(gòu)造思想方法的概念

構(gòu)造思想方法是通過“構(gòu)造”來建立數(shù)學(xué)理論,根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì),構(gòu)造出滿足條件和結(jié)論的數(shù)學(xué)模型,借助此模型解決數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想方法之一.

2.運用構(gòu)造思想方法的條件

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這門課程中,當(dāng)有的結(jié)論難以直接表達(dá)時,需要借助一定的條件才能轉(zhuǎn)化到結(jié)論,于是就可以利用數(shù)學(xué)問題的特殊性,進行新的關(guān)系結(jié)構(gòu)的設(shè)計.這種方法不是直接解決問題,而是構(gòu)造一個與原來問題有關(guān)或等價的新問題間接地解決.

二、構(gòu)造反例的思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

1.構(gòu)造反例的作用

在數(shù)學(xué)分析中,命題判斷的題目很多,從理論上去直接證明命題是否正確,往往難以找到突破口,若能構(gòu)造一個反例,說明命題不成立,問題便得到解決.構(gòu)造反例的過程,是使我們對數(shù)學(xué)分析理論理解逐步加深的過程,使我們的數(shù)學(xué)能力逐步提高的過程.

2.構(gòu)造反例的應(yīng)用舉例

例1 判斷正誤:無界數(shù)列與無界數(shù)列的積仍為無界數(shù)列.

三、構(gòu)造函數(shù)

1.在數(shù)學(xué)分析中構(gòu)造函數(shù)的作用

在數(shù)學(xué)分析中構(gòu)造出有利解決問題的輔助函數(shù),往往能使很多復(fù)雜問題難度降低,利用輔助函數(shù)的性質(zhì)和定理進行求解,開拓了思維,進而在解題或問題證明中取得事半功倍的效果.構(gòu)造輔助函數(shù)的思想是數(shù)學(xué)分析中重要數(shù)學(xué)思想之一.

2.構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用舉例

(1)構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用根的存在定理證明等式

這種方法的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件和結(jié)論的特點構(gòu)造符合根的存在定理的函數(shù),從而應(yīng)用根的存在定理.應(yīng)該利用三步法：(1)結(jié)論移向變形;(2)換變量;(3)構(gòu)造新函數(shù).

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,2a]上連續(xù),且f(0)=f(2a).證明:存在點x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).

證明令F(x)=f(x)-f(x+a),由于f(x)在[0,2a]上連續(xù),所以f(x+a)在[0,a]上連續(xù),所以F(x)在[0,a]上連續(xù).又F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0),若f(0)=f(a),則取x0=0,a;若f(0)≠f(a),則F(0)=-F(a),

∴F(0)·F(a)<0.

由根的存在定理,存在x0∈(0,a),使得F(x0)=0,即f(x0)=f(x0+a).

綜上,存在點x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).

(2)構(gòu)造函數(shù)證明積分不等式問題

在一些既有積分也有函數(shù)的不等式證明題中,由于成分復(fù)雜,直接計算或是找他們之間的聯(lián)系是很困難的,往往通過構(gòu)造函數(shù),把不等號兩邊看是無關(guān)的式子聯(lián)系起來,使得問題得到巧妙地解決.證明不等式的一般思路(三步法):

(1)移向變形;

(2)換變量;

(3)構(gòu)造函數(shù).

然后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

F(a)=0.

F′(x)=M(x-a)±f(x)=M(x-a)±[f(x)-f(a)]

=M(x-a)±f′(ξ)(x-a)=[M±f′(ξ)](x-a),

其中ξ∈(a,x).

又∵|f′(x)|≤M,

∴F′(x)≥0,∴F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增.

又F(a)=0,

∴?x∈[a,b],F(x)≥0.

(3)延拓函數(shù)定義域構(gòu)造函數(shù)使復(fù)雜問題得以簡化

分析由函數(shù)的一條性質(zhì):若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上一致連續(xù).可以將證明f(x)在(a,b)上一致連續(xù)轉(zhuǎn)化為f(x)在[a,b]上連續(xù).

則F(x)在[a,b]上連續(xù),從而在[a,b]上一致連續(xù),∴f(x)在(a,b)上一致連續(xù).

四、構(gòu)造對稱

1.構(gòu)造對稱的作用

構(gòu)造對稱,就是要添加一些不與題設(shè)矛盾的條件,使之具有對稱性，充分利用對稱性解決問題.該方法在數(shù)學(xué)分析微積分中經(jīng)常使用,掌握好它,有時能避開很多繁瑣的計算.比如構(gòu)造對稱形式的積分建立方程組求解就是常見的應(yīng)用,充分體現(xiàn)了構(gòu)造對稱計算積分的優(yōu)勢.

2.構(gòu)造對稱的應(yīng)用舉例

在數(shù)學(xué)分析中,構(gòu)造思想是一種極其重要的解題思想.運用構(gòu)造思想方法解題時,要對題目全面分析,從中發(fā)現(xiàn)可用構(gòu)造的因素,并借助與之相關(guān)的知識構(gòu)造所求問題的具體形式,或是與其等價的新問題,再解出所構(gòu)造的問題,從而使原題目獲得解答.就構(gòu)造的對象而言,其表現(xiàn)形式多樣,沒有完全固定的模式.除了以上介紹的方法外,還有構(gòu)造三角模型、構(gòu)造集合等方法.因此,運用構(gòu)造思想方法解題,需要掌握牢固的基礎(chǔ)知識,熟練的技能技巧,而且還應(yīng)具有發(fā)散思維能力,綜合運用各方面知識的能力.構(gòu)造思想法沒有很固定的模式,它很靈活,不死板.因此,這種解題方法的操控空間性及思維創(chuàng)造性較大.當(dāng)然文中介紹的方法畢竟有限,筆者只是從個人方面談了自己對構(gòu)造思想的認(rèn)識及理解,敬請各位讀者批評指正.

[1]劉良華.數(shù)學(xué)構(gòu)造思想方法的探索與實踐[D].華中師范大學(xué),2004.

[2]丁文敏.構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思想及其運用[J].南陽農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院學(xué)報,2014.

[3]李志飛.羅爾定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院學(xué)報,2006.

G632

A

1008-0333(2017)22-0008-02

2017-06-01

張利紅(1991.8-),女,漢族,河北張家口人,研究生在讀,助教,從事科學(xué)技術(shù)史.

責(zé)任編輯：楊惠民]