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    含參不等式恒成立問(wèn)題的解法研究

    2017-10-20 06:53:05趙春琴
    數(shù)理化解題研究 2017年22期
    關(guān)鍵詞:最值圖象數(shù)形

    趙春琴

    (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

    含參不等式恒成立問(wèn)題的解法研究

    趙春琴

    (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

    含參不等式恒成立問(wèn)題將函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)結(jié)合在一起.本文從含參不等式恒成立的解決思路與基本方法兩個(gè)方面做了簡(jiǎn)要闡述.求解這類問(wèn)題會(huì)涉及分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

    參數(shù);不等式;函數(shù)法

    含參不等式恒成立問(wèn)題把函數(shù)、方程和不等式綜合起來(lái)進(jìn)行考查,并且與方程的解、參數(shù)的取值和函數(shù)的最值緊密相連,知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、解法靈活.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué),舉例說(shuō)明幾種常見的求解這類問(wèn)題的方法,其中涉及分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸及轉(zhuǎn)化等思想.

    一、中學(xué)中常見的解題方法

    1.變換主元法

    對(duì)于一次函數(shù)f(x)=kx+b,x∈[m,n],有f(x)>0?f(m)>0且f(n)>0;f(x)<0 ?f(m)<0且f(n)<0.

    例1 當(dāng)-1≤m≤1,不等式3x-2>m(x2-2)恒成立,求x的范圍.

    解我們可以用變換主元的方法,將m視為主元,即將不等式化為m(x2-2)-(3x-2)<0,

    評(píng)注本題看上去是一個(gè)不等式問(wèn)題,但是經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化,就把它轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的一次函數(shù),再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出解集.

    2.判別式法

    例2 若不等式-x2-2(m+1)x-3≤0對(duì)于全部實(shí)數(shù)x恒成立,求m的范圍.

    評(píng)注運(yùn)用判別式法解決含參不等式恒成立問(wèn)題,定義域必須是R.求解這類問(wèn)題時(shí),要利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式,其中二次項(xiàng)系數(shù)分兩種情況,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)時(shí),則可以直接求解;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí),應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

    3.最值法

    例3 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x+2,如果xf′(x)≤2x2-ax-1在x>0時(shí)恒成立,求a的范圍.

    評(píng)注在利用函數(shù)最值求解此類恒成立問(wèn)題時(shí),要注意區(qū)間D是開區(qū)間還是閉區(qū)間,如果是開區(qū)間,則函數(shù)可能無(wú)法取到最值,此時(shí)就只能取函數(shù)在此區(qū)間上值域的“臨界值”,但在某些問(wèn)題中,原不等式不能直接求出最值,需要借助導(dǎo)數(shù).

    4.分離變量法

    參數(shù)分離法主要是把恒成立不等式F(x,m)≥0(或≤0)(x∈D,m為實(shí)參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來(lái),另一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題.

    解對(duì)任意x∈(-,-1],f(x)=<0恒成立轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(-,-1]上,3x2-6x-m>0恒成立.即m<3x2-6x恒成立.

    評(píng)注利用分離變量法解含參不等式恒成立問(wèn)題,前提是參數(shù)比較容易從式子中分離出來(lái).

    5.數(shù)形結(jié)合法

    (1)若f(x)>g(x),則函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方;

    (2)若f(x)

    例5 當(dāng)?x∈(2,3)時(shí),不等式(x-2)2

    解設(shè)f(x)=(x-2)2,g(x)=logax,則所求不等式等價(jià)于在區(qū)間(2,3)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方.當(dāng)00,所以函數(shù)f(x)的圖象不可能恒在函數(shù)g(x)的圖象的下方,不合題意;當(dāng)a>1時(shí),由函數(shù)圖象可知,在區(qū)間(2,3)上,要使不等式f(x)

    評(píng)注對(duì)于不等式中的參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的,就可試著運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,從圖象中可以直觀看出函數(shù)的增減性以及所求結(jié)果的對(duì)應(yīng)區(qū)間.

    6.集合轉(zhuǎn)化方法

    一般轉(zhuǎn)化原理是若f(x,m)>g(x,m)的解集是M,則?x∈D,使得f(x,m)>g(x,m)?D?M.

    例6 已知不等式a-3x>x-1,對(duì)?x∈[1,2]恒成立,求a的范圍.

    評(píng)注某些含參不等式比較容易求出解集,可以運(yùn)用逆向思維,即利用集合間相互包含的關(guān)系,推算出端點(diǎn)值的范圍.

    7.根的分布法

    當(dāng)含參不等式恒成立問(wèn)題只是對(duì)部分區(qū)間成立時(shí),需要研究它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與其方程的根;通過(guò)函數(shù)值的符號(hào)和根的分布位置,建立一個(gè)符合條件的不等式組.

    例7 設(shè)f(x)=x2+2mx+6-m,若x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求m的范圍.

    評(píng)注利用根的分布法求參數(shù)的取值范圍,要注意判別所對(duì)應(yīng)函數(shù)的形式.

    三、對(duì)含參不等式恒成立問(wèn)題解法的思考

    本文通過(guò)典型例題的講解,歸納總結(jié)出七種解題方法.但在這些方法中,它們的共同點(diǎn)就是構(gòu)造新的函數(shù),一般都是之前掌握的基本初等函數(shù),再利用所構(gòu)造函數(shù)的圖象或性質(zhì)來(lái)解題.因?yàn)榉匠?、函?shù)、不等式是三位一體的東西,從三者之間的聯(lián)系可以看出,方程或不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題有點(diǎn)困難,反過(guò)來(lái),函數(shù)問(wèn)題變?yōu)榉匠袒虿坏仁絾?wèn)題較為容易.因?yàn)樗鶚?gòu)造的函數(shù)并不唯一,而函數(shù)形式的選擇又會(huì)直接影響到解題方法的難易程度,因此將方程或不等式問(wèn)題正確地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,就需要認(rèn)真把握方程或不等式的結(jié)構(gòu),選擇合適的函數(shù)形式才是處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

    [1]范運(yùn)靈.不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解策略[J]理科考試研究:高中版,2012(9):14-15.

    [2]吳丹丹.高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的探究[J]中學(xué)教學(xué)參考,2014(17):35-37.

    G632

    A

    1008-0333(2017)22-0006-02

    趙春琴(1992.6-),女,漢族,山西朔州人,研究生在讀,助教,從事科學(xué)技術(shù)史.

    責(zé)任編輯:楊惠民]

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