數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：賦予兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然生長的力量

殷麗萍

摘 要：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要捕捉數(shù)學(xué)教材中的“實(shí)驗(yàn)基因”，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)空，教學(xué)中教師要讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從封閉走向開放，從感性走向理性，從抽象走向直觀，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程成為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；學(xué)習(xí)方式；實(shí)驗(yàn)思考；素養(yǎng)生長

瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)說，“數(shù)學(xué)不僅需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)”。瑞士心理學(xué)家皮亞杰也認(rèn)為，“兒童的智慧源于操作”。在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛉趦和牟僮?、思維、想象于一體，是一種重要的學(xué)習(xí)方式。所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生借助一定的物質(zhì)儀器、技術(shù)手段或者思維推理活動(dòng)等，在數(shù)學(xué)理論或思想指引下，主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”“再發(fā)現(xiàn)”，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

一、尋繹：捕捉教材文本中的實(shí)驗(yàn)基因

現(xiàn)行蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多實(shí)驗(yàn)性素材，這些素材遍及“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”各個(gè)領(lǐng)域。依據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模P者將這四大內(nèi)容板塊中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為探究型實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和理解型實(shí)驗(yàn)等；依據(jù)實(shí)驗(yàn)方式，可以分為制作型實(shí)驗(yàn)、操作型實(shí)驗(yàn)和思維推理型實(shí)驗(yàn)等；依據(jù)實(shí)驗(yàn)形式，可以分為對比實(shí)驗(yàn)、模擬實(shí)驗(yàn)、切片實(shí)驗(yàn)和模型實(shí)驗(yàn)等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅有利于學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的生長過程，也有助于學(xué)生建立科學(xué)的探究觀念。作為數(shù)學(xué)教師，我們要善于調(diào)控?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的火候，安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的契機(jī)，發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的積極作用。

首先，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“數(shù)學(xué)的”實(shí)驗(yàn)。換言之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于其他學(xué)科的實(shí)驗(yàn)，更不同于純粹機(jī)械的動(dòng)手操作，而是做思共生、手腦協(xié)同的具身性認(rèn)知活動(dòng)。從教學(xué)內(nèi)涵來看，動(dòng)手操作主要是讓學(xué)生獲得感性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得操作性動(dòng)作表征，為學(xué)生形成表象奠定基礎(chǔ)。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則側(cè)重于“學(xué)”，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中主動(dòng)猜想、探究、驗(yàn)證，從而得出結(jié)論。此外，整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程應(yīng)該洋溢著濃濃的“數(shù)學(xué)味”。

其次，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的“實(shí)驗(yàn)”。換言之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于其他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，如紙筆數(shù)學(xué)、社會(huì)綜合實(shí)踐活動(dòng)等。從某種意義上講，紙筆數(shù)學(xué)是一種演繹型數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則更多的是一種歸納型數(shù)學(xué)。紙筆數(shù)學(xué)主要依賴于推理，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更多依賴于直覺、操作、想象。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，也能幫助學(xué)生積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)積蓄動(dòng)力。

二、深耕：展現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程的科學(xué)氣質(zhì)

和物理、化學(xué)、生物學(xué)科的實(shí)驗(yàn)一樣，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是一門科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程同樣必須展現(xiàn)其科學(xué)氣質(zhì)。有些學(xué)校已經(jīng)成立了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、數(shù)學(xué)創(chuàng)想空間站、數(shù)學(xué)創(chuàng)客坊等。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生從自我經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過自己動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的方式獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知。

1.操作探究型實(shí)驗(yàn)：從封閉走向開放

所謂“探究性實(shí)驗(yàn)”，就是學(xué)生事先不知道數(shù)學(xué)結(jié)論，通過實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。探究型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有一定目的性、指向性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些概念、公式等的學(xué)習(xí)可以借助探究型實(shí)驗(yàn)。在探究型實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生經(jīng)歷探究過程，能夠體驗(yàn)到探究型實(shí)驗(yàn)的樂趣。

例如教學(xué)《圓錐的體積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第12冊），傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是由教師做一下“演示實(shí)驗(yàn)”，實(shí)驗(yàn)材料由教師提供，實(shí)驗(yàn)操作由教師執(zhí)行，學(xué)生只是被動(dòng)地看、被動(dòng)地接受。這樣的實(shí)驗(yàn)教學(xué)究其本質(zhì)而言還是一種灌輸式教學(xué)。探究型實(shí)驗(yàn)將實(shí)驗(yàn)的主動(dòng)權(quán)下放，在學(xué)生實(shí)驗(yàn)受阻或者實(shí)驗(yàn)方向發(fā)生偏離時(shí)教師給予必要支持。筆者在引導(dǎo)學(xué)生展開探究型實(shí)驗(yàn)過程中，從學(xué)生立體圖形體積推導(dǎo)過程的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，幫助學(xué)生形成科學(xué)化的實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

師（出示一個(gè)圓錐形的橡皮泥）：這是一個(gè)怎樣的形體？

生：圓錐。

師：怎樣測量這個(gè)圓錐形橡皮泥的體積呢？

生1：我覺得可以將橡皮泥捏成長方體或正方體或者圓柱體，在捏的過程中體積不會(huì)發(fā)生變化。

生2：可以將這個(gè)圓錐形的橡皮泥放入圓柱體或者長方體的水槽中，水上升的體積就是圓錐形橡皮泥的體積。

生3（補(bǔ)充）：不過，我覺得橡皮泥好像有點(diǎn)吸水呢，應(yīng)該將這樣的小橡皮泥放入做科學(xué)實(shí)驗(yàn)的量筒中，快速讀出體積，并計(jì)算上升的水的體積。

師：不管是將圓錐形橡皮泥捏成其他形體，還是將橡皮泥放入水中，其實(shí)都是運(yùn)用了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

生：轉(zhuǎn)化。

師：既然可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略，那我們將圓錐體轉(zhuǎn)化成什么形體好呢？為什么？

生4：我覺得轉(zhuǎn)化成圓柱體好些，因?yàn)閳A柱和圓錐的底面都是圓形。

師：有道理。

師（出示空心圓柱體和圓錐體容器）：怎樣轉(zhuǎn)化呢？

生5：將圓柱灌滿水，倒入圓錐，看幾次倒空；或者將圓錐裝滿水導(dǎo)入圓柱，看幾次倒?jié)M。

……

在深入交流、討論的基礎(chǔ)上，學(xué)生展開分組性對比實(shí)驗(yàn)。有的測量等底等高的圓柱和圓錐，有的測量等底不等高的圓柱和圓錐，有的測量等高不等底的圓錐和圓柱，還有的測量不等底不等高的圓柱和圓錐。有學(xué)生用沙子做實(shí)驗(yàn)，有學(xué)生用黃豆做實(shí)驗(yàn)，還有學(xué)生用水做實(shí)驗(yàn)。有學(xué)生從圓柱倒入圓錐，有學(xué)生從圓錐倒入圓柱……開放性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)充分開掘了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)潛能，讓教學(xué)煥發(fā)出生命的熠彩。

2. 思維驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)：從感性走向理性

所謂“驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生已經(jīng)全部或部分知道數(shù)學(xué)結(jié)論，通過數(shù)學(xué)觀察、操作、記錄、分析獲得數(shù)據(jù)，進(jìn)而對數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行“證明”或者“證偽”的過程。驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)往往針對數(shù)學(xué)“超驗(yàn)性知識(shí)”。對于超驗(yàn)性數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的某些環(huán)節(jié)是教師無法證或反證的。因此，驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)往往和學(xué)生的思維、推理等交織在一起，是相伴相生的。

例如教學(xué)《三角形的三邊關(guān)系》（蘇教版小數(shù)教材第8冊），在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生往往要分三部分展開驗(yàn)證，一是三角形兩邊之和大于第三條邊；二是三角形兩邊之和等于第三條邊；三是三角形兩邊之和小于第三條邊。實(shí)驗(yàn)過程中，由于小棒的寬度和厚度，學(xué)生往往對三角形兩邊之和等于第三邊的情況產(chǎn)生一些迷思。為破解學(xué)生的認(rèn)知障礙，提升學(xué)生的認(rèn)知水平，教師組織學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上展開理性思辨。

師：有同學(xué)在操作小棒時(shí)發(fā)現(xiàn)，三角形的兩邊之和等于第三條邊時(shí)也能圍成三角形。想一想，這是為什么呢？

生1（不同意者）：因?yàn)樾“粲泻穸龋绻“艉芗?xì)很細(xì)的話，就不能圍成三角形了。

生2：我想我們可以在紙上畫一些三角形，因?yàn)橛霉P畫的線總是很細(xì)很細(xì)的。

學(xué)生用筆畫出了一些鈍角三角形，然后用尺量。但是隨即又帶來了另一個(gè)問題，一些學(xué)生測量時(shí)產(chǎn)生了誤差。如何驗(yàn)證呢？

生3：老師，我們在上一單元學(xué)習(xí)“平行和垂直”時(shí)，曾經(jīng)證明了“兩點(diǎn)之間，直線最短”。

生4：在三角形中，任意兩點(diǎn)之間的距離都小于另外兩條邊的和。

……

由于“三角形的三邊關(guān)系”不屬于經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)，因此很難通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來證明。但豐富的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)如“擺——量——畫”等為學(xué)生積累了感性經(jīng)驗(yàn)，豐富了表象，形成了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。而借助數(shù)學(xué)的思維推理實(shí)驗(yàn)，則讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)從感性走向理性。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的支撐，又有足夠的推理、思維、想象、抽象、概括等作基礎(chǔ)。兒童的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有坡度、有深度。

3. 制作創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)：從抽象走向直觀

制作創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的高端創(chuàng)造，是一種基于師生對數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)理解基礎(chǔ)上的制造。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，教師要站在“制高點(diǎn)”上審視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，洞悉數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性。因此，制作創(chuàng)造型實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)著師生的獨(dú)特匠心。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師可以提供有趣味、有意義的實(shí)驗(yàn)材料，讓學(xué)生自主創(chuàng)造，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)創(chuàng)造成為學(xué)生本質(zhì)力量的確證與表征。

例如教學(xué)蘇教版小數(shù)四上《角的度量》，盡管學(xué)生經(jīng)歷了“量角器的誕生”的創(chuàng)造歷程，但仍有部分學(xué)生在量角時(shí)存在著操作性障礙，其主要表現(xiàn)為學(xué)生在讀角的度數(shù)時(shí)容易混淆量角器的內(nèi)圈刻度和外圈刻度。那么，有沒有辦法對現(xiàn)行量角器進(jìn)行創(chuàng)新性改進(jìn)呢？圍繞著學(xué)生量角的難點(diǎn)，師生對現(xiàn)有量角器展開了深度研究和改進(jìn)。

生1：老師，我覺得可以將量角器的兩個(gè)零刻度線涂上不同的顏色。這樣他們量角時(shí)就能一下子找到零刻度線。

這位學(xué)生靈感的誕生引發(fā)了學(xué)生交流的興趣，揭開了師生制作、創(chuàng)造量角器的序幕。

生2：如果我們將兩個(gè)零刻度線涂上不同的顏色的話，我想，相應(yīng)的內(nèi)外圈的刻度也必須涂上相應(yīng)的顏色。

學(xué)生點(diǎn)頭，并且操作。

生3：我覺得這樣的話，還有可能讀錯(cuò)。我們可以像鐘面那樣，用兩根長短不同的指針，一根指針長一些，位于外圈刻度上，另一根指針短一些，位于內(nèi)圈刻度上。

生4：對，我們還需要讓指針也涂上相應(yīng)的顏色。這樣我們讀刻度時(shí)，從左邊零刻度線開始讀數(shù)的同學(xué)在外圈指針的旋轉(zhuǎn)下，到達(dá)角的另一條邊，進(jìn)而讀出角的度數(shù)；從右邊零刻度線開始讀數(shù)的同學(xué)在內(nèi)圈指針的旋轉(zhuǎn)下，到達(dá)角的另一條邊，進(jìn)而讀出角的度數(shù)。

……

在學(xué)生討論、交流的基礎(chǔ)之上，他們用硬紙板做成了一個(gè)自主研發(fā)創(chuàng)造的量角器。這樣，只要從零刻度線處撥動(dòng)指針，就會(huì)讀出相應(yīng)的角的度數(shù)。這樣，學(xué)生再也不會(huì)混淆量角器的內(nèi)外圈的刻度了。不僅如此，從商店購買的量角器由于沒有指針，在遇到角的兩條邊比較短時(shí)，還需要延長角的兩條邊。而在自主制作的量角器中，由于有指針，所以無論角的兩條邊是長還是短，都能一下子讀出角的度數(shù)。在制造量角器的過程中，學(xué)生仿佛成了數(shù)學(xué)小創(chuàng)客。

著名數(shù)學(xué)家馮·諾依曼曾經(jīng)這樣說，“大多數(shù)最好的數(shù)學(xué)靈感來源于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)后，要引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供“外援幫助”，而反過來，數(shù)學(xué)理解也為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了“內(nèi)源支撐”。只有當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)理解相互交融，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。