受迫振動的隨機響應(yīng)在重力壩抗震中的應(yīng)用

余華

（宜都市水利水電勘測設(shè)計院，湖北宜都443300）

受迫振動的隨機響應(yīng)在重力壩抗震中的應(yīng)用

余華

（宜都市水利水電勘測設(shè)計院，湖北宜都443300）

文中為解決地震過程中重力壩的安全性問題，將隨機微分方程理論引入到線性單自由度系統(tǒng)受迫振動的隨機響應(yīng)計算當中，提取質(zhì)體初始位移和外界激勵為隨機變量，建立了基于受迫振動微分方程的隨機微分方程模型，證明了其解過程為馬爾可夫過程，并根據(jù)Fokker-Planck方程求解過程一階聯(lián)合概率密度。最后用實例驗證了其方法在重力壩抗震中的有效性及可行性。

線性；單自由度；受迫振動；隨機響應(yīng)；重力壩抗震

0 引言

如何提高大壩工程結(jié)構(gòu)抗震能力，在國內(nèi)外一直被作為研究重點。任意結(jié)構(gòu)體在外力作用下會產(chǎn)生不同程度的響應(yīng)，結(jié)構(gòu)體對地震沖擊荷載的響應(yīng)可以看作吸收外界能量的過程，這種“消化”能力決定了結(jié)構(gòu)體對抗地震的能力。結(jié)構(gòu)體吸收的能量分別在宏觀運動和微觀結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生作用，而在微觀結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生變化的一種表現(xiàn)就是應(yīng)力—應(yīng)變效應(yīng)，甚至更嚴重會產(chǎn)生塑性變形。地震沖擊荷載對結(jié)構(gòu)體的影響是結(jié)構(gòu)體在荷載作用下表現(xiàn)出來的綜合彈塑性特征，將結(jié)構(gòu)體看作一個具有某種阻尼特征和彈性特征的彈塑性系統(tǒng)，來宏觀研究結(jié)構(gòu)體對沖擊荷載的響應(yīng)就顯得非常重要。

單自由度彈簧—質(zhì)體體系的解可以很容易地沿用到分析彈塑性體系特征問題中[1，2]，幫助了解結(jié)構(gòu)體的彈塑性特征。一般微分方程解法不考慮隨機因素，而實際情況相較之下更為復(fù)雜，隨機變化更多。因此，本文在概率論和隨機微分方程的基礎(chǔ)上，對單自由度彈簧體系，即線性單自由度系統(tǒng)，綜合各種隨機變量、隨機過程以及隨機初始條件進行最終隨機響應(yīng)的數(shù)學描述和分析，并用小例子驗證了其方法在重力壩抗震中的可行性。為將來進一步研究結(jié)構(gòu)體的彈塑性特征，提高大壩

工程結(jié)構(gòu)抗震能力打下基礎(chǔ)。

1 隨機微分方程的建立

根據(jù)牛頓定律，對彈簧—質(zhì)體體系進行受力分析，有阻尼線性單自由度受迫振動微分方程式如下所示：

上述式中，m為質(zhì)體質(zhì)量；c為粘性阻尼系數(shù)；k為彈簧的剛度系數(shù)；Y(t)為系統(tǒng)任意時刻受到的外部激勵。上述各變量以及函數(shù)在微分方程解法中均代表確定性變量，對現(xiàn)實中的復(fù)雜隨機情況不能完全考察，最終求得的解只能是確定性情況下的質(zhì)體位移函數(shù)X(t)。

為了能夠更全面地考察包含各種不確定因素的系統(tǒng)響應(yīng)特性，現(xiàn)對系統(tǒng)中含有的隨機特性進行分析后，發(fā)現(xiàn)對系統(tǒng)有影響的隨機過程為：

1）激勵函數(shù)：系統(tǒng)所受到的外界激勵是隨機的，如：強迫振動、隨機振動、自激振動和參數(shù)振動等等，這種所受激勵的不確定會引起系統(tǒng)響應(yīng)的不確定性。

2）質(zhì)體初始位移：質(zhì)體初始位置存在不確定性，并且對系統(tǒng)的隨機響應(yīng)有較大影響。

在對地震的研究中，白噪聲模型、金井清模型和馬爾可夫過濾有色噪聲模型是地震動分析的常用模型[3]，最早用來模擬地震地面運動的隨機過程模型為理想白噪聲模型[4—6]，可見研究白噪聲模型對地震研究有重要意義，因此本文著重研究白噪聲激勵下的結(jié)構(gòu)體。

在結(jié)構(gòu)隨機振動中，一般來說線性體系在白噪聲或過濾白噪聲干擾下的運動方程通過變量代換能夠化成隨機微分方程，如下所示：

2 隨機響應(yīng)的概率分布

將上述得出的方程寫成積分方程的形式，如下所示：

式中，第一個積分是均方積分，第二個積分是伊藤積分。

當

由積分方程的逐次逼近法，方程的解∞∞??

式中，a=|A|。其中，p（X,t）初始條件和邊界條件分別為：

3 實例驗證

依托某重力壩開展實例驗證，當發(fā)生地震時，其水庫水位為91.75 m。在壩基面施加地震加速時程，使大壩直接震動，采用逐步積分法對大壩反應(yīng)求解，選用混凝土損傷塑性材料模型，考慮水平和豎向地震作用，水平向地震峰值加速度為0.474g，豎直向地震峰值加速度為0.312g，阻尼比為5%，重力壩第一階振型圓頻率18.865 rad/s。瑞麗阻尼系數(shù)β=2ξ1/ω1=0.005 929 ，分析結(jié)構(gòu)的破壞情況。基于上述方法，根據(jù)典型的有限元計算分析過程步驟（定義參數(shù)，創(chuàng)建幾何模型，劃分網(wǎng)格，加載數(shù)據(jù)，求解，結(jié)果分析）進行了實例驗證。計算結(jié)果見圖1～圖4。

根據(jù)計算可知，壩基面的絕對位移就是地震輸入，壩頂絕對位移相對壩基面絕對位移有上下波動，波動即壩頂?shù)南鄬ξ灰?，壩頂絕對位移減去壩基面絕對位移就可以得到壩頂?shù)南鄬ξ灰茣r程曲線。在地震作用下，大壩的損傷演化過程變化規(guī)律。大壩最先從壩踵和下游面折坡處發(fā)生損傷并向上游擴展，同時壩上游面也出現(xiàn)了損傷，上下游損傷區(qū)逐漸向壩體內(nèi)部擴展，最終在壩體內(nèi)部交匯形成貫穿性裂縫。

圖1 壩頂相對位移時程曲線比較

圖2 均值隨時間變化曲線

圖3 標準差隨時間變化曲線

圖4 第4 s，8 s和10 s的概率密度曲線

由圖2和圖3可知，均值、標準差隨時間變化曲線的波動情況均滿足精度要求；圖4中根據(jù)隨機選取的第4 s、第8 s和第10 s3個時刻計算結(jié)果繪制了其演化過程的概率密度曲線?；诰€性單自由度系統(tǒng)受迫振動隨機響應(yīng)理論方法，通過概率密度演化模擬地震動過程，展示了重力壩的隨機地震反應(yīng)，實現(xiàn)了重力壩抗震可靠度的精細化分析。

4 結(jié)語

基于概率論和隨機微分方程，對線性單自由度系統(tǒng)受迫振動的微分方程進行變量代換，建立了其隨機微分方程模型，在模型中將質(zhì)體初始位移、外界的激勵函數(shù)列為隨機過程。在證明解過程為根據(jù)馬爾可夫過程后，根據(jù)其性質(zhì)得到解過程一階聯(lián)合概率密度所滿足的Fokker-Planck方程。通過綜合各種隨機變量、隨機過程以及隨機初始條件進行最終隨機響應(yīng)的數(shù)學描述和分析，最后用實例進行了計算。得出如下結(jié)論：

1）實例驗證了線性單自由度系統(tǒng)受迫振動隨機響應(yīng)在重力壩抗震中的可行性以及合理性，并結(jié)合概率密度演化方法進行了重力壩可靠度計算。

2）在進一步的研究當中，需要論證隨機微分方程得到概率分布的科學性，并且和原微分方程通過傳統(tǒng)解法得到的概率分布進行實例比較，還可開展對非線性多自由度系統(tǒng)等復(fù)雜因素在抗震中可行性的應(yīng)用研究。

［1］崔揚，周豐峻，張偉.用Laplace法求單自由度線性系統(tǒng)動載下的響應(yīng)［J］.山西建筑，2006（14）：4—5.

［2］李霞，張東興，王維新，崔濤，湯明軍.受迫振動深松機性能參數(shù)優(yōu)化與試驗［J］.農(nóng)業(yè)工程學報，2015（21）：17—24.

［3］李鴻晶，孫廣俊.結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機地震反應(yīng)時域分析:方法［J］.震工程與工程振動，2005（04）：31—36.

［4］賴明，葉天義，李英民.地震動的雙重過濾白噪聲模型［J］.土木工程學報，1995（06）：60—66.

［5］姜樹海.隨機微分方程在泄洪風險分析中的運用［J］.水利學報，1994（03）：1—9.

［6］張炳根，趙玉芝.科學與工程中的隨機微分方程［M］.北京：海洋出版社，1980.

TV642.3；TV697.2+4

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1002—0624（2017）10—0063—03

2017-04-26