數(shù)學(xué)在物理實(shí)驗(yàn)中的作用探析

王燕睿

摘要 數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而物理學(xué)的研究對(duì)象則是最為普遍的運(yùn)動(dòng)形式與基本結(jié)構(gòu)的科學(xué)。這兩者的研究對(duì)象存在極大差異，但研究目的卻出奇的一致，即探索、發(fā)現(xiàn)自然界中的規(guī)律，進(jìn)而認(rèn)識(shí)我們所處的世界。自然界的一切事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體，若要認(rèn)識(shí)世界，則必須對(duì)質(zhì)與量進(jìn)行深入研究。眾所周知，量變到質(zhì)變是物體發(fā)展的基本規(guī)律，那么，只有當(dāng)物理學(xué)發(fā)展由最初的定性到最后的定量，才勉強(qiáng)能夠稱得上掌握了物體的本質(zhì)，這也是物理學(xué)成熟的直觀體現(xiàn)，而這一系列過程與數(shù)學(xué)分析密不可分。對(duì)此，本文對(duì)數(shù)學(xué)在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用進(jìn)行了深入探索。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)；物理學(xué)；物理實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào) 01 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2095—6363（2016）17—0012—01

數(shù)學(xué)在物理中占據(jù)著至關(guān)重要的作用，可以說，物理是一門以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的學(xué)科，沒有數(shù)學(xué)，物理便會(huì)寸步難行。物理知識(shí)與數(shù)學(xué)之間的結(jié)合極為緊密，其發(fā)展建立在數(shù)學(xué)方法、理論、思想之上，并且進(jìn)行了大幅度的應(yīng)用。就目前而言，幾乎所有物理實(shí)驗(yàn)都無法離開數(shù)學(xué)的幫助，如誤差估計(jì)、近似替代、數(shù)據(jù)處理等等。截止當(dāng)前，幾乎每所高校在教授物理相關(guān)知識(shí)之前便已經(jīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行了大量的高等數(shù)學(xué)教育。但遺憾的是，出于種種原因，學(xué)生對(duì)于高等數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握并不多，甚至有很多僅僅停留于表面，當(dāng)要真正使用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)卻不知所措，最終導(dǎo)致物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)情況相差甚遠(yuǎn)，諸如分析計(jì)算步驟錯(cuò)誤、數(shù)據(jù)處理不合理、最終結(jié)果錯(cuò)誤等等現(xiàn)象頻發(fā)。對(duì)此，筆者在查閱了大量文獻(xiàn)與學(xué)習(xí)了相關(guān)知識(shí)后，提出了以下幾點(diǎn)數(shù)學(xué)在物理實(shí)驗(yàn)中的具體應(yīng)用，以期能夠給自己與其他學(xué)習(xí)者提供些許幫助。

1使用最佳最小二乘解處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在物理實(shí)驗(yàn)中，諸如金屬絲的線膨脹系數(shù)、電位差計(jì)測(cè)電動(dòng)勢(shì)等內(nèi)容的策略均需要使用數(shù)學(xué)才能獲得最終的數(shù)據(jù)結(jié)果，如通過n個(gè)數(shù)組來尋找自變量x與y之間最能反映出給定數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系，這便是曲線擬合問題。對(duì)諸如此類問題的解決，傳統(tǒng)的方法有目測(cè)、圖解等，但在某些特殊情況下，通過傳統(tǒng)方法得出的結(jié)論會(huì)存在一定誤差，導(dǎo)致最終結(jié)果并不是最佳近似值，嚴(yán)重者甚至直接得到錯(cuò)誤答案。在此情形下，最佳最小二乘法便有了用武之地，通過該方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，只要處理過程不出現(xiàn)問題，那么無論由何人進(jìn)行處理，最終得到的結(jié)果必定是正確的。

通過最小二乘法，我們很簡(jiǎn)單地便解決了物理實(shí)驗(yàn)中遇到的曲線擬合問題。相比于傳統(tǒng)的最小二乘法相比，最佳最小二乘法，能夠更簡(jiǎn)便地得出最終結(jié)論。實(shí)際上，學(xué)術(shù)界進(jìn)行研究后表明，最佳最小二乘法與最小二乘法的價(jià)值是相同的。高等數(shù)學(xué)對(duì)最小二乘法的定義為：設(shè)，若存在，使得對(duì)，都有≤，則稱是u矛盾方程組（即無解）Ax=b的一個(gè)最小二乘解。注意這里的表示通常的歐幾里得范數(shù)。又設(shè)，則稱（最佳逼近解）。

事實(shí)上，我們知道是唯一的并且，其中A+是系數(shù)矩陣A的加號(hào)廣義逆。而且還可以得到誤差估計(jì)為。

例如，我們測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：（1，3），（2，5），（3，6），（4，7），從數(shù)據(jù)點(diǎn)的走向上看這些點(diǎn)非常接近一條直線，希望使用直線y=m+kx來擬合上述數(shù)據(jù)點(diǎn)。將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入y=m+kx可得矛盾方程組Ax=b。即

所以最佳擬合直線方程為y=2+1.3x。

當(dāng)然，通過這種方法還可以對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成其他曲線的方程，比如二次函數(shù)拋物線方程、橢圓方程等。

2等價(jià)無窮小的應(yīng)用分析

眾所周知，高等數(shù)學(xué)中的等價(jià)無窮的概念經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在大學(xué)物理的實(shí)驗(yàn)中。那何為等價(jià)無窮小呢？假設(shè)x無限趨向X₀時(shí)，limβ/α=1時(shí)，則β與α是等價(jià)無窮小的關(guān)系。再比如，在物理?xiàng)钍夏Ａ繙y(cè)定的試驗(yàn)中，當(dāng)平面鏡所轉(zhuǎn)角度a無限小時(shí)，則此時(shí)可以將a的值等同于tan a，這樣就不再為計(jì)算tan a值的苦惱了，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)中數(shù)學(xué)的計(jì)算過程。因此，基于數(shù)學(xué)的等價(jià)無窮小原理，我們?cè)谖锢韺?shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)一個(gè)數(shù)值在無限小時(shí)，其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)、正切函數(shù)、二次函數(shù)以及其他函數(shù)值可以用相應(yīng)的比較簡(jiǎn)化的一個(gè)數(shù)值來替代。這樣不但簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，其誤差也在可控范圍。

3數(shù)學(xué)分析軟件的應(yīng)用分析

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，與數(shù)字打交道是不可避免的。這些數(shù)字的有效分析和處理都需要相應(yīng)的分析軟件，這些軟件有矩陣工廠、Mathematica以及Maple等。這三種軟件是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)分析軟件，具備語言編程、數(shù)值分析以及符號(hào)計(jì)算等能力。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，學(xué)科之間交叉成為重要的發(fā)展趨勢(shì)。當(dāng)然，這些軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用也不意外。比如，我們可以通過Mathematica數(shù)學(xué)分析軟件對(duì)密立根油滴實(shí)驗(yàn)中的各個(gè)參數(shù)和變量進(jìn)行分析與計(jì)算，從而得出相應(yīng)的數(shù)據(jù)和圖譜，包括下降時(shí)間與油滴總量的公式以及曲線，并提供了相應(yīng)的誤差數(shù)據(jù)。通過這個(gè)軟件，我們就可以很直觀地發(fā)現(xiàn)油滴勻速下降的時(shí)間與電量、誤差均成反比。也就是說，當(dāng)油滴下降的時(shí)間越短，其帶電量反而越大，相應(yīng)的電量誤差值就越高；與此同時(shí)，我們還可以通過這個(gè)軟件發(fā)現(xiàn)，當(dāng)油滴的下降時(shí)間在無限趨近某一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)的電荷誤差反而比較小。

數(shù)學(xué)分析軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的深入應(yīng)用，得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展。通過這些精密的數(shù)學(xué)分析軟件的計(jì)算，學(xué)生可以直觀地看到數(shù)據(jù)分析結(jié)果。相應(yīng)地，學(xué)生對(duì)物理實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性將大大提升。

4結(jié)論

綜上所述，數(shù)學(xué)知識(shí)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有著不可替代的作用。其對(duì)于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的講解透徹性有著重要的促進(jìn)意義，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性有著良好的推動(dòng)作用。本文中只是簡(jiǎn)單的介紹了微分、最小二乘解以及等價(jià)無窮小等數(shù)學(xué)知識(shí)的原理，并對(duì)這些知識(shí)在物理學(xué)中的具體實(shí)例應(yīng)用作了一個(gè)簡(jiǎn)要的探討。然而，這些分析僅僅是“冰山一角”。數(shù)學(xué)知識(shí)在大學(xué)物理試驗(yàn)中的應(yīng)用要遠(yuǎn)比此文敘說的要更廣泛，本文意在拋磚引玉，通過本文的分析與探討，以期引起廣大教育者和學(xué)習(xí)者的重視，推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的進(jìn)一步應(yīng)用。endprint