收獲放手后的精彩
——《探究多邊形內(nèi)角和》教學(xué)實(shí)錄、評(píng)析及反思

安徽省宣城市教育體育局教研室 李 群 (郵編:242000)

收獲放手后的精彩
——《探究多邊形內(nèi)角和》教學(xué)實(shí)錄、評(píng)析及反思

安徽省宣城市教育體育局教研室 李 群 (郵編:242000)

在一次赴某縣開展的初中數(shù)學(xué)示范課巡回教學(xué)展示活動(dòng)中,授課教師準(zhǔn)備了一堂課(滬科版八年級(jí)下冊(cè)第19章第一節(jié)《多邊形的內(nèi)角和》)．由于學(xué)生剛進(jìn)入八年級(jí),在知識(shí)儲(chǔ)備上還很欠缺,學(xué)生無(wú)論是邏輯思維還是幾何語(yǔ)言的表達(dá)上,都存在著相當(dāng)大的困難．授課教師原先準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容和方法已不能適合當(dāng)前的學(xué)情需要．面對(duì)這種情況,我們?cè)谡n前準(zhǔn)備中,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新調(diào)整,對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行重新設(shè)計(jì),力求在這堂課上讓整個(gè)探究學(xué)習(xí)的過(guò)程充滿師生之間,生生之間的交流和互動(dòng),充分體現(xiàn)教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者,學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體．本節(jié)課實(shí)踐表明,雖然知識(shí)的跨度很大,學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不夠,偶爾思維受阻,但教學(xué)效果卻很好,受到觀課教師的一致好評(píng),其中讓我感受最深的就是教師敢于放手,把課堂交給學(xué)生,學(xué)生收獲的比預(yù)期想象的多．現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程和反思整理如下,與同行交流．

1 再現(xiàn)課堂

1．1 創(chuàng)設(shè)情境

師:(大屏幕展示學(xué)生家鄉(xiāng)的建筑)這些身邊的古建筑圖形都是由最基本的幾何圖形組成,我們一起懷揣著保護(hù)家鄉(xiāng)古建筑的使命感來(lái)學(xué)習(xí)多邊形的知識(shí)．

學(xué)生觀看,欣賞家鄉(xiāng)古建筑美景．

教師從學(xué)生熟知的圖片中抽象出三角形、四邊形、五邊形等多邊形,并提出問(wèn)題．

師:先來(lái)看看多邊形的內(nèi)角和．(板書課題)讓我們一起走進(jìn)它的世界,去感受它的魅力．

評(píng)析通過(guò)學(xué)生熟知的古建筑,引出話題,激發(fā)學(xué)生的興趣,及時(shí)進(jìn)行情感教育,讓學(xué)生感知生活中處處有數(shù)學(xué),從而激發(fā)他們的求知欲．

1．2 探索新知

師:你知道黑板上這個(gè)五邊形內(nèi)角和是多少度嗎?

學(xué)生面面相覷,相互討論．

師:那我們今天就從最簡(jiǎn)單的多邊形入手．你知道三角形內(nèi)角和多少度嗎?

生:(異口同聲)180°．

師:你能回想起怎么得出的?

生1:采用量角器度量:分別測(cè)量出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),再求和．

生2:采取拼角的方法:將三角形兩個(gè)內(nèi)角裁剪下來(lái)與第三個(gè)角拼在一起,可組成一個(gè)平角．

師:回答的很好．你們能猜測(cè)四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎?你們又是怎么得出的?

許多學(xué)生通過(guò)度量、拼角兩種方法,猜想得出四邊形的內(nèi)角和是360°．

師:有沒(méi)有不同方法求四邊形的內(nèi)角和?

生3:有．只需要連結(jié)四邊形一條對(duì)角線AC,將四邊形分割成兩個(gè)三角形,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出四邊形的內(nèi)角和為360°．

師:非常棒!

評(píng)析五邊形的內(nèi)角和是多少度?當(dāng)發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題與學(xué)生的已有認(rèn)知發(fā)生沖突時(shí),讓學(xué)生從熟悉的三角形內(nèi)角和入手,去探究四邊形內(nèi)角和．從認(rèn)知角度看,這種“類比”的教學(xué)方法容易將舊知識(shí)遷移到新知識(shí)上來(lái),從而達(dá)到溫故知新的效果,也符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律．及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將四邊形分割成三角形使學(xué)生的思維層層展開,逐漸深入,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和自主探索精神．

師:在四邊形內(nèi)角和的探索過(guò)程中,用到了幾種方法?

生4:三種方法:(1)度量;(2)拼角;(3)將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形求內(nèi)角和．

師:你認(rèn)為哪種方法好?請(qǐng)講述你的理由．

生5:我認(rèn)為第三種方法較好．因?yàn)?度量法:不精確;拼角法:操作不方便;當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí),度量法、拼角法都較繁瑣．而第三種方法:精確且有理論根據(jù)．

師:同學(xué)們與他的觀點(diǎn)一致嗎?

生:是(肯定)．

師:大家不要吝嗇自己的掌聲,把掌聲送給他．

師:顯然,當(dāng)邊數(shù)增加時(shí),仍然通過(guò)度量、拼角求內(nèi)角和的方法不可取,而將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形求內(nèi)角和是最佳選擇．

評(píng)析在四邊形內(nèi)角和的探究中,經(jīng)過(guò)三種方法的比較,通過(guò)添加輔助線,把未知的四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為已知的三角形的內(nèi)角和求解,為多邊形內(nèi)角和的探索奠定基礎(chǔ),同時(shí)向?qū)W生滲透了“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想方法．

師:除此之外,你是否還有其它的將四邊形分割成三角形的方法嗎?

生6:連結(jié)四邊形對(duì)角線BD．

生7:(反駁)這與前面的方法一致．

此時(shí)課堂一片沉寂,學(xué)生思維受阻．

師:連結(jié)四邊形對(duì)角線AC或BD,可以看成從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作的一條輔助線,(停頓)(師追問(wèn))輔助線一定要從頂點(diǎn)作嗎?(生思考)

生8:(恍然大悟)老師,在四邊形邊上任意取一點(diǎn),再與四邊形另外兩個(gè)頂點(diǎn)連接,可以把四邊形分割成三個(gè)三角形．

學(xué)生思維茅塞頓開,課堂氣氛頓時(shí)活躍起來(lái),紛紛踴躍發(fā)言．

生9:可以在四邊形內(nèi)任意取一點(diǎn),分別與四邊形四個(gè)頂點(diǎn)連接,可以把四邊形分割成四個(gè)三角形．

師:很好!還有沒(méi)有其它分割方法?

生10:還有一種,就是在四邊形外任意取一點(diǎn),再分別與四邊形四個(gè)頂點(diǎn)連接,不過(guò),這個(gè)圖形有點(diǎn)復(fù)雜．(學(xué)生笑聲)

師:(表?yè)P(yáng))還有同學(xué)有不同意見(jiàn)的嗎?

生:搖頭．

師:現(xiàn)在老師用幾何畫板畫出不同方法將四邊形分割成三角形的圖形,這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類法,它是數(shù)學(xué)思考的一種基本方法,對(duì)于提高解題能力,發(fā)展思維的縝密性,具有十分重要作用．

評(píng)析在此向?qū)W生滲透了分類的數(shù)學(xué)方法,讓學(xué)生明白為什么要進(jìn)行分類研究,又給學(xué)生明確了探究的方向．在此教學(xué)中,學(xué)生敞開思想,積極參與教學(xué)活動(dòng),教師最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,引導(dǎo)他們多角度、多方位、多層次地思考問(wèn)題,使他們有足夠的機(jī)會(huì)顯示靈性,展現(xiàn)個(gè)性．

師:按大屏幕上四種不同分割方法,你是如何求解四邊形內(nèi)角和呢?請(qǐng)各組同學(xué)分工協(xié)作,動(dòng)手實(shí)踐,相互討論、交流,尋找解答方法,并形成小組結(jié)論．

教師此時(shí)參入活動(dòng),巡視、觀察各組問(wèn)題解決情況．

師:完成好的請(qǐng)舉手示意．很好,各小組都已完成．那我們就請(qǐng)各小組代表上展示臺(tái)展示你們的結(jié)論．

評(píng)析在這里給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生的能力得到充分的發(fā)揮,然后通過(guò)討論得出結(jié)論,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．通過(guò)師生合作,讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)方法、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)研究問(wèn)題,從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和創(chuàng)造性的解決問(wèn)題的能力．

教師通過(guò)歸納總結(jié)了四種方法:

方法1如圖1,連結(jié)BD,四邊形的內(nèi)角和為:2×180°＝360°．

方法2如圖2,在BC上任取一點(diǎn)E,連結(jié)EA、ED,則四邊形的內(nèi)角和為:3×180°－180°＝360°．

方法3如圖3,在四邊形內(nèi)任取一點(diǎn)E,連結(jié)EA、EB、EC、ED,則四邊形內(nèi)角和為:4×180°－360°＝360°．

方法4如圖4,在四邊形外任取一點(diǎn)E,連結(jié)EA、EB、EC、ED,則四邊形內(nèi)角和為:3×180°－180°＝360°．

師:通過(guò)四種方法的求證,四邊形的內(nèi)角和為360°,那么,你們能夠歸納出四種方法的共同點(diǎn)嗎?

生11:四種方法的共同點(diǎn)是通過(guò)圖形分割,把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角形問(wèn)題來(lái)解決．

師:歸納地非常準(zhǔn)確．(追問(wèn))你們認(rèn)為哪種方法好?并說(shuō)明你的理由．

生12:我認(rèn)為方法1好,因?yàn)閷⑺倪呅畏指畛扇切?只需要作一條輔助線,而其他方法都是作兩條或兩條以上的輔助線．

師:還有需要補(bǔ)充的嗎?

生:搖頭

師:同學(xué)觀察的很仔細(xì),歸納總結(jié)的很全面,口頭表達(dá)能力也很棒．

師:(小結(jié))探究四邊形、五邊形、……、n邊形內(nèi)角和,從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線是最簡(jiǎn)單的方法．

評(píng)析有比較,才有選擇．通過(guò)不同方法的展示,不同方法的優(yōu)劣比較,為五邊形、六邊形、……、n邊形內(nèi)角和內(nèi)角和的探索提供最簡(jiǎn)捷的方法．

1．3 形成結(jié)論

師:請(qǐng)利用剛才最簡(jiǎn)單的方法解決五邊形、六邊形的內(nèi)角和．歸納n邊形內(nèi)角和,填寫大屏幕上表格．

學(xué)生觀看屏幕、思考后回答．教師操作、師生共同合作,完成表格的填寫．

多邊形(邊數(shù)) 圖形從一個(gè)頂點(diǎn)作出的對(duì)角線條數(shù)分割成的三角形個(gè)數(shù) 內(nèi)角和四邊形(n＝4)五邊形(n＝5)六邊形(n＝6)…… …… …… …… ……n邊形

師:從表格中你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

生:齊聲回答

教師加以完善,并歸納總結(jié)得出結(jié)論:

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出(n－3)條對(duì)角線,把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形。從而得出定理:n邊形的內(nèi)角和是(n－2)×180°,(n為不小于3的整數(shù))．

評(píng)析在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師善于引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一項(xiàng)重要內(nèi)容,這不僅使學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)形成一個(gè)完整的知識(shí)體系,更有利于學(xué)生良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成．

1．4 鞏固新知

師:老師現(xiàn)在要來(lái)考考同學(xué)們對(duì)這個(gè)定理的掌握情況,請(qǐng)看大屏幕．

(1)十二邊形的內(nèi)角和是多少度?(搶答)

(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720°,那么這個(gè)多邊形是幾邊形?

(3)多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而怎樣?邊數(shù)增加一條時(shí)它的內(nèi)角和增加多少度?

學(xué)生踴躍發(fā)言,參與程度高,課堂氣氛活躍．

評(píng)析通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題的層層深入,考查學(xué)生對(duì)定理的理解和應(yīng)用,并將本節(jié)課的知識(shí)和所學(xué)過(guò)的內(nèi)容緊密結(jié)合起來(lái),使學(xué)生能夠很好地進(jìn)行知識(shí)的遷移,加深對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解．既鞏固了新知,又訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性與開闊性,同時(shí)在交流的過(guò)程中,體驗(yàn)到了成功的快樂(lè),增強(qiáng)了學(xué)生的自信心．

1．5 課堂小結(jié)

師:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你們從知識(shí)、方法、思想……等方面談?wù)勀阍诒竟?jié)課中的收獲和體會(huì)．

學(xué)生思考,并歸納本節(jié)內(nèi)容,教師總評(píng)．

評(píng)析通過(guò)這種小結(jié),鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言,讓學(xué)生歸納、總結(jié)本節(jié)知識(shí)、思想和方法,總結(jié)對(duì)本節(jié)課的收獲和體會(huì),鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力,關(guān)注了不同層次的學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力．同時(shí)教師把學(xué)生零散的歸納形成體系,構(gòu)建成學(xué)生自己的知識(shí),融入學(xué)生已有的知識(shí)體系．

1．6 布置作業(yè)

課本74頁(yè)練習(xí):6、7題．

評(píng)析課后作業(yè)是對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的檢驗(yàn),能及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,反饋教學(xué)效果,讓學(xué)生所學(xué)知識(shí)得到鞏固、提高和發(fā)展．

2 反思

2．1 學(xué)生自主探究,知識(shí)領(lǐng)會(huì)更深刻

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出:“教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,主動(dòng)探索、合作交流”．體現(xiàn)了“重視學(xué)習(xí)過(guò)程”．為了更好地讓學(xué)生參與到課堂中來(lái),充分地發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用,在多邊形內(nèi)角和這一知識(shí)點(diǎn)的教授上,教師采取了小組合作方式,運(yùn)用探究法來(lái)解決問(wèn)題．首先通過(guò)情感教育,激發(fā)學(xué)生的興趣,從學(xué)生熟知的圖片中抽象三角形、四邊形、五邊形等多邊形．并及時(shí)提出問(wèn)題:五邊形的內(nèi)角和是多少度?當(dāng)發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題與學(xué)生的已有認(rèn)知發(fā)生沖突時(shí),在引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上,及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去嘗試思考四邊形的內(nèi)角和是多少．為了便于集思廣益,充分發(fā)揮集體合作的力量,教師將全班分成六個(gè)小組。小組之間展開競(jìng)爭(zhēng),看誰(shuí)提出的解決方案最好,并要求予以簡(jiǎn)單的說(shuō)明(因?yàn)閷W(xué)生目前還未接觸證明)．此時(shí)此刻,學(xué)生的激情一下子被調(diào)動(dòng)起來(lái)了．學(xué)生自主尋找方法,提出了很多解決問(wèn)題的方法,如量角器測(cè)量法、拼剪法、作輔助線分割法(課前總認(rèn)為,在教師不指導(dǎo)的情況下,不會(huì)有學(xué)生想到分割這種方法)……．在學(xué)生提出將四邊形分為幾個(gè)三角形求四邊形的內(nèi)角和后,教師又不失時(shí)機(jī)的引導(dǎo)學(xué)生從四邊形形內(nèi)、形上、形外上更深層的思考,并從多個(gè)思考中發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)單的方法．學(xué)生自己動(dòng)手利用最簡(jiǎn)單方法去研究五邊形、六邊形乃至n邊形的內(nèi)角和．整個(gè)過(guò)程作為教師只是充當(dāng)了一個(gè)組織者、協(xié)調(diào)者、引導(dǎo)者的作用,其他都由學(xué)生獨(dú)立完成:獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題,課前我們擔(dān)心這樣大膽放手是不是完成不了教學(xué)任務(wù),整個(gè)課堂是不是一盤散沙?但事實(shí)證明,這種探究才是真正的讓學(xué)生去嘗試,真正做到了以學(xué)生為主體,學(xué)生在自己的探究活動(dòng)中對(duì)知識(shí)有了更深層的理解,遠(yuǎn)比教師單純地講授要好得多．

2．2 注重感悟?qū)嵺`,思維、能力提升更高

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“學(xué)生要學(xué)會(huì)獨(dú)立思考,體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”．讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上體會(huì)數(shù)學(xué)思想,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)是新課程改革一個(gè)重大突破．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)也從單純的教數(shù)學(xué)知識(shí)向立體化發(fā)展,對(duì)全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了不可替代的作用．在這節(jié)課上教師主要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“類比”、“轉(zhuǎn)化”思想．在求證四邊形內(nèi)角和時(shí),巧妙地引導(dǎo)學(xué)生將四邊形的問(wèn)題向自己熟知的三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化．并以此拓展,讓學(xué)生把五邊形、六邊形內(nèi)角和問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來(lái)解決．在探究?jī)?nèi)角和公式時(shí)充分地引導(dǎo)學(xué)生在眾多圖形當(dāng)中尋找規(guī)律然后予以歸納得出結(jié)論．在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中教師一直堅(jiān)持讓學(xué)生自己動(dòng)手,自己畫輔助線。大膽猜測(cè)、小心求證．自己計(jì)算,自己說(shuō)明過(guò)程．學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)活動(dòng),積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．可以說(shuō),在這節(jié)課上,學(xué)生不僅汲取了知識(shí),更重要的是領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想,積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),鍛煉了動(dòng)手能力,是一場(chǎng)知識(shí)、思維與能力共同發(fā)展的饕餮盛宴．

2．3 著力一課多元,情感態(tài)度收獲更豐富

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》還提出:“學(xué)生的智力發(fā)展會(huì)有差異,情感態(tài)度的發(fā)展也會(huì)有差異．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該關(guān)注全體同學(xué)智力發(fā)展,也應(yīng)該關(guān)注全體學(xué)生情感態(tài)度發(fā)展”．情感態(tài)度目標(biāo)是新課程三維目標(biāo)中最形而上的東西．也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵．在這節(jié)課上教師堅(jiān)持把情感目標(biāo)融入課堂活動(dòng)中．學(xué)生通過(guò)分組合作,學(xué)會(huì)了交流合作的價(jià)值;在探究、解決多邊形內(nèi)角和問(wèn)題中,學(xué)會(huì)了猜想、推理、證明等數(shù)學(xué)思路;在與同學(xué)的辯論中學(xué)會(huì)了質(zhì)疑、堅(jiān)持真理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度;在經(jīng)過(guò)自己努力探索得出正確結(jié)果時(shí),獲得了體驗(yàn)成功的快樂(lè),鍛煉了克服困難的意志,建立了自信心．可以說(shuō),這節(jié)課我們的學(xué)生在情感態(tài)度上的收獲同樣巨大．

3 結(jié)束語(yǔ)

簡(jiǎn)單的一節(jié)幾何課,讓我們更深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)課不是數(shù)學(xué)知識(shí)的單向傳輸,而應(yīng)該是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)智慧的碰撞．?dāng)?shù)學(xué)課是立體的、邏輯的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?也是激情的、開放的．只有真正放開束縛,還課堂于學(xué)生,放手發(fā)動(dòng)學(xué)生,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能,才能讓學(xué)生在有限的課堂活動(dòng)中取得最大的收獲．

放手后,學(xué)生收獲更多,老師不也同樣如此嗎?

1 章建躍,中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2010(4)

2 吳之季,義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)(八年級(jí)下冊(cè))[M]．上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社

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2017-08-16)