基于平行嵌套陣互協(xié)方差的二維波達(dá)角聯(lián)合估計(jì)算法

李建峰 蔣德富 沈明威

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基于平行嵌套陣互協(xié)方差的二維波達(dá)角聯(lián)合估計(jì)算法

李建峰*蔣德富 沈明威

(河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院 南京 211100)

論文提出基于平行嵌套陣互協(xié)方差的2維(Two Dimensional, 2D)波達(dá)角(Direction Of Arrival, DOA)聯(lián)合估計(jì)算法。算法基于兩個(gè)互相平行的嵌套陣的互協(xié)方差生成較長(zhǎng)虛擬陣列，同時(shí)將2維DOA估計(jì)問(wèn)題降維為1維 DOA估計(jì)問(wèn)題。在構(gòu)造協(xié)方差矩陣時(shí)，利用方向矩陣范德蒙特性增加虛擬快拍數(shù)，保證了孔徑的最小損失。最后算法基于酉旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)和總體最小二乘(Total Least Squares, TLS)方法進(jìn)一步降低噪聲影響，并獲得了自動(dòng)配對(duì)的2維DOA估計(jì)。相比傳統(tǒng)平行陣下的DOA估計(jì)算法，該算法擁有更好的DOA估計(jì)性能，能辨識(shí)更多的空間信源，對(duì)空間色噪聲有更強(qiáng)的魯棒性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

2維DOA估計(jì)；酉ESPRIT；平行嵌套陣；互協(xié)方差

1 引言

波達(dá)角(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的重要問(wèn)題，其在無(wú)線通信、聲吶以及雷達(dá)等系統(tǒng)均有廣泛應(yīng)用。為了克服1維(One Dimensional, 1D) DOA估計(jì)在處理實(shí)際空間信源時(shí)的局限，2D DOA估計(jì)近年來(lái)受到較多關(guān)注和研究，許多陣列如L型陣列[5]，面陣[6]等被用來(lái)進(jìn)行有效的2D參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[7]中提出的雙平行陣能以較少的陣元和較低的復(fù)雜度獲得信號(hào)源的2D DOA估計(jì)，并可有效解決2維DOA估計(jì)中的角度配對(duì)問(wèn)題，但文獻(xiàn)[7]中提出的DOA矩陣法孔徑利用率較低。之后文獻(xiàn)[8]提出了基于該雙平行陣的多重信號(hào)分類(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)方法，進(jìn)一步提高了孔徑利用率。文獻(xiàn)[9]則將傳播算子方法(Propagator Method, PM)應(yīng)用于雙平行陣，并結(jié)合借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的參數(shù)估計(jì)(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)思想，降低了2D DOA估計(jì)的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[10]則研究了存在非圓信號(hào)時(shí)的2維DOA估計(jì)問(wèn)題，而文獻(xiàn)[11]則利用多個(gè)平行陣來(lái)增加可用信息獲得方位角的有效估計(jì)。然而這些算法均是基于傳統(tǒng)緊湊型的均勻陣列，難以獲得較大的自由度(Degrees Of Freedom, DOF)，辨識(shí)信號(hào)個(gè)數(shù)有限。

稀疏陣以其能產(chǎn)生較大的有效DOF而被廣泛關(guān)注[12]，如最小冗余陣(Minimum Redundancy Array, MRA)[13,14]，互質(zhì)陣(Co-Prime Array, CPA)[15]以及嵌套陣等。嵌套陣可利用個(gè)物理陣元產(chǎn)生O(2)的DOF[16]，且可產(chǎn)生較多連續(xù)虛擬陣元，避免DOA估計(jì)模糊問(wèn)題，但目前基于嵌套陣的研究大都基于1D DOA，沒(méi)有考慮2D情況，以及其帶來(lái)的復(fù)雜度、配對(duì)等問(wèn)題。

本文將雙平行陣與嵌套陣相結(jié)合，提出了基于平行嵌套陣互協(xié)方差(Cross Covariance Matrix, CCM)的2D DOA估計(jì)算法。通過(guò)互相平行的兩個(gè)子陣間的互協(xié)方差降低噪聲影響，充分利用嵌套陣特性生成虛擬陣列，將2D DOA估計(jì)問(wèn)題降維為1D DOA估計(jì)問(wèn)題。利用虛擬快拍數(shù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣，保證有效孔徑。最后基于酉ESPRIT方法和總體最小二乘(Total Least Squares, TLS)獲得自動(dòng)配對(duì)的2D DOA估計(jì)的閉式解。該算法在DOA估計(jì)性能、可辨識(shí)信源數(shù)以及對(duì)色噪聲魯棒性方面，均優(yōu)于文獻(xiàn)[7]中的DOA矩陣法、文獻(xiàn)[8]中的求根MUSIC方法以及文獻(xiàn)[9]中的改進(jìn)PM方法。

本文安排如下：第2節(jié)介紹了平行嵌套陣進(jìn)行2D DOA估計(jì)的陣列結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)模型；第3節(jié)則詳細(xì)闡述了基于平行嵌套陣CCM的2維DOA估計(jì)算法；第4節(jié)則是算法總結(jié)和復(fù)雜度分析對(duì)比；第5節(jié)為實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果，而第6節(jié)是總結(jié)。

2 數(shù)據(jù)模型

不同于傳統(tǒng)雙平行均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA)，為了增加DOF，本文采用如圖1所示的平行嵌套陣來(lái)進(jìn)行空間信號(hào)2維DOA估計(jì)。元的子陣1為緊湊型ULA，位于軸，其陣元間距為半波長(zhǎng)()，同樣為元的子陣2為稀疏ULA，平行于子陣1，其陣元間距為，子陣1和子陣2之間間距為半波長(zhǎng)，具體陣列結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1。假設(shè)空間存在個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到該陣列上，和為第個(gè)信號(hào)源的仰角和方位角。為方便起見(jiàn)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，這里采用信號(hào)與軸和軸的交角(和)作為信號(hào)的2維DOA，它們與傳統(tǒng)仰角和方位角的關(guān)系為和。那么兩個(gè)子陣的輸出分別為

] (2)

(4)

3 基于平行嵌套陣CCM的2D DOA估計(jì)算法

3.1 虛擬陣列生成

將子陣1的輸出進(jìn)行逆向排序：

逆向排序后的子陣1輸出和子陣2輸出之間的CCM為

將互協(xié)方差矩陣按列拉伸為一長(zhǎng)矢量：

(7)

另外，實(shí)際中只能通過(guò)有限快拍數(shù)求式(6)中的互協(xié)方差，即，其中為快拍數(shù)，所以依然會(huì)存在殘余的噪聲影響。為了進(jìn)一步降低噪聲的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，需要使構(gòu)造的數(shù)據(jù)矩陣的虛擬快拍數(shù)大于等于虛擬陣元數(shù)，從而能增強(qiáng)協(xié)方差的秩，有效將噪聲能量分配到噪聲子空間。

3.2 協(xié)方差矩陣構(gòu)造

(10)

因此定義增廣矩陣為

(13)

(15)

此時(shí)協(xié)方差矩陣變?yōu)閷?shí)數(shù)矩陣，可降低之后特征分解的復(fù)雜度，且其可直接從構(gòu)造獲得，酉變換之后的方向矩陣由變?yōu)椤?/p>

3.3 2維DOA估計(jì)

(18)

式(16)中得到的實(shí)數(shù)協(xié)方差進(jìn)行特征分解之后，其最大的個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量稱為信號(hào)子空間，記為，其和方向矩陣之間滿足，其中為一個(gè)×的非奇異矩陣。將代入式(18)，得到

(20)

令

(22)

4 算法總結(jié)和分析

4.1 算法步驟總結(jié)

將基于平行嵌套陣CCM的2維DOA估計(jì)算法的步驟總結(jié)如下：

步驟1 將子陣1輸出逆向排序，并求其與子陣2輸出的CCM,；

4.2 算法優(yōu)點(diǎn)總結(jié)

將基于平行嵌套陣CCM的2維DOA估計(jì)算法的優(yōu)點(diǎn)總結(jié)如下：

(1)基于CCM生成較長(zhǎng)虛擬陣列，可處理更多信源；

(2)將2D DOA轉(zhuǎn)變?yōu)?D DOA估計(jì)問(wèn)題，并基于酉變換增加虛擬快拍，保證有效孔徑的同時(shí)降低復(fù)雜度；

(3)CCM對(duì)空間色噪聲有較強(qiáng)的魯棒性；

4.3 復(fù)雜度分析

所提算法運(yùn)算的主要運(yùn)算復(fù)雜度包括求協(xié)方差、特征分解、LS以及TLS等，涉及到的復(fù)乘次數(shù)共約O(2+22(2++4)+42+3)次?；谕瑯雨囋獢?shù)的平行陣，文獻(xiàn)[7]中的DOA矩陣法需要復(fù)乘次數(shù)約O(22+43+2)次，文獻(xiàn)[8]中的求根MUSIC方法需要復(fù)乘次數(shù)約O(42+ 83+2+4)次，以及文獻(xiàn)[9]中的改進(jìn)PM方法需要復(fù)乘次數(shù)約O(42+42+42+3)次。所提算法無(wú)需譜峰搜索以及迭代等，計(jì)算復(fù)雜度跟DOA矩陣法、求根MUSIC方法以及改進(jìn)PM方法處于同一級(jí)別。

4.4 最大可辨識(shí)信源數(shù)分析

根據(jù)式(13)，算法最終采用的虛擬數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2，結(jié)合后期采用的ESPRIT方法進(jìn)行子陣選擇，可知算法最大可辨識(shí)信源數(shù)為，即，這一般已經(jīng)大于實(shí)際物理陣元數(shù)2。DOA矩陣法[7]和改進(jìn)PM方法[9]可辨識(shí)個(gè)信源，而文獻(xiàn)[8]中的求根MUSIC可辨識(shí)2(-1)個(gè)信源，均小于所提算法的可辨識(shí)信源數(shù)。在下一節(jié)，我們將通過(guò)一些仿真驗(yàn)證這一結(jié)果。

5 仿真結(jié)果

采用求根均方誤差(Root Mean Square Error, RMSE)衡量算法DOA估計(jì)性能，其定義為

圖2給出了所提算法在所有500次仿真下2維DOA估計(jì)的散布圖，實(shí)心點(diǎn)代表估計(jì)值，十字符號(hào)代表真實(shí)DOA值。從圖中可以知道，算法可有效地估計(jì)出信源的2維DOA，且2維DOA自動(dòng)配對(duì)。

圖2 所提算法2維DOA估計(jì)結(jié)果(N=500次仿真，SNR=9 dB)

圖3則是所提算法與文獻(xiàn)[7]中的DOA矩陣法、文獻(xiàn)[8]中的求根MUSIC方法以及文獻(xiàn)[9]中的改進(jìn)PM方法的DOA估計(jì)性能對(duì)比，在RMSE的衡量下，可以發(fā)現(xiàn)所提算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于其余算法，尤其是在低信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)下。主要原因是所提算法利用嵌套陣特性擴(kuò)展了DOF，同時(shí)利用互協(xié)方差降低了噪聲影響，因此可獲得較好的估計(jì)性能。

圖4和圖5給出了信源數(shù)較大的情況下，算法的估計(jì)結(jié)果。圖4中，因?yàn)?4，而此時(shí)=6，已經(jīng)大于了DOA矩陣法和改進(jìn)PM方法的最大處理信源數(shù)，所以它們此時(shí)均已失效，而=6也是求根MUSIC方法的最大可處理信源數(shù)，在一定的噪聲下，此時(shí)其估計(jì)結(jié)果也存在較大誤差。而根據(jù)以上分析，所提算法最大可辨識(shí)信源數(shù)為，所以所提算法依然可以正常工作。在圖5中給出了=9時(shí)所提算法的估計(jì)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)算法能準(zhǔn)確辨識(shí)出所有信源的2維DOA。

圖6給出了當(dāng)噪聲不再是白噪聲，而是文獻(xiàn)[20]中采用的空間色噪聲時(shí)(噪聲能量隨機(jī)分布)，各算法的估計(jì)性能?？梢园l(fā)現(xiàn)，此時(shí)在其余算法性能出現(xiàn)下降的時(shí)候，所提算法依然保持了有效的DOA估計(jì)性能，從而驗(yàn)證了第3.1節(jié)中所說(shuō)的算法對(duì)空間色噪聲的魯棒性。

圖3 算法2維DOA估計(jì)性能對(duì)比

圖4 K=6情況下，算法DOA估計(jì)結(jié)果對(duì)比(SNR=10 dB)

圖5 K=9情況下，所提算法DOA估計(jì)結(jié)果 (SNR=10 dB)

圖6 空間色噪聲情形下算法2維DOA估計(jì)性能對(duì)比

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將傳統(tǒng)平行陣與嵌套陣相結(jié)合，提出了基于平行嵌套陣CCM的2D DOA估計(jì)算法。該算法可利用平行嵌套陣的CCM獲得較大DOF，將2D DOA問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)?D DOA估計(jì)，最終結(jié)合酉ESPRIT和TLS方法獲得自動(dòng)配對(duì)的2D DOA估計(jì)的閉式解，復(fù)雜度較低。通過(guò)分析和仿真，該算法在DOA估計(jì)性能、可辨識(shí)信源數(shù)以及對(duì)色噪聲魯棒性方面，均優(yōu)于傳統(tǒng)方法。所提算法可應(yīng)用于無(wú)線信號(hào)測(cè)向以及雷達(dá)目標(biāo)定位等系統(tǒng)，但所提算法基于互協(xié)方差的矢量化來(lái)獲得虛擬孔徑，因此需要信號(hào)之間不相干，對(duì)于相干信號(hào)，則需要一些前期的解相干手段，這也是我們未來(lái)研究方向。

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Joint Two-dimensional Direction of Arrival Estimation Based on Cross Covariance Matrix of Parallel Nested Array

LI Jianfeng JIANG Defu SHEN Mingwei

(,,211100,)

A Cross Covariance Matrix (CCM) based Two Dimensional (2D) Direction Of Arrival (DOA) estimation algorithm for parallel nested array is proposed. A long virtual array can be achieved based on the CCM between the two parallel nested arrays, and 2D DOA estimation can be transformed to a 1D DOA estimation problem. Thereafter, virtual snapshots are increased by exploiting the Vandermonde structure of direction matrix, and the aperture loss is minimized when constructing covariance matrix from the virtual array. Finally, the proposed algorithm employs unitary Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique (ESPRIT) and Total Least Squares (TLS) to reduce further the influence of noise and achieve automatically paired 2D DOA estimation. Compared to DOA estimation algorithms using conventional parallel array, the proposed algorithm can achieve better DOA estimation performance, identify more signals and is more robust to spatial color noise. The simulation results verify the effectiveness of the proposed algorithm.

Two dimensional DOA estimation; Unitary ESPRIT; Parallel nested array; Cross covariance matrix

TN911.7

A

1009-5896(2017)03-0670-07

10.11999/JEIT160488

2016-05-12；改回日期：2016-09-06；

2016-11-17

李建峰 lijianfengtin@126.com

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(2015B12614)，江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程

The Fundamental Research Funds for the Central Universities (2015B12614), A Project Funded by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions

李建峰： 男，1988年生，講師，研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、雷達(dá)信號(hào)處理.

蔣德富： 男，1963年生，教授，研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理技術(shù)、雷達(dá)通信集成系統(tǒng)的跟蹤制導(dǎo)及目標(biāo)識(shí)別技術(shù).

沈明威： 男，1981年生，副教授，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)陣列技術(shù)、雷達(dá)信號(hào)處理.