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    有限鏈環(huán)上一類常循環(huán)碼的距離

    2017-10-14 00:45:27朱士信開曉山
    電子與信息學(xué)報 2017年3期
    關(guān)鍵詞:鏈環(huán)漢明線性

    袁 健 朱士信 開曉山

    ?

    有限鏈環(huán)上一類常循環(huán)碼的距離

    袁 健 朱士信*開曉山

    (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 合肥 230009) (東南大學(xué)移動通信國家重點實驗室 南京 210096)

    在編碼理論中,線性碼的(最小)距離是一個極其重要的參數(shù),它決定了碼的糾錯能力。設(shè)為任一有限交換鏈環(huán),為其最大理想的一個生成元,為的乘法單位群。對于任意,該文利用上任意長度的-常循環(huán)碼的生成結(jié)構(gòu),通過計算這類碼的高階撓碼,得到了上任意長度的-常循環(huán)碼的漢明距離,并研究了這類常循環(huán)碼的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。

    常循環(huán)碼;有限鏈環(huán);漢明距離;齊次距離

    1 引言

    自20世紀(jì)九十年代中期,Hammons等人[1]發(fā)現(xiàn)一些高效的二元非線性碼為上線性碼的Gray像以來,有限鏈環(huán)上糾錯碼一直是編碼理論研究的熱點。有限鏈環(huán)上的常循環(huán)碼是一類非常重要的線性碼。有限域或環(huán)上碼的漢明距離在衡量碼的糾錯能力起重要作用,Norton和Sǎlǎgean[8]利用撓碼研究有限鏈環(huán)上線性碼的漢明距離。齊次距離在研究有限鏈環(huán)上碼中非常重要[6,9]。在本文中,設(shè)為任一有限交換鏈環(huán),為其最大理想的一個生成元,為的乘法單位群。對于任意,我們先引用關(guān)于上任意長度的-常循環(huán)碼結(jié)構(gòu)[10]。利用此生成結(jié)構(gòu)性質(zhì),通過計算高階撓碼,結(jié)合代數(shù)計算程序MAGAM,得到了上任意長度的所有-常循環(huán)碼的漢明距離,還研究并得到了這類碼齊次距離的一些重要結(jié)果。

    2 有限鏈環(huán)和常循環(huán)碼

    如果一個有限含幺交換環(huán)是局部環(huán)并且其最大理想是主理想,那么該環(huán)是有限鏈環(huán)。本文中以表示任一有限鏈環(huán),表示的乘法單位群。設(shè)為的最大理想的一個生成元。于是為一冪零元,本文記為其冪零指數(shù)。本文記模其最大理想的剩余域為,即,其中為含有個元素的有限域,為的特征。的勢為。到存在一個自然環(huán)滿同態(tài)映射。此映射可以自然開拓為到的一個環(huán)同態(tài),我們?nèi)詫⑺涀?。對于任意,我們記其在下的像為。根?jù)文獻[11],對于中任一非零元,存在唯一的和唯一的單位,使得,其中在模下唯一。對于,若有使得,則稱在上互素。在上互素當(dāng)且僅當(dāng)在上互素[11]。

    定理1[10]每一個互不相同的上長度為的-常循環(huán)碼可唯一表示成,其中,。上長度為的-常循環(huán)碼的數(shù)目為。上述碼中碼字?jǐn)?shù)目為。

    3 漢明距離和齊次距離

    碼中任一碼字的齊次重量為它的所有分量的齊次重量的和。線性碼的齊次距離為碼所有非零碼字的齊次重量中的最小值。漢明重量和漢明距離按照通常的定義。下面來研究上長度為的-常循環(huán)碼的漢明距離和齊次距離。

    4 結(jié)束語

    本文研究了有限鏈環(huán)上的一類常循環(huán)碼的距離。根據(jù)這類常循環(huán)碼的已知結(jié)構(gòu),通過計算其高階撓碼,對任一給定的這類常循環(huán)碼,其漢明距離都可以利用本文方法計算。本文還探究了這類常循環(huán)碼的齊次距離,得到了關(guān)于這類碼的齊次距離的一個界,并得到了在某些特殊情況下這類碼的精確的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。完全確定該類碼在任意情況下的精確齊次距離是一個待研究的問題。

    [1] HAMMONS A R Jr., KUMAR P V, CALDERBANK A R,. The-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and related codes[J]., 1994, 40(2): 301-319. doi: 10.1109/18.312154.

    SHI M J, YANG S L, and ZHU S X. The distributions of distances of-constacyclic codes of lengthover[J].&, 2010, 32(1): 112-116. doi: 10.3724/ SP.J.1146.2008.01810.

    [3] KONG B, ZHENG X Y, and MA H J. The depth spectrums of constacyclic codes over finite chain rings[J]., 2015, 338(2): 256-261. doi: 10.1016/j.disc.2014. 09.013.

    [4] QIAN K Y, ZHU S X, and KAI X S. On cyclic self-orthogonal codes over[J]., 2015, 33: 53-65. doi: 10.1016/j.ffa.2014.11.005.

    [5] DINH H Q, DHOMPONGSA S, and SRIBOONCHITTA S. Repeated-root constacyclic codes of prime power length overand their duals[J]., 2016, 339(6): 1706-1715. doi: 10.1016/j.disc.2016.01.020.

    [6] WOLFMANN J. Negacyclic and cyclic codes over[J]., 1999, 45(7): 2527-2532. doi: 10.1109/18.796397.

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    On Distances of Family of Constacyclic Codes over Finite Chain Rings

    YUAN Jian ZHU Shixin KAI Xiaoshan

    (,,230009,)(,,210096,)

    In coding theory, the (minimum) distance of a code is a very important invariant, which always determines the error-correcting capability of the code. Letbe an arbitrary commutative finite chain ring,is a generator of the unique maximal ideal andis the multiplicative group of units of. In this paper, for any, by using the generator polynomials of-constacyclic codes of any length over, higher torsion codes of such codes are calculated. The Hamming distance of all-constacyclic codes of any length overis determined and the exact homogeneous distance of some such codes is obtained. The result provides a theoretical basis for encoding and decoding for such constacyclic codes.

    Constacyclic codes; Finite chain rings; Hamming distance; Homogeneous distance

    TN911.22

    A

    1009-5896(2017)03-0754-04

    10.11999/JEIT160392

    2016-04-22;改回日期:2016-09-23;

    2016-11-14

    朱士信 zhushixin@hfut.edu.cn

    國家自然科學(xué)基金(61370089, 60973125),東南大學(xué)國家移動通信研究實驗室開放研究基金(2014D04),安徽省自然科學(xué)基金(1508085SQA198)

    The National Natural Science Foundation of China (61370089, 60973125), The Open Research Fund of National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University (2014D04), The Natural Science Foundation of Anhui Province (1508085SQA198)

    袁 健: 男,1988年生,博士生,研究方向為代數(shù)編碼.

    朱士信: 男,1962年生,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向為代數(shù)編碼理論、信息安全與序列密碼等.

    開曉山: 男,1975年生,副教授,研究方向為編碼理論與信息安全等.

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