有界單連通區(qū)域上解析逆緊映射的拓?fù)涠?/h1>
2017-10-14 02:31:38戴作科董新漢
湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào) 2017年5期
戴作科,董新漢
(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)
有界單連通區(qū)域上解析逆緊映射的拓?fù)涠?/p>
戴作科,董新漢
(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)
設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，假設(shè)f是Ω到G的解析逆緊映射. 通過(guò)將單連通區(qū)域提升至單位圓盤(pán)，本文得到了G的邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)分支數(shù)之間的等式關(guān)系，并討論了f的拓?fù)涠群湍嫦簏c(diǎn)個(gè)數(shù)之間的不等式關(guān)系.
割點(diǎn)；拓?fù)涠龋环种?shù)
AbstractLettingΩandGbe two simply connected domains with locally connected boundary, lettingfbe a proper holomorphic mapping fromΩontoG, and liftingΩandGonto unit discs, in this work, we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on ?Gand those of its different inverse image points on ?G. The inequality relationship between the topological degree offand the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.
Keywordscut point; topological degree; component number
假設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，令Ω和G分別為X和Y中的兩個(gè)子集，f:Ω→G為一個(gè)連續(xù)映射，如果G中每個(gè)緊子集的逆象集都是Ω中的緊集，則稱f是Ω到G的逆緊映射[1]. 在分形幾何與復(fù)分析的交叉研究中[2-6]，Cantor邊界性質(zhì)的專題研究必須借助全純逆緊映射的性質(zhì). 對(duì)一般解析函數(shù)(非逆緊)，其定義域邊界的象集分全平面C為若干個(gè)連通分支，則相關(guān)連通分支的個(gè)數(shù)、拓?fù)涠群团袆e點(diǎn)個(gè)數(shù)又緊密聯(lián)系著. 著名的Riemann-Hurwitz公式闡述了這個(gè)聯(lián)系[7]. 為了更深入揭示Cantor邊界性質(zhì)中Cantor集C的性質(zhì)，我們需要邊界上割點(diǎn)的重?cái)?shù)[8]和連通分支上的拓?fù)涠戎g的聯(lián)系. 本文的目的就是刻畫(huà)這種聯(lián)系，至于它的應(yīng)用我們將另文給出.
引理1[2-3]令f∈A(Ω)且f:Ω→f(Ω)是逆緊的，則存在k>0使得對(duì)于任意w∈f(Ω)都有
nf(w,Ω)≡k.
我們稱上述引理中的k為映射f的拓?fù)涠?
引理2[2-3]設(shè)f是一個(gè)在D內(nèi)解析的函數(shù). 如果f滿足f(D)=D和nf(w,D)≡k<∞，?w∈D,則f是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，即
其中zn∈D，β為實(shí)數(shù). 此外，f′(z)在D中有k-1個(gè)零點(diǎn)(按重?cái)?shù)計(jì)算)，當(dāng)|z|=1時(shí)，f′(z)≠0；當(dāng)|w|=1時(shí)，nf(w,?D)=k.
由定義1及割點(diǎn)的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)αE(a)>1時(shí)，a為E的割點(diǎn).
1 主要結(jié)論
解析逆緊映射的拓?fù)涠扔上髤^(qū)域邊界點(diǎn)的逆象點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.
定理1設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)從Ω到G上的逆緊映射.設(shè)w0∈?G不是?G的割點(diǎn)，令
f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1},
其中zi(i=0,1,…,k-1)互不相同. 如果每個(gè)zi都不是?Ω的割點(diǎn)，則f的拓?fù)涠葹閗.
證由于f的拓?fù)涠葹橐怀?shù)，不妨設(shè)為m，下面證明m=k.
f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1}，
可知ai(i=0,1,…,k-1)是?D上滿足f(φ(ai))=w0的k個(gè)不同點(diǎn).
考慮映射h(η)=ψ-1(f(φ(η)))，η∈D. 由引理2可知，h是一個(gè)拓?fù)涠葹閙的有限Blaschke乘積，且對(duì)任意|ξ|=1有nh(ξ,?D)=m，可以斷言，ai(i=0,1,…,k-1)是僅有的k個(gè)不同的使得h(ai)=ξ0成立的點(diǎn). 事實(shí)上，假如?D上還存在不同于ai(i=0,1,…,k-1)的點(diǎn)b滿足h(b)=ξ0，則有
ψ(h(b))=ψ(h(ai))=ψ(ξ0)=w0，
從而
f(φ(b))=ψ(h(b))=ψ(h(ai))=w0=f(φ(ai))
成立，故b必然等于某個(gè)ai. 由此可以得出m=k且h是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，即f的拓?fù)涠葹閗.
解析逆緊映射象區(qū)域邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)的分支數(shù)之間有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在下面的引理中cardA表示A中不同元素的個(gè)數(shù).
引理3設(shè)G是一個(gè)邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f是一個(gè)從D到G上的共形映射. 令a∈?G且
A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.
則有m=α?G(a)成立.
引理4設(shè)G是一個(gè)邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(D)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從D到G上的逆緊映射. 令a∈?G且有
A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.
則m=kα?G(a)成立.
令m′=cardC，其中
C=g-1({a})={ζ∈?D:g(ζ)=a}.
由引理3，m′=α?G(a)成立.
下面證明f-1({a})=B-1(g-1({a})). 任取z0∈f-1({a})，有f(z0)=a，故B(z0)=g-1(f(z0))=g-1({a})，從而有z0∈B-1(g-1({a}))，因此f-1({a})?B-1(g-1({a})). 再任取z1∈B-1(g-1({a}))，有B(z1)∈g-1({a})，即g-1(f(z1))∈g-1({a})，故有f(z1)=a，即z1∈f-1({a})，這說(shuō)明B-1(g-1({a}))?f-1({a}).
綜合以上可知f-1({a})=B-1(g-1({a})).
由于B是拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，由引理2可知card(B-1(C))=kcardC，所以m=kα?G(a)成立.
定理2設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 令w0∈?G且
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1},
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同. 我們有
因?yàn)閒°g1=g2°B，且都是拓?fù)涠葹閗的解析逆緊映射，由引理3和引理4可知
推論1設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G不是?G的割點(diǎn)且有
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，則有q≤k，且“=”成立的充分必要條件是每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn).
證因?yàn)棣?Ω(zj)≥1且α?G(w0)=1，由定理2可知
顯然“=”成立的充分必要條件是每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn).
推論2設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G是?G的割點(diǎn)且有
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，如果每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn)，則有q≥2k.
證由割點(diǎn)的定義，我們有α?G(w0)≥2和α?Ω(zj)=1. 再由定理2可知
即q≥2k成立.
[1] RUDIN W. Function theory in the unit ball ofCn[M]. New York: Springer Verlag, 1980.
[2] DONG X H, LAU K S. Cantor boundary behavior of analytic functions. Recent development in fractals and related fields[J]. Birkh?user, 2010,232(1):283-294.
[3] DONG X H, LAU K S, LIU J C. Cantor boundary behavior of analytic functions[J]. Adv Math, 2013,232(1):543-570.
[4] DONG X H, LAU K S, WU H H. Cauchy transform of self-similar measures: Starlikeness and univalence[J]. Trans Am Math Soc, 2017,369(7):4817-4842.
[5] DONG X H, LAU K S. Cauchy transforms of self-similar measures: the Laurent coefficients[J]. J Funct Anal, 2003,202(1):67-97.
[6] DONG X H, LAU K S. An integral related to the Cauchy transform on the Sierpinski gasket[J]. Exp Math, 2004,13(4):415-419.
[7] TEINMETZ N S. The formula of Riemann-Hurwitz and iteration of rational functions[J]. Complex Variables Theory Appl, 1993,22(3):203-206.
[8] POMMERENKE C. Boundary behaviour of conformal maps [M]. New York:Springer Verlag, 1992.
(編輯 HWJ)
重要啟事
“優(yōu)先數(shù)字出版”是以紙質(zhì)版期刊錄用稿件為出版內(nèi)容，先于紙質(zhì)期刊出版日期出版的數(shù)字期刊出版方式．我刊已于2012年起與中國(guó)學(xué)術(shù)期刊(光盤(pán)版)電子雜志社簽訂了優(yōu)先數(shù)字出版協(xié)議．凡被我刊錄用的稿件一經(jīng)優(yōu)先數(shù)字出版，讀者即可在中國(guó)知網(wǎng)(CNKI)全文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索和下載．凡向本刊投稿的作者，如無(wú)特別申明，均被視為作者授權(quán)本刊編輯部在紙質(zhì)期刊出版前，可以在中國(guó)學(xué)術(shù)期刊(光盤(pán)版)電子雜志社主辦的“中國(guó)知網(wǎng)”(www.cnki.net)上優(yōu)先數(shù)字出版；也被視為作者同意并授權(quán)我刊與其他電子雜志社簽訂的協(xié)議，并許可其在全球范圍內(nèi)使用該文的信息網(wǎng)絡(luò)傳播權(quán)、數(shù)字化復(fù)制權(quán)、數(shù)字化匯編權(quán)、發(fā)行權(quán)及翻譯權(quán)，并不再額外支付稿酬．
本刊編輯部
Topological Degree of Proper Holomorphic Mapping on Bounded Simply Connected Domains
DAIZuo-ke,DONGXin-han*
(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)
圖1 跨界基因沉默菌株侵染細(xì)胞的吖啶橙染色圖(P.34) Fig.1 Acridine orange staining showed that the Tk-RNAi bacteria invaded into mammalian cells(P.34)
Fig.2 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2. (A) The system in a pure water (0.1 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 30, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 under the same conditions(P.66)
Fig.3 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2 and MO. (A) The system in a pure water (0.2 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) and 2.5 mg/L MO (0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 20, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 and MO under the same conditions(P.66)
G420; O174.5
A
1000-2537(2017)05-0077-03
2017-01-09
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571099);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20134306110003)；湖南省教育廳科研資助項(xiàng)目(14K057)
*通訊作者,E-mail：xhdong@hunnu.edu.cn
10.7612/j.issn.1000-2537.2017.05.011
猜你喜歡
復(fù)Banach空間的單位球上Bloch-型空間之間的有界的加權(quán)復(fù)合算子數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2023年4期)2024-01-04 05:47:40 道路空間特征與測(cè)量距離相結(jié)合的LiDAR道路邊界點(diǎn)提取算法測(cè)繪學(xué)報(bào)(2021年11期)2021-12-09 03:13:12 層次化點(diǎn)云邊界快速精確提取方法研究激光技術(shù)(2021年5期)2021-08-17 03:36:02 乘積最大小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(中年級(jí))(2021年3期)2021-04-06 09:12:08 一類具低階項(xiàng)和退化強(qiáng)制的橢圓方程的有界弱解數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2019年3期)2019-07-23 01:15:30 Dirichlet級(jí)數(shù)及其Dirichlet-Hadamard乘積的增長(zhǎng)性數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2018年1期)2019-01-08 01:58:22 淺談?wù)?xiàng)有界周期數(shù)列的一些性質(zhì)福建中學(xué)數(shù)學(xué)(2016年4期)2016-10-19 05:09:02 復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)無(wú)窮乘積的若干應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(2015年15期)2015-05-30 01:17:26 Dirichlet級(jí)數(shù)的Dirichlet-Hadamard乘積數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2014年2期)2014-10-30 01:40:54 一種去除掛網(wǎng)圖像鋸齒的方法及裝置電腦與電信(2014年6期)2014-03-22 13:21:06
戴作科,董新漢
(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)
有界單連通區(qū)域上解析逆緊映射的拓?fù)涠?/p>
戴作科,董新漢
(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)
設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，假設(shè)f是Ω到G的解析逆緊映射. 通過(guò)將單連通區(qū)域提升至單位圓盤(pán)，本文得到了G的邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)分支數(shù)之間的等式關(guān)系，并討論了f的拓?fù)涠群湍嫦簏c(diǎn)個(gè)數(shù)之間的不等式關(guān)系.
割點(diǎn)；拓?fù)涠龋环种?shù)
AbstractLettingΩandGbe two simply connected domains with locally connected boundary, lettingfbe a proper holomorphic mapping fromΩontoG, and liftingΩandGonto unit discs, in this work, we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on ?Gand those of its different inverse image points on ?G. The inequality relationship between the topological degree offand the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.
Keywordscut point; topological degree; component number
假設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，令Ω和G分別為X和Y中的兩個(gè)子集，f:Ω→G為一個(gè)連續(xù)映射，如果G中每個(gè)緊子集的逆象集都是Ω中的緊集，則稱f是Ω到G的逆緊映射[1]. 在分形幾何與復(fù)分析的交叉研究中[2-6]，Cantor邊界性質(zhì)的專題研究必須借助全純逆緊映射的性質(zhì). 對(duì)一般解析函數(shù)(非逆緊)，其定義域邊界的象集分全平面C為若干個(gè)連通分支，則相關(guān)連通分支的個(gè)數(shù)、拓?fù)涠群团袆e點(diǎn)個(gè)數(shù)又緊密聯(lián)系著. 著名的Riemann-Hurwitz公式闡述了這個(gè)聯(lián)系[7]. 為了更深入揭示Cantor邊界性質(zhì)中Cantor集C的性質(zhì)，我們需要邊界上割點(diǎn)的重?cái)?shù)[8]和連通分支上的拓?fù)涠戎g的聯(lián)系. 本文的目的就是刻畫(huà)這種聯(lián)系，至于它的應(yīng)用我們將另文給出.
引理1[2-3]令f∈A(Ω)且f:Ω→f(Ω)是逆緊的，則存在k>0使得對(duì)于任意w∈f(Ω)都有
nf(w,Ω)≡k.
我們稱上述引理中的k為映射f的拓?fù)涠?
引理2[2-3]設(shè)f是一個(gè)在D內(nèi)解析的函數(shù). 如果f滿足f(D)=D和nf(w,D)≡k<∞，?w∈D,則f是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，即
其中zn∈D，β為實(shí)數(shù). 此外，f′(z)在D中有k-1個(gè)零點(diǎn)(按重?cái)?shù)計(jì)算)，當(dāng)|z|=1時(shí)，f′(z)≠0；當(dāng)|w|=1時(shí)，nf(w,?D)=k.
由定義1及割點(diǎn)的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)αE(a)>1時(shí)，a為E的割點(diǎn).
1 主要結(jié)論
解析逆緊映射的拓?fù)涠扔上髤^(qū)域邊界點(diǎn)的逆象點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.
定理1設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)從Ω到G上的逆緊映射.設(shè)w0∈?G不是?G的割點(diǎn)，令
f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1},
其中zi(i=0,1,…,k-1)互不相同. 如果每個(gè)zi都不是?Ω的割點(diǎn)，則f的拓?fù)涠葹閗.
證由于f的拓?fù)涠葹橐怀?shù)，不妨設(shè)為m，下面證明m=k.
f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1}，
可知ai(i=0,1,…,k-1)是?D上滿足f(φ(ai))=w0的k個(gè)不同點(diǎn).
考慮映射h(η)=ψ-1(f(φ(η)))，η∈D. 由引理2可知，h是一個(gè)拓?fù)涠葹閙的有限Blaschke乘積，且對(duì)任意|ξ|=1有nh(ξ,?D)=m，可以斷言，ai(i=0,1,…,k-1)是僅有的k個(gè)不同的使得h(ai)=ξ0成立的點(diǎn). 事實(shí)上，假如?D上還存在不同于ai(i=0,1,…,k-1)的點(diǎn)b滿足h(b)=ξ0，則有
ψ(h(b))=ψ(h(ai))=ψ(ξ0)=w0，
從而
f(φ(b))=ψ(h(b))=ψ(h(ai))=w0=f(φ(ai))
成立，故b必然等于某個(gè)ai. 由此可以得出m=k且h是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，即f的拓?fù)涠葹閗.
解析逆緊映射象區(qū)域邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)的分支數(shù)之間有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在下面的引理中cardA表示A中不同元素的個(gè)數(shù).
引理3設(shè)G是一個(gè)邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f是一個(gè)從D到G上的共形映射. 令a∈?G且
A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.
則有m=α?G(a)成立.
引理4設(shè)G是一個(gè)邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(D)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從D到G上的逆緊映射. 令a∈?G且有
A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.
則m=kα?G(a)成立.
令m′=cardC，其中
C=g-1({a})={ζ∈?D:g(ζ)=a}.
由引理3，m′=α?G(a)成立.
下面證明f-1({a})=B-1(g-1({a})). 任取z0∈f-1({a})，有f(z0)=a，故B(z0)=g-1(f(z0))=g-1({a})，從而有z0∈B-1(g-1({a}))，因此f-1({a})?B-1(g-1({a})). 再任取z1∈B-1(g-1({a}))，有B(z1)∈g-1({a})，即g-1(f(z1))∈g-1({a})，故有f(z1)=a，即z1∈f-1({a})，這說(shuō)明B-1(g-1({a}))?f-1({a}).
綜合以上可知f-1({a})=B-1(g-1({a})).
由于B是拓?fù)涠葹閗的有限Blaschke乘積，由引理2可知card(B-1(C))=kcardC，所以m=kα?G(a)成立.
定理2設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 令w0∈?G且
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1},
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同. 我們有
因?yàn)閒°g1=g2°B，且都是拓?fù)涠葹閗的解析逆緊映射，由引理3和引理4可知
推論1設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G不是?G的割點(diǎn)且有
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，則有q≤k，且“=”成立的充分必要條件是每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn).
證因?yàn)棣?Ω(zj)≥1且α?G(w0)=1，由定理2可知
顯然“=”成立的充分必要條件是每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn).
推論2設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，f∈A(Ω)是一個(gè)拓?fù)涠葹閗的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G是?G的割點(diǎn)且有
f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，
其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，如果每個(gè)zj都不是?Ω的割點(diǎn)，則有q≥2k.
證由割點(diǎn)的定義，我們有α?G(w0)≥2和α?Ω(zj)=1. 再由定理2可知
即q≥2k成立.
[1] RUDIN W. Function theory in the unit ball ofCn[M]. New York: Springer Verlag, 1980.
[2] DONG X H, LAU K S. Cantor boundary behavior of analytic functions. Recent development in fractals and related fields[J]. Birkh?user, 2010,232(1):283-294.
[3] DONG X H, LAU K S, LIU J C. Cantor boundary behavior of analytic functions[J]. Adv Math, 2013,232(1):543-570.
[4] DONG X H, LAU K S, WU H H. Cauchy transform of self-similar measures: Starlikeness and univalence[J]. Trans Am Math Soc, 2017,369(7):4817-4842.
[5] DONG X H, LAU K S. Cauchy transforms of self-similar measures: the Laurent coefficients[J]. J Funct Anal, 2003,202(1):67-97.
[6] DONG X H, LAU K S. An integral related to the Cauchy transform on the Sierpinski gasket[J]. Exp Math, 2004,13(4):415-419.
[7] TEINMETZ N S. The formula of Riemann-Hurwitz and iteration of rational functions[J]. Complex Variables Theory Appl, 1993,22(3):203-206.
[8] POMMERENKE C. Boundary behaviour of conformal maps [M]. New York:Springer Verlag, 1992.
(編輯 HWJ)
重要啟事
“優(yōu)先數(shù)字出版”是以紙質(zhì)版期刊錄用稿件為出版內(nèi)容，先于紙質(zhì)期刊出版日期出版的數(shù)字期刊出版方式．我刊已于2012年起與中國(guó)學(xué)術(shù)期刊(光盤(pán)版)電子雜志社簽訂了優(yōu)先數(shù)字出版協(xié)議．凡被我刊錄用的稿件一經(jīng)優(yōu)先數(shù)字出版，讀者即可在中國(guó)知網(wǎng)(CNKI)全文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索和下載．凡向本刊投稿的作者，如無(wú)特別申明，均被視為作者授權(quán)本刊編輯部在紙質(zhì)期刊出版前，可以在中國(guó)學(xué)術(shù)期刊(光盤(pán)版)電子雜志社主辦的“中國(guó)知網(wǎng)”(www.cnki.net)上優(yōu)先數(shù)字出版；也被視為作者同意并授權(quán)我刊與其他電子雜志社簽訂的協(xié)議，并許可其在全球范圍內(nèi)使用該文的信息網(wǎng)絡(luò)傳播權(quán)、數(shù)字化復(fù)制權(quán)、數(shù)字化匯編權(quán)、發(fā)行權(quán)及翻譯權(quán)，并不再額外支付稿酬．
本刊編輯部
Topological Degree of Proper Holomorphic Mapping on Bounded Simply Connected Domains
DAIZuo-ke,DONGXin-han*
(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)
圖1 跨界基因沉默菌株侵染細(xì)胞的吖啶橙染色圖(P.34) Fig.1 Acridine orange staining showed that the Tk-RNAi bacteria invaded into mammalian cells(P.34)
Fig.2 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2. (A) The system in a pure water (0.1 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 30, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 under the same conditions(P.66)
Fig.3 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2 and MO. (A) The system in a pure water (0.2 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) and 2.5 mg/L MO (0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 20, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 and MO under the same conditions(P.66)
G420; O174.5
A
1000-2537(2017)05-0077-03
2017-01-09
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571099);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20134306110003)；湖南省教育廳科研資助項(xiàng)目(14K057)
*通訊作者,E-mail：xhdong@hunnu.edu.cn
10.7612/j.issn.1000-2537.2017.05.011
猜你喜歡
數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2023年4期)2024-01-04 05:47:40
測(cè)繪學(xué)報(bào)(2021年11期)2021-12-09 03:13:12
激光技術(shù)(2021年5期)2021-08-17 03:36:02
小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(中年級(jí))(2021年3期)2021-04-06 09:12:08
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2019年3期)2019-07-23 01:15:30
數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2018年1期)2019-01-08 01:58:22
福建中學(xué)數(shù)學(xué)(2016年4期)2016-10-19 05:09:02
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(2015年15期)2015-05-30 01:17:26
數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)(2014年2期)2014-10-30 01:40:54
電腦與電信(2014年6期)2014-03-22 13:21:06
