基于Navier?Stokes方程冪律型漿液擴散壓力

周子龍，杜雪明，陳釗，趙云龍

基于Navier?Stokes方程冪律型漿液擴散壓力

周子龍1，杜雪明1，陳釗2，趙云龍1

(1. 中南大學資源與安全工程學院，湖南長沙，410083；2. 廣西翔路建設(shè)有限責任公司，廣西南寧，530029)

為了研究漿體在裂隙截面各處的壓力分布規(guī)律和擴散半徑，克服以往利用平均速度得到某一截面的平均壓力的情況，達到較精確地控制漿體流向和擴散范圍，基于黏性流體Navier?Stokes方程，對冪律流體在水平光滑裂隙管狀模型內(nèi)的擴散運動進行理論分析，重點討論黏度系數(shù)、流變指數(shù)、注漿時間和裂隙高度方向的距離對注漿壓力差和擴散半徑的影響規(guī)律，從而為巖土裂隙的注漿設(shè)計提供必要的理論依據(jù)。研究結(jié)果表明：當黏度較小時，注漿的擴散半徑較大，但當漿體黏度大到一定程度時，恒定注漿壓力下容易產(chǎn)生壓濾效應(yīng)；當流變指數(shù)較小時，壓力差?無明顯變化，超過某一特定值之后，壓力差?隨著流變指數(shù)的增大呈現(xiàn)非線性快速增加；注漿壓力在靠近流核區(qū)與非流核區(qū)界面的壓力最大，隨著逐漸遠離流核區(qū)(方向)，其壓力呈非線性逐漸減小，到達某一特定位置，然后迅速增大，但直至裂隙邊界處其壓力始終小于界面處的壓力；隨著注漿時間增大，漿液的擴散半徑不斷增大，并且呈現(xiàn)出非線性增大的趨勢，但擴散半徑的遞增率逐漸減小，最終擴散半徑趨于某一特定值。

冪律型漿液；Navier?Stokes方程；擴散半徑；注漿壓力；流變性

目前，人們對于巖土工程注漿漿液的研究主要側(cè)重于注漿材料[1?3]，漿體性能[4?6]和設(shè)備等方面，而在注漿擴散理論方面的研究相對較少。由于缺乏有效的注漿擴散理論指導(dǎo)，在注漿過程中，注漿量、注漿壓力以及注漿孔距和孔型一般都是根據(jù)經(jīng)驗和現(xiàn)場試驗[7]等確定，不僅嚴重地影響了注漿效果，而且在一定程度上造成了地下水污染。為此，一些學者在注漿擴散理論方面進行了研究，如楊秀竹等[8?9]基于廣義達西定律及球形擴散理論模型對賓漢漿體和冪律型漿體在巖土中滲透擴散半徑的計算公式進行了推導(dǎo)，分析了漿體性能參數(shù)對注漿壓力和擴散半徑的影響；鄒金鋒等[10?12]對沿漿液擴散半徑方向上的壓力衰減分布規(guī)律進行了研究；章敏等[13]建立Herschel–Bulkley漿液擴散模型，對注漿時間、注漿壓力、流變指數(shù)以及裂隙傾角等參數(shù)與注漿擴散之間的影響規(guī)律進行了探討；李術(shù)才等[14]基于黏度時變性賓漢體本構(gòu)模型，推導(dǎo)了C-S漿液在單一平板裂隙中的壓力分布方程；張慶松等[15]通過開展水泥?水玻璃(C-S)漿液單一平板裂隙動水注漿模型試驗，揭示了基于試驗條件下的C-S漿液裂隙動水注漿擴散過程的擴散規(guī)律；劉健等[16]通過對比模型試驗，對裂隙注漿擴散機制進行了探討，研究了漿液在靜水和動水中擴散規(guī)律。以往對注漿壓力的研究主要是利用平均速度得出某一截面的平均壓力的變化情況，實際上，同一截面上各處的壓力變化情況是不同的，在特定情況下，利用平均值作為注漿參數(shù)會帶來較大誤差，同時，也不利于通過改變漿體微觀特性來達到控制漿體擴散規(guī)律。為了更深入地研究漿液的擴散壓力和半徑的變化規(guī)律，從而精確地控制漿體流向和擴散范圍，本文作者基于黏性流體Navier?Stokes方程，通過對冪律流體的本構(gòu)方程理論分析，推導(dǎo)出冪律流體在裂隙管狀模型中運動規(guī)律，重點分析漿體擴散半徑和截面的壓降分布規(guī)律以及漿體各參數(shù)對前兩者的影響規(guī)律，以便為巖土裂隙的注漿設(shè)計提供參考。

1 注漿擴散模型的建立

1.1 基本假設(shè)

圖1所示為漿液在假定的圓管裂隙中的擴散運動示意圖。圖1中：0為注漿孔半徑；為圓管半徑；為漿液流動速度；為漿液擴散壓力；p為流核區(qū)半徑。設(shè)圓管的半徑，在注漿壓力作用下，沿水平光滑圓管流動，取軸向方向為漿體的流動方向。本文為了定量地研究漿體參數(shù)如黏度系數(shù)、流變指數(shù)、注漿時間和裂隙高度等對注漿壓力差和擴散半徑的影響規(guī)律，特進行以下假定：

1) 漿液是均質(zhì)的、不可壓縮的流體，漿體的密度是常數(shù)，且忽略漿體自身的重力；

2) 漿液在擴散過程中無沉淀發(fā)生。

1.2 漿體壓差分析

Navier?Stokes方程是流體力學中描述黏性流體的方程，其本構(gòu)方程是：

(2)

(3)

式中：為漿體在方向的速度；為漿體在方向的速度；g和g分別為重力加速度在坐標軸和方向的分量；為漿體流動方向所受的壓力；為漿體的黏度；為漿體的密度。

假設(shè)漿體是二維水平流動，即=0；由于漿體在水平方向受到的壓力遠遠大于漿體的自重，因此，可以忽略漿體的自重，由此可得：

(6)

將式(4)~(6)代入式(1)~(3)經(jīng)過化簡整理可得

對式(7)中的變量進行積分可得到剪切率與壓力梯度變化率的關(guān)系，即

(8)

式中：p為流核半徑高度，；，為漿液擴散的最大半徑，為注漿孔的半徑；為注漿的初始壓力；c為注漿啟動壓力；為初始剪切力。冪律型漿體的本構(gòu)方程為

(10)

在不考慮其他外力作用下，根據(jù)圖1結(jié)合流體受力平衡關(guān)系可得：

(12)

將式(11)和(13)代入式(9)，整理簡化得出壓力梯度的變化率，即

(14)

1.3 擴散半徑分析

流核高度區(qū)域中的柱狀漿體速度分布為

(17)

將式(16)和(17)代入式(18)經(jīng)過積分簡化整理得

(19)

根據(jù)單位時間注入裂隙的注漿量和擴散半徑增大所需流量相等，可以得到注漿擴散半徑，即

式中：為注漿時間。

對式(20)進行積分，同時考慮式(19)得出擴散半徑與注漿參數(shù)的關(guān)系：

2 注漿壓力差和擴散半徑與漿液參數(shù)的影響規(guī)律

本文所研究的漿液符合冪律流體的流變特性，其注漿孔半徑為0.025 m，本文取p為0.9×10?4m，巖土裂隙半徑為1mm，其他參數(shù)則作為變量進行影響性分析。漿體黏度表征著漿體的流動性能，是由于漿體內(nèi)部之間的摩擦而產(chǎn)生的，而稠度表征漿體軟硬程度；在注漿的時間段內(nèi)，漿體黏度對時間的敏感度遠遠比對稠度的大，兩者之間沒有特定的相關(guān)關(guān)系，假定稠度系數(shù)為某一定值，而黏度隨時將發(fā)生變化，即取=2.32 Pa?s。

當≤p時，漿體處于流核高度范圍內(nèi)，由于此區(qū)域不受剪切力作用的影響，因此，單位距離內(nèi)的壓力降可以近似為零，即流核區(qū)域內(nèi)各個截面壓力可以近似為注漿初始壓力。本文主要討論當＞p即漿體處于非流核區(qū)域時的擴散規(guī)律。

2.1 注漿壓力降分布與漿體黏度參數(shù)、流變指數(shù)、裂隙高度以及擴散距離的影響規(guī)律

注漿壓力差隨擴散距離的變化規(guī)律如圖2所示。由圖2可知：在裂隙截面高度0.2-mm處，在同一黏度和同一流變指數(shù)下，注漿壓力差隨著擴散距離的增大呈線性增大。這是由于漿體在非流核區(qū)域內(nèi)運動時，需要克服漿體內(nèi)部的剪切力，同時漿體的流變性質(zhì)和巖土介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征沒有變化，因此，注漿壓力隨著擴散距離的增大呈線性減小。當＜1時，隨著黏度增大，到達同樣擴散距離所需壓力也是增大的；當＞1時，壓力差隨著擴散距離的增大基本不變，近似于零。這是由于漿體黏度表征著漿體的流動性能，是漿體內(nèi)部之間的摩擦剪切而產(chǎn)生的，黏度越大，受摩擦剪切所損失的能量越大，擴散到相同的距離所需能量也越大；當＞1時，漿體屬于膨脹性流體，在注漿壓力作用下，其黏度會因剪切速率的增大而增大，漿體的流動阻力很大，使?jié){液無法進入裂隙中，因此，在整個注漿過程中，壓力差幾乎為零，只有通過適當?shù)霓k法迫使巖土介質(zhì)產(chǎn)生較大的新裂縫，才可以發(fā)生漿液的擴散運動。

1—μ=0.08, y=0.2 mm, n=2/3; 2—μ=0.04, y=0.2 mm, n=2/3; 3—μ=0.06, y=0.2 mm, n=2/3; 4—μ=0.08, y=0.2 mm, n=3/2。

注漿壓力差隨流變指數(shù)的變化曲線如圖3所示。由圖3可知：當流變指數(shù)在0.1~0.4之間時，注漿壓力差的變化比較緩慢；當流變指數(shù)超過0.4時，壓力差隨著流變指數(shù)的增大呈現(xiàn)非線性快速增加，并且黏度小的壓力差的變化率比黏度較大的漿體壓力差大。流性指數(shù)表征了該流體偏離牛頓流體的程度，當流變指數(shù)<<1時，漿液屬于假塑性流體，此類流體的結(jié)構(gòu)性較強，加力后不能立即改變其牢固的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，它需要有一定的剪切應(yīng)力才開始流動，此時需要較大的能量破壞流體的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)而做功，因此，壓力差較??；當流變指數(shù)越接近1時，流體的性質(zhì)越接近牛頓流體，其流動性較好，此時，隨著流變指數(shù)的不斷增大，漿體的表觀黏度相對來說也會變小，產(chǎn)生的流動阻力也較小，要迫使?jié){體流動只需要克服較小的流動阻力做功即可，因此，壓力差隨著流變指數(shù)的增大而迅速增大。

1—μ=0.04, x=2 m, y=0.2 mm; 2—μ=0.06, x=2 m, y=0.2 mm; 3—μ=0.08, x=2 m, y=0.2 mm。

圖4和圖5所示分別為注漿壓力差隨裂隙高度變化規(guī)律和分布圖。由圖4和圖5可以看出：以上部的非流核區(qū)為例，注漿壓力在靠近流核區(qū)與非流核區(qū)界面的壓力最大，隨著逐漸遠離流核區(qū)(方向)，其壓力呈非線性逐漸減小，到達某一特定位置，然后迅速增大，但是直至裂隙邊界處其壓力始終小于界面處的壓力。造成此現(xiàn)象的原因為：流核區(qū)域內(nèi)漿體內(nèi)部的剪切力可以忽略不計，此區(qū)域內(nèi)的注漿壓力基本不變，2個區(qū)域界面處由于漿體發(fā)生相對滑動，需要克服漿體內(nèi)部剪切力做功造成壓力損耗不斷增大；當?shù)竭_某一特定部位時，隨著裂隙高度不斷增大，相當于裂隙空隙變大，同時，本文已假設(shè)漿體與巖土介質(zhì)界面處不發(fā)生作用，不需考慮巖土介質(zhì)與漿體之間的表面張力作用，漿體更易于在裂隙中擴散，相對于界面處壓力損耗較?。粷{體在擴散過程中，自始至終存在內(nèi)部剪切摩擦損耗，裂隙邊界處其壓力始終小于流核區(qū)的 壓力。

1—μ=0.08, x=2 m, n=2/3; 2—μ=0.06, x=2 m, n=2/3; 3—μ=0.04, x=2 m, n=2/3。

圖5 裂隙高度方向的壓力分布圖

注漿壓力差隨黏度變化規(guī)律如圖6所示。由圖6可知：隨著漿體黏度不斷增大，到達相同的擴散半徑所需的注漿壓力也越大，最后趨于某一特定值；黏度越大，其漿體內(nèi)部顆粒所占比例越大，則顆粒運動時發(fā)生的內(nèi)摩擦阻力越大，發(fā)生流動所需克服的剪切變形阻力越大，注漿過程中損失壓力能耗越大；當漿體黏度大到一定程度時，由于通過某一固定截面的顆粒較多，漿液不易在裂隙中擴散，此時在恒定注漿壓力下會產(chǎn)生壓濾效應(yīng)，使?jié){體的黏度變小，注漿效果達不到設(shè)計要求；同時也驗證了圖3所示結(jié)論，即流變指數(shù)較小時，壓力差的變化與流變指數(shù)關(guān)聯(lián)性較小。

2.2 擴散半徑與注漿時間和漿體黏度的影響規(guī)律

圖7所示為注漿半徑隨注漿時間的變化曲線。由圖7可知：隨著注漿時間增大，漿液的擴散半徑不斷增大，并且呈現(xiàn)出非線性增大趨勢，但擴散半徑的遞增率逐漸減小，最終擴散半徑趨于某一特定值；當黏度較小時，注漿的擴散半徑相對較大；當注漿壓力保持恒定時，隨著漿液擴散半徑不斷增大，壓力損耗不斷增大，迫使?jié){液擴散流動的壓力梯度變小，直至注漿的壓力梯度小于漿液在巖土介質(zhì)中的啟動壓力梯度時，漿液停止流動。在工程實踐中，注漿壓力是恒定的，由于需要克服外力做功而損失能耗，因此，存在1個極限注漿擴散半徑。

1—x=2 m, y=0.2 mm; n=0.6; 2—x=2 m, y=0.2 mm; n=0.5; 3—x=2 m, y=0.2 mm; n=0.4; 1—x=2 m, y=0.2 mm; n=0.3。

1—μ=0.06, n=2/3; 2—μ=0.08, n=2/3; 3—μ=0.10, n=2/3。

3 結(jié)論

1) 基于黏性流體Navier?Stokes方程，建立了針對冪律流體在水平光滑裂隙管狀模型內(nèi)的擴散的理論模型，探討了黏度系數(shù)、流變指數(shù)、注漿時間和裂隙高度對注漿壓力差和擴散半徑的影響規(guī)律，可為注漿工藝參數(shù)的設(shè)計提供理論依據(jù)。

2) 當黏度較小時，注漿的擴散半徑較大，但當漿體黏度大到一定程度時，恒定注漿壓力下容易產(chǎn)生壓濾效應(yīng)，因此，在實際工程實踐中，不能為了要達到注漿加固強度效果而不斷增大漿體黏度，即使采用較大黏度的漿體也有可能達不到相應(yīng)強度。

3) 注漿壓力在靠近流核區(qū)與非流核區(qū)界面的壓力最大；隨著逐漸遠離流核區(qū)(方向)，其壓力呈非線性逐漸減小，到達某一特定位置，然后迅速增大，但是直至裂隙邊界處其壓力始終小于界面處的壓力。通過添加某種外加劑可以減小其表面張力和剪切摩擦力，減少壓力的能量損耗，更有利于漿體在裂隙中 流動。

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(編輯 楊幼平)

Grouting pressure of exponential fluids based on Navier?Stokes equation

ZHOU Zilong1, DU Xueming1, CHEN Zhao2, ZHAO Yunlong1

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2. Guangxi Xianglu Construction Co. Ltd, Nanning 530029, China)

In order to study the pressure distribution and diffusion radius of slurry throughout fissure section, overcome the shortcomings that the average pressure of the fissure section was obtained by using the average speed, control the slurry flow and the range of diffusion accurately, the diffusion movement of exponential slurry in the horizontal fissures smooth tubular model was theoretically derived based on the Navier?Stokes equations of viscous fluid. Then the effects of law among the viscosity coefficient, rheology index, grouting time, the height of the fracture and diffusion radius or grouting pressure were mainly discussed, which provided theoretical basis for the grouting design of geotechnical fissure. The results show that when the viscosity is smaller, grouting diffusion radius is larger relatively. But the slurry viscosity reaches a certain degree, and the effect of filter is easy to occur under the constant grouting pressure. When the rheological index is smaller, pressure difference ?has no obvious change. Exceeding a certain value, ?shows a rapid increase of nonlinear along with the increase of rheological index.The grouting pressure of the interface between the flow core zone and non flow core zone is the maximum.The pressure shows a nonlinear decrease gradually away from the flow core zone (direction), and then increases rapidly. But the pressure value is always less than the pressure of the interface between the flow core zone and non flow core zone until the crack boundary. With the increase of the grouting time, the diffusion radius of grouting increases with the trend of the non-linear. However, the increasing rate of the diffusion radius is gradually decreased and the diffusion radius tends to reach a certain value finally.

exponential grout; Navier?Stokes equations; diffusion radius; grouting pressure; rheology

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.07.020

TV139.16

A

1672?7207(2017)07?1824?07

2016?07?29；

2016?10?25

國家基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2015CB060200)；國家自然科學優(yōu)秀青年基金資助項目(51322403) (Project(2015CB060200) supported by the National Basic Research Program (973 Program) of China;Project(51322403) supported by the National Natural Science Outstanding Youths Foundation of China)

杜雪明，博士研究生，從事采礦與巖土工程災(zāi)害防治研究；E-mail: 2007-dxm@163.com