多種垂向輪軌關(guān)系的對(duì)比及改進(jìn)的車?線?橋系統(tǒng)迭代模型的建立

朱志輝，王力東，龔?fù)嘀疚洌坛蓸?biāo)

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多種垂向輪軌關(guān)系的對(duì)比及改進(jìn)的車?線?橋系統(tǒng)迭代模型的建立

朱志輝1, 2，王力東1，龔?fù)?，余志武1, 2，蔡成標(biāo)3

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2. 中南大學(xué)高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410075；3. 西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都，610031)

對(duì)比分析非線性赫茲接觸、線性赫茲接觸、剛性接觸這3種輪軌接觸模型對(duì)車?線?橋垂向耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析結(jié)果的影響，并建立改進(jìn)的車?線?橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型。車輛模型采用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建立，軌道?橋梁模型采用有限元方法建立，根據(jù)不同的輪軌接觸模型，建立相應(yīng)的輪軌力計(jì)算公式，并采用分離迭代法計(jì)算耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)。在數(shù)值算例中，以高速列車通過5跨簡(jiǎn)支梁橋?yàn)橛?jì)算背景，對(duì)不同輪軌接觸模型的仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。針對(duì)傳統(tǒng)車?線?橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型計(jì)算效率低的問題，建立改進(jìn)的迭代計(jì)算模型。研究結(jié)果表明：線性赫茲接觸模型與非線性赫茲接觸模型得到的車體加速度、輪軌力、鋼軌和橋梁的位移和加速度均較吻合，但前者的計(jì)算效率較低；忽略輪對(duì)慣性力的剛性接觸模型無法得到準(zhǔn)確的鋼軌和橋梁加速度；改進(jìn)模型通過建立包含輪軌接觸彈簧的車輛模型來提高車輛子系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性，其計(jì)算效率比傳統(tǒng)模型提高近7倍；為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，車?線?橋耦合振動(dòng)計(jì)算中應(yīng)考慮時(shí)間步內(nèi)的迭代計(jì)算。

車?線?橋耦合振動(dòng)；輪軌接觸模型；赫茲接觸；剛性接觸；迭代模型

列車通過橋梁時(shí)將引起橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)，而橋梁振動(dòng)又反過來影響車輛振動(dòng)，這種相互作用、相互影響的問題就是車輛與橋梁之間的耦合振動(dòng)問題[1]。根據(jù)所建立的不同車輛模型，通?？蓪④嚇蝰詈险駝?dòng)模型分為垂向模型和空間模型。垂向模型通常只考慮車體和轉(zhuǎn)向架的沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，空間模型則可以考慮車輛橫向及縱向運(yùn)動(dòng)[2]。當(dāng)研究目標(biāo)主要關(guān)注車橋系統(tǒng)垂向方向的相互作用時(shí)，可建立垂向車橋耦合計(jì)算模型，以簡(jiǎn)化分析難度，提高計(jì)算效率。垂向車橋耦合計(jì)算模型目前仍然是車橋耦合振動(dòng)研究的重要模 型[3?5]。針對(duì)車橋垂向耦合振動(dòng)仿真分析，建立合理的輪軌關(guān)系是關(guān)鍵?；谳唽?duì)和鋼軌都是彈性體，采用非線性赫茲接觸理論模擬輪軌關(guān)系成為主流[3]。然而，當(dāng)考慮輪軌接觸非線性時(shí)，會(huì)不可避免地帶來如下問題[4, 6]：增加車橋耦合振動(dòng)計(jì)算的復(fù)雜性，降低計(jì)算效率；無法進(jìn)行頻域車橋耦合振動(dòng)分析；難以在有限元分析軟件中建立輪軌非線性接觸關(guān)系。為了簡(jiǎn)化計(jì)算或?yàn)榱私④嚇蚓€性時(shí)變系統(tǒng)，人們采用2 種方法建立考慮輪軌線性接觸的輪軌關(guān)系：第1種是將非線性赫茲接觸彈簧線性化，即線性赫茲接觸[6]；第2種是忽略輪軌之間的壓縮變形，視輪軌接觸為剛性接觸[5]。不同輪軌接觸模型的選擇對(duì)車橋耦合振動(dòng)仿真結(jié)果有重要影響。WANG等[7?9]通過建立考慮輪軌彈性接觸和剛性接觸的車橋耦合振動(dòng)計(jì)算模型，對(duì)不同輪軌接觸模型對(duì)車橋耦合系統(tǒng)的影響及其適用性進(jìn)行了討論。然而，以上研究主要側(cè)重于輪軌非線性赫茲接觸和剛性接觸之間的對(duì)比，對(duì)輪軌線性赫茲接觸的研究較少，而且計(jì)算所采用的橋梁模型通常不考慮軌道結(jié)構(gòu)的參振作用。近年來，隨著基于頻域求解的隨機(jī)振動(dòng)理論的發(fā)展，更多學(xué)者采用此類隨機(jī)振動(dòng)理論研究車橋耦合振動(dòng)問題[10?11]，如何正確考慮輪軌線性接觸關(guān)系成為關(guān)鍵。隨著有限元建模技術(shù)的日趨成熟和計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的不斷提升，建立考慮軌道結(jié)構(gòu)的精細(xì)化橋梁模型已成為車橋耦合振動(dòng)領(lǐng)域發(fā)展的必然趨勢(shì)。基于上述原因，本文作者以8車編組高速列車通過5跨簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)橛?jì)算背景，通過建立考慮輪軌非線性赫茲接觸、線性赫茲接觸和剛性接觸的車?線?橋耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型，對(duì)多種輪軌接觸模型的仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。最后，針對(duì)傳統(tǒng)車?線?橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型計(jì)算效率低的問題，建立改進(jìn)的迭代模型，并通過理論分析和數(shù)值算例對(duì)改進(jìn)模型的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率進(jìn)行驗(yàn)證，討論迭代計(jì)算對(duì)計(jì)算精度的影響。

1 車?線?橋垂向耦合振動(dòng)計(jì)算模型

1.1 車輛模型

車輛模型如圖1所示，采用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論建立。其中車輛自由度包括車體的沉浮量(Z)和點(diǎn)頭角度(c)、轉(zhuǎn)向架1的沉浮量(t1)和點(diǎn)頭角度(t1)、轉(zhuǎn)向架2的沉浮量(t2)和點(diǎn)頭角度(t2)以及4個(gè)輪對(duì)的沉浮量(w，=1~4)共10個(gè)自由度。圖1中：c，t和w分別為車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)的質(zhì)量；pz和sz分別為車輛一系和二系懸掛系統(tǒng)的剛度；pz和sz分別為車輛一系和二系懸掛系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；cy和ty分別為車體和轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c為車輛定距的一半；t為車輛軸距的一半；為車速。表1所示為數(shù)值算例中使用的高速列車動(dòng)車和拖車主要參數(shù)。當(dāng)列車勻速運(yùn)行時(shí)，不考慮車輛之間的縱向相互作用，則車輛子系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程為

式中：V，V和V分別為車輛子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；V和V分別為車輛子系統(tǒng)的位移向量和力向量。

圖1 車輛模型

Fig. 1 Vehicle model

表1 車輛參數(shù)

1.2 軌道?橋梁模型

軌道結(jié)構(gòu)在列車、軌道和橋梁所組成的耦合振動(dòng)大系統(tǒng)中起著非常重要的作用。詳細(xì)考慮橋上軌道結(jié)構(gòu)參振的影響，對(duì)于準(zhǔn)確地模擬車?線?橋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)相互作用關(guān)系具有非常重要的意義[12]。

本文采用有限元方法建立軌道?橋梁整體有限元模型?；谥苯觿偠确ǖ能壍?橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程可表示為

式中：B，B和B分別為軌道?橋梁子系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；B和B分別為軌道?橋梁子系統(tǒng)的位移和力向量?？傮w阻尼矩陣B包括橋梁本身的材料阻尼和軌下彈簧?阻尼器單元阻尼：

(3)

式中：和為Rayleigh阻尼系數(shù)，橋梁阻尼比取2%；e為具有單元阻尼的單元類型數(shù)；為第個(gè)彈簧?阻尼器單元的阻尼矩陣。

1.3 車?線?橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程及求解

聯(lián)立式(1)和式(2)可建立車?線?橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程：

(4)

式中：2個(gè)子系統(tǒng)的力向量V和B體現(xiàn)輪軌相互作用關(guān)系。由于式(1)和式(2)右端互為相關(guān)，若在分析中將兩者合并組成1個(gè)方程組同步求解，則不僅會(huì)使計(jì)算量大大增加，而且具有一定的近似性[9]。目前，大多將車輛子系統(tǒng)和軌道?橋梁子系統(tǒng)分開迭代求解，并通過輪軌接觸處力的平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件來控制迭代是否滿足收斂要求。本文同樣采用迭代法計(jì)算車?線?橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，具體迭代流程圖見文獻(xiàn)[9]。

2 輪軌接觸模型

2.1 非線性赫茲接觸模型

根據(jù)非線性赫茲接觸理論，輪軌垂向相互作用力()與輪軌彈性壓縮量δ()之間有如下關(guān)系：

式中：為輪軌接觸常數(shù)(m/N2/3)，對(duì)于錐形踏面車輪，=4.57?0.149×10?8，對(duì)于磨耗型踏面車輪，=3.86?0.115×10?8；為車輪滾動(dòng)圓半徑(m)。根據(jù)式(5)得到的輪軌壓縮量和輪軌垂向力之間的關(guān)系是1條下凹的曲線，見圖2中曲線1。當(dāng)輪軌界面存在軌道不平順附加位移()輸入時(shí)，輪軌力的表達(dá)式為

(6)

其中：w()為輪對(duì)垂向位移；r()為輪軌接觸處的鋼軌垂向位移。

2.2 線性赫茲接觸模型

線性赫茲接觸模型假設(shè)輪軌之間通過線性化的彈簧聯(lián)結(jié)，此時(shí)，輪軌相互作用力()可表示為

針對(duì)線性赫茲接觸彈簧剛度系數(shù)h，目前主要有2種取值方法，分別是切線斜率法[6]和割線斜率法[4]。

2.2.1 切線斜率法

切線斜率法是指過非線性赫茲接觸曲線中靜態(tài)輪軌力0對(duì)應(yīng)的0點(diǎn)作切線，切線的斜率即為h，如圖2中曲線2。具體求解過程如下。

圖2 非線性和線性赫茲接觸曲線

將式(5)中()對(duì)δ()求導(dǎo)即可得非線性赫茲接觸剛度的表達(dá)式：

此時(shí)，將靜態(tài)輪軌力0對(duì)應(yīng)的輪軌靜壓縮量δ0()代入式(8)，即可得0點(diǎn)切線的斜率：

(9)

2.2.2 割線斜率法

割線斜率法是指取非線性赫茲接觸曲線中靜態(tài)輪軌力0對(duì)應(yīng)的0點(diǎn)和輪軌力變化范圍中最大值1對(duì)應(yīng)的1點(diǎn)的連線斜率作為h，如圖2點(diǎn)中曲線3，具體求解過程如下。

將式(5)中輪軌壓縮量表示為輪軌垂向力的函數(shù)：

此時(shí)，0點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(，0)，1點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(，1)，因此，0點(diǎn)和1點(diǎn)連線的斜率為

(11)

2.3 剛性接觸模型

當(dāng)假設(shè)輪軌剛性接觸時(shí)，車輪和鋼軌之間始終密貼，且具有相同自由度[5]，此時(shí)，輪軌之間的相互作用力包括車輛一系懸掛系統(tǒng)中的彈簧力和阻尼力、輪對(duì)慣性力以及車輛軸重力3部分。車輛不同輪對(duì)的輪軌力為：

(12)

(14)

(15)

式中：第(=1~4)輪對(duì)的垂向位移wi可由輪軌接觸處的鋼軌垂向位移ri()和軌道高低不平順附加位移r()相加得到，即

當(dāng)假設(shè)輪軌剛性接觸時(shí)，若輪對(duì)質(zhì)量大于輪下節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量，則將導(dǎo)致迭代發(fā)散[1, 13]。為提高系統(tǒng)迭代計(jì)算的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[1]提出忽略輪對(duì)慣性力對(duì)鋼軌的作用，文獻(xiàn)[13]提出了虛擬質(zhì)量法。

3 數(shù)值算例

以我國(guó)高速鐵路總里程中比例最大的32 m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立如圖3所示的軌道?橋梁子系統(tǒng)有限元模型。橋梁模型按5跨簡(jiǎn)支梁建立，墩高為18 m，主梁和橋墩截面如圖4所示。在有限元模型中，主梁和橋墩均采用空間梁?jiǎn)卧x散。軌道結(jié)構(gòu)選用高速鐵路雙塊式無砟軌道，軌道的彈性主要靠軌下膠墊提供，軌枕和道床板的作用通過參振質(zhì)量的形式在橋梁動(dòng)力學(xué)模型中加以考慮[14]。在有限元模型中，鋼軌參數(shù)選用我國(guó)60 kg/m鋼軌，采用空間梁?jiǎn)卧x散，并通過剛臂考慮線路偏心。鋼軌節(jié)點(diǎn)和剛臂節(jié)點(diǎn)之間通過彈簧?阻尼器聯(lián)結(jié)，考慮軌下扣件和墊板的彈性支撐作用，垂向剛度和阻尼分別為4.76×107N/m和7.5×104N·s/m，橫向剛度和阻尼分別為2.5×107N/m和6×104N·s/m。據(jù)文獻(xiàn)[14]，橋面二期恒載取160 kN/m。

根據(jù)表1給出的車輛參數(shù)按8車編組(1M+6T+1M)形成車輛系統(tǒng)，車速設(shè)為250 km/h，輪軌豎向激擾采用由德國(guó)低干擾軌道不平順譜變換得到的軌道不平順時(shí)域樣本。為模擬列車進(jìn)入橋梁之前的初始振動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算時(shí)假定列車從距橋頭30 m處開始作勻速運(yùn)動(dòng)。

本文選用5種不同的輪軌接觸模型進(jìn)行車?線?橋耦合振動(dòng)分析，分別為：非線性赫茲接觸(NH)、基于切線斜率法的線性赫茲接觸(TLH)、基于割線斜率法的線性赫茲接觸(SLH)、忽略輪對(duì)慣性力的剛性接觸(NMC)和采用虛擬質(zhì)量法的剛性接觸(VMC)。其中，基于切線斜率法的動(dòng)車和拖車的輪軌接觸剛度分別為1.52 GN/m和1.47 GN/m，基于割線斜率法的動(dòng)車和拖車的輪軌接觸剛度分別為1.62 GN/m和1.57 GN/m，即取1=1.450[15]；采用虛擬質(zhì)量法計(jì)算時(shí)，虛擬質(zhì)量等于輪對(duì)質(zhì)量。

圖3 軌道?橋梁模型

(a) 主梁截面；(b) 橋墩截面

不同輪軌力計(jì)算模型得到收斂結(jié)果的最大積分步長(zhǎng)并不相同，一般需滿足各子系統(tǒng)的最高頻率、作用荷載頻率的限制[13]。結(jié)合計(jì)算條件，將不同輪軌接觸模型對(duì)應(yīng)的時(shí)間積分步長(zhǎng)設(shè)定如下：非線性赫茲接觸取1×10?4s，線性赫茲接觸取2×10?5s，密貼接觸取1×10?3s。其中，2×10?5s為本文計(jì)算條件下線性赫茲接觸模型的最大收斂時(shí)間積分步長(zhǎng)。

不同輪軌接觸模型下中跨跨中橋梁垂向加速度見圖5，不同輪軌接觸模型下車?線?橋系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比見表2。從圖5和表2可見：

1) 線性赫茲接觸模型與非線性赫茲接觸模型計(jì)算得到的車體加速度、輪軌力、鋼軌和橋梁的位移和加速度均較吻合。除SLH計(jì)算得到的鋼軌加速度與NH計(jì)算的鋼軌加速度相對(duì)誤差為5.5%以外，其他計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差均在1.5%以內(nèi)，滿足數(shù)值模擬對(duì)計(jì)算精度的要求。另一方面，由于采用切線斜率法得到的輪軌接觸剛度比割線斜率法的小，因此，TLH計(jì)算的鋼軌振動(dòng)加速度比SLH的小，且與NH所得結(jié)果更接近。

2) 由于線性赫茲接觸剛度大，通常為1 GN/m，因而，任意2個(gè)荷載步之間的輪軌壓縮量變化不能過大，否則容易導(dǎo)致迭代發(fā)散。因此，線性赫茲接觸通常需要比非線性赫茲接觸更小的積分步長(zhǎng)。在本文計(jì)算中，線性赫茲接觸的計(jì)算效率為非線性赫茲接觸計(jì)算效率1/7左右。

模型：(a) NH；(b) TLH；(c) SLH；(d) NMC；(e) VMC

表2 不同輪軌接觸模型下車?線?橋系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比

3) 忽略輪對(duì)慣性力對(duì)鋼軌的作用無法得到準(zhǔn)確的鋼軌和橋梁加速度、輪軌力。忽略輪對(duì)慣性力使得鋼軌加速度、橋梁加速度、輪軌力等評(píng)價(jià)橋梁動(dòng)力特性和車輛走行性的關(guān)鍵指標(biāo)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比赫茲接觸模型的小。其原因在于當(dāng)車橋耦合振動(dòng)分析中考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，輪軌力作用下的鋼軌的加速度遠(yuǎn)大于梁體的加速度，使得輪對(duì)慣性力占輪軌力的比例大大增加，此時(shí)忽略輪對(duì)慣性力將嚴(yán)重削弱輪軌動(dòng)態(tài)相互作用，從而無法得到正確的計(jì)算結(jié)果。

4) VMC方法雖然可以提高輪軌剛性接觸下車?線?橋系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性，但計(jì)算誤差偏大。由于輪軌剛性接觸忽略輪軌之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)削弱了車輪對(duì)鋼軌的沖擊作用，使得鋼軌和橋梁加速度計(jì)算結(jié)果偏小。同時(shí)，在本文計(jì)算條件下，VMC方法所需計(jì)算時(shí)間為835 min，大大降低了計(jì)算效率。這是因?yàn)樵黾犹摂M質(zhì)量后，與輪對(duì)無耦合作用的鋼軌節(jié)點(diǎn)的迭代譜半徑隨積分步長(zhǎng)的減小而增大。

綜上可知，當(dāng)采用迭代法計(jì)算車?線?橋耦合振動(dòng)時(shí)，為得到滿足精度的計(jì)算結(jié)果，建議采用赫茲接觸模型。

4 改進(jìn)的車?線?橋系統(tǒng)迭代計(jì)算 模型

由前面分析結(jié)果可知，雖然線性赫茲接觸模型與非線性赫茲接觸模型計(jì)算結(jié)果十分接近，但線性赫茲接觸模型存在積分步長(zhǎng)小、計(jì)算效率低等問題。為提高基于輪軌線性赫茲接觸的車?線?橋耦合系統(tǒng)傳統(tǒng)迭代模型的計(jì)算效率，建立改進(jìn)的迭代模型。改進(jìn)模型是通過建立包含輪軌接觸彈簧h的車輛模型來提高車輛系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性。輪軌線性赫茲接觸下簡(jiǎn)化的車?線?橋系統(tǒng)傳統(tǒng)迭代模型和改進(jìn)迭代模型見圖6。

(a) 傳統(tǒng)模型；(b) 改進(jìn)模型

4.1 譜半徑分析

對(duì)于車?線?橋耦合迭代計(jì)算模型，可以通過建立耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程前后迭代步之間的遞推關(guān)系，并根據(jù)迭代矩陣的譜半徑來判斷迭代穩(wěn)定性[1]。因此，本文采用圖6所示簡(jiǎn)化的車?線?橋系統(tǒng)來對(duì)比改進(jìn)前、后2種模型的迭代穩(wěn)定性。

依據(jù)D’Alembert原理，圖6(a)所示傳統(tǒng)模型基于平衡位置的車體?輪對(duì)質(zhì)量塊的動(dòng)力平衡方程可以表示為：

(18)

輪下質(zhì)量塊的動(dòng)力平衡方程可以表示為

其中：，和分別為質(zhì)量、阻尼和剛度；為位移；下標(biāo)v，w和t分別表示車體質(zhì)量塊、輪對(duì)質(zhì)量塊和輪下質(zhì)量塊；下標(biāo)p表示車輛懸掛系統(tǒng)，ir表示軌道不平順；h為輪軌接觸剛度系數(shù)；為重力加速度。

相對(duì)于傳統(tǒng)迭代模型，圖6(b)所示改進(jìn)模型的輪對(duì)質(zhì)量塊動(dòng)力平衡方程為

因此，改進(jìn)模型在時(shí)間步上第次和第+1次迭代之間的直接迭代格式為

(21)

(23)

以Newmark?法數(shù)值積分格式為例，根據(jù)式(21)~(23)可建立改進(jìn)模型在時(shí)刻上的迭代計(jì)算格式：

其中：

(25)

上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置；為迭代矩陣。的其非零元素為

(26)

其中：

(27)

常數(shù)項(xiàng)()為上一時(shí)間步系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、軌道不平順以及車輛重力的函數(shù)，因與收斂性無關(guān)，無需給出具體形式。通過求解迭代矩陣的特征值多項(xiàng)式，得相應(yīng)的譜半徑為

其中：

(29)

通過與上述類似的分析過程，可得傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑為

其中：

(31)

根據(jù)一般高速列車的車輛參數(shù)，可以近似假定圖6所示的簡(jiǎn)化模型系統(tǒng)參數(shù)為：v=6.8 t，w=1.2 t，t=36 kg，p=1.04 MN/m，p=4.0×104N·s/m，t=1.6×108N/m，t=5.2×106N·s/m，h=1.35 GN/m。根據(jù)式(28)和式(30)可得出改進(jìn)模型和傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑隨積分步長(zhǎng)的變化規(guī)律，見圖7。

1—改進(jìn)模型；2—傳統(tǒng)模型。

從圖7可以看出：改進(jìn)模型和傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑隨積分步長(zhǎng)的變化具有完全不同的變化趨勢(shì)；傳統(tǒng)模型的譜半徑隨著積分步長(zhǎng)的增大呈開口向上的拋物線形狀遞增，而改進(jìn)模型的譜半徑隨積分步長(zhǎng)的增大以較緩慢的趨勢(shì)遞增，且在相同積分步長(zhǎng)下改進(jìn)模型的譜半徑均比傳統(tǒng)模型的小。出現(xiàn)上述差異的原因是通過建立包含輪軌接觸剛度的改進(jìn)模型，降低了車輛子系統(tǒng)隨積分步長(zhǎng)的敏感程度，提高了車?線?橋耦合系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性。

4.2 數(shù)值算例

采用與第3節(jié)相同的計(jì)算條件，對(duì)比傳統(tǒng)模型和改進(jìn)模型的計(jì)算精度和計(jì)算效率，其中輪軌接觸剛度采用切線斜率法計(jì)算。當(dāng)積分步長(zhǎng)取1×10?4s時(shí)，本文提出的改進(jìn)模型可得到收斂的計(jì)算結(jié)果。圖8所示為傳統(tǒng)模型和改進(jìn)模型的車?線?橋耦合系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果，表3所示為傳統(tǒng)模型與改進(jìn)模型的車?線?橋系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比。

從圖8可以看出：改進(jìn)前、后2種模型得到的橋梁及車輛動(dòng)力時(shí)程曲線幾乎完全一致。表3所示的響應(yīng)最大值中，除鋼軌加速度存在2.4%的相對(duì)偏差外，其他響應(yīng)的最大值幾乎完全相同。就計(jì)算時(shí)間而言，傳統(tǒng)模型需677 min，而改進(jìn)模型僅需103 min。與傳統(tǒng)模型相比，改進(jìn)模型的計(jì)算效率提高了近7倍。

為進(jìn)一步考察迭代計(jì)算對(duì)計(jì)算精度的影響，基于改進(jìn)的迭代計(jì)算模型，分別計(jì)算考慮迭代和不考慮迭代下車?線?橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)，積分步長(zhǎng)均取1×10?4s。

2種情況下車?線?橋耦合系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值見表4。從表4可以看出：不考慮迭代對(duì)鋼軌和橋梁位移的影響很小，而對(duì)其他計(jì)算結(jié)果的影響偏大，其中鋼軌加速度增大22%，車體加速度減小11%。因此，為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，車?線?橋耦合振動(dòng)計(jì)算中需考慮時(shí)間步內(nèi)的迭代計(jì)算。

(a) 中跨跨中左軌垂向相對(duì)橋面位移；(b) 中跨跨中左軌垂向加速度；(c) 中跨跨中橋梁垂向位移；(d) 中跨跨中橋梁垂向加速度；(e) 首節(jié)車車體垂向加速度；(f) 首輪對(duì)輪軌垂向力之一半

表3 傳統(tǒng)模型與改進(jìn)模型的車?線?橋系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比

表4 考慮迭代和不考慮迭代下改進(jìn)模型的車?線?橋系統(tǒng)垂向響應(yīng)最大值

5 結(jié)論

1) 線性赫茲接觸模型與非線性赫茲接觸模型得到的車體加速度、輪軌力、鋼軌和橋梁的位移和加速度均較吻合，但其計(jì)算效率為后者的1/7左右；基于切線斜率法的輪軌接觸剛度模型計(jì)算輪軌力更準(zhǔn)確。

2) 忽略輪對(duì)慣性力對(duì)鋼軌的作用無法得到準(zhǔn)確的鋼軌和橋梁加速度。由于輪軌力作用下的鋼軌加速度遠(yuǎn)比梁體的加速度大，使得相對(duì)于不考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)的輪對(duì)慣性力占輪軌力的比例大大增加，此時(shí)，忽略輪對(duì)慣性力將嚴(yán)重削弱輪軌動(dòng)態(tài)相互作用，從而無法得到正確的計(jì)算結(jié)果。

3) 虛擬質(zhì)量法會(huì)影響數(shù)值計(jì)算精度。增加虛擬質(zhì)量降低了橋梁的自振頻率，導(dǎo)致橋梁跨中位移偏大；同時(shí)，由于剛性接觸無法考慮輪軌高頻相互作用，使得鋼軌和橋梁加速度、輪軌力等計(jì)算結(jié)果偏小。

4) 改進(jìn)模型比傳統(tǒng)模型的計(jì)算效率提高了近7倍。為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，車?線?橋耦合振動(dòng)計(jì)算中應(yīng)考慮時(shí)間步內(nèi)的迭代計(jì)算。

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(編輯 陳燦華)

Comparative analysis of several types of vertical wheel/rail relationship and construction of an improved iteration model for train?track?bridge system

ZHU Zhihui1, 2, WANG Lidong1, GONG Wei1, YU Zhiwu1, 2, CAI Chengbiao3

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction,Central South University, Changsha 410075, China;3. State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The influence of three types of wheel, i.e. rail contact model?nonlinear Hertz contact, linear Hertz contact and rigid contact on the dynamical analysis result of train?track?bridge vertical coupled system were compared, and an improved iteration model for train?track?bridge coupled system was established. The vehicle model was established by multi?body system dynamics and the track?bridge model was established by finite element method. Depending on different wheel?rail contact models, the corresponding wheel?rail force calculation formulas were established, and the iterative method were used to calculate the coupled system vibration. In numerical case, taking a high-speed train traveling across a five-span simply supported beam bridge for case study, the calculation results of train?track?bridge coupled vibration withr different wheel?rail contact models were compared. Aiming at the problem of low efficiency of the iterative computation model for the traditional train?track?bridge coupled system, an improved iteration model was established. The results show that the vehicle body acceleration, wheel-rail force, displacement and acceleration of the rail and bridge of the linear Hertz contact model are in good agreement with those of the nonlinear Hertz contact model, but the computational efficiency is lower than that of the latter; rigid contact model which neglects the inertia force of the wheel is unable to obtain accurate rail and bridge acceleration. The improved model is to improve the iterative stability of the vehicle subsystem by establishing the vehicle model including the wheel?rail contact spring. The calculation efficiency of improved model is about 7 times greater than that of the conventional model. In order to ensure the accuracy of results, the iterative calculation in the time step should be taken into account in the calculation of train?track?bridge coupled vibration.

train?track?bridge coupled vibration; wheel?rail contact model; Hertz contact; rigid contact; iteration model

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.06.023

U238；TU248

A

1672?7207(2017)06?1585?09

2016?07?15；

2016?09?22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378511，51678576)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ5007)；牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(TPL1601)；中南大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016zzts070)(Projects(51378511, 51678576) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13JJ5007) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Project(TPL1601) supported by the Open Project Foundation of State Key Laboratory of Traction Power; Project(2016zzts070) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities of Central South University)

朱志輝，博士，副教授，從事車橋耦合振動(dòng)研究；E-mail：zzhh0703@163.com