一種降低OFDM誤碼率及立方度量值的凸優(yōu)化算法

張翔引，朱曉東，唐友喜

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一種降低OFDM誤碼率及立方度量值的凸優(yōu)化算法

張翔引，朱曉東，唐友喜

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 611731)

相比于功率峰均比(PAPR)，立方度量能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測功放的功率回退量，因此被認(rèn)為是更有效的衡量正交頻分復(fù)用(OFDM)信號包絡(luò)變化的度量。為了提高功放效率，常用優(yōu)化方法是直接最小化信號的立方度量值。然而，這樣會引入嚴(yán)重的帶內(nèi)失真，造成系統(tǒng)誤碼率性能的惡化。該文提出了一種在立方度量值約束下最小化系統(tǒng)帶內(nèi)失真的凸優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了內(nèi)點(diǎn)法定制方案求解此優(yōu)化問題。仿真結(jié)果顯示該算法相比現(xiàn)有優(yōu)化算法能夠顯著提高系統(tǒng)誤碼率及立方度量性能。

誤碼率; 凸優(yōu)化算法; 立方度量; OFDM系統(tǒng); 功率峰均比

OFDM技術(shù)由于頻譜利用率高、能夠有效對抗頻率選擇性衰落等優(yōu)點(diǎn)，已被多種無線通信標(biāo)準(zhǔn)采用[1]。然而，OFDM調(diào)制信號具有很大的包絡(luò)變化范圍，經(jīng)過非線性功率放大器后會產(chǎn)生嚴(yán)重的帶內(nèi)失真和帶外輻射，造成誤碼率(BER)性能惡化和鄰道干擾。為了滿足通信標(biāo)準(zhǔn)中嚴(yán)格限定的性能指標(biāo)，通常需要對功放進(jìn)行功率回退，但這樣會造成功放效率低下。

常用的提高功放效率的方法是降低OFDM信號的包絡(luò)起伏以減少功率回退量。PAPR是使用最廣泛的描述OFDM信號包絡(luò)變化的度量[2]。PAPR通過信號的峰值功率來預(yù)測信號經(jīng)過功放后的非線性失真狀況。最近，立方度量(CM)引起了廣泛關(guān)注[3-5]。與PAPR只關(guān)注信號的峰值功率不同，CM衡量的是影響信號失真的主要因素——三階非線性失真[6]。因此CM被認(rèn)為是比PAPR更準(zhǔn)確的信號度量方式，并已被第三代通信系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)組織采用作為確定功放功率回退量的準(zhǔn)則[7]。

到目前為止，多種技術(shù)被提出用來降低OFDM信號的PAPR和CM[1-5,8-13]。這些技術(shù)大體可以歸納為無失真技術(shù)和基于失真的技術(shù)兩大類：無失真技術(shù)，如部分傳輸序列[9]和選擇性映射[10]，通常需要發(fā)送邊帶信息并在接收端借助邊帶信息對數(shù)據(jù)符號進(jìn)行恢復(fù)；而基于失真的技術(shù)，如限幅濾波[5,11]和壓縮擴(kuò)展變換[12]，則不需要發(fā)送邊帶信息，且具有顯著的包絡(luò)降低性能。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[8]分別將降低OFDM信號的PAPR和CM建模成凸優(yōu)化問題，即在滿足系統(tǒng)最大允許的誤差矢量幅度(error vector magnitude, EVM)約束下最小化信號的PAPR和CM，并分別根據(jù)優(yōu)化模型設(shè)計(jì)內(nèi)點(diǎn)法定制方案求解相應(yīng)的優(yōu)化問題。優(yōu)化后EVM不超過最大允許，可保證接收端信號滿足系統(tǒng)的BER性能要求[13-14]。然而，為獲得最優(yōu)的包絡(luò)降低性能(或最大功放效率)，文獻(xiàn)[8]及文獻(xiàn)[13]中的算法優(yōu)化后EVM值總是接近，從而導(dǎo)致系統(tǒng)BER性能得不到進(jìn)一步的改善。另一方面，在實(shí)際通信系統(tǒng)中，為滿足通信標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格限定的性能要求，功率回退量必須嚴(yán)格按照信號的CM值來執(zhí)行[6-7]。換言之，若要保證功率效率不低于某一水平，信號的CM值一定不能超過某一門限。

本文提出了一種新的降低OFDM系統(tǒng)BER及CM值的優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)內(nèi)點(diǎn)法定制方案對此優(yōu)化問題求解。該算法通過引入失真限制信號CM值不超過預(yù)先設(shè)立的門限來保證功率效率，并優(yōu)化失真以進(jìn)一步改善系統(tǒng)的BER性能。蒙特卡洛仿真證實(shí)了算法的有效性。在實(shí)際系統(tǒng)中只須根據(jù)系統(tǒng)性能需求設(shè)立適當(dāng)?shù)腃M門限。本算法相比于文獻(xiàn)[8]及[13]在BER及CM性能上均有顯著提高。

1 信號度量

(2)

PAPR是傳統(tǒng)的信號波動性度量方法，經(jīng)常用來確定輸入信號的功率回退量。對于輸入信號，PAPR定義為[1-3]：

文獻(xiàn)[6]提出CM用來預(yù)測滿足失真要求所需的功率回退量。對于輸入信號，CM定義為：

PAPR是通過信號的峰值功率來確定所需的回退量。CM值由信號的三階失真功率決定，與信號經(jīng)過功放后的非線性失真具有更好的相關(guān)性。因此，CM能夠更加準(zhǔn)確的預(yù)測功率回退量。

2 優(yōu)化模型

通信標(biāo)準(zhǔn)中對帶外輻射及帶內(nèi)失真有嚴(yán)格限定。優(yōu)化過程中通常用空閑子載波滿足頻譜遮罩的要求來限制帶外輻射，用數(shù)據(jù)子載波的EVM來量化帶內(nèi)失真[8,13-14]。為簡化優(yōu)化模型，本文將帶外輻射假設(shè)為零。但值得一提的是，本文提出的優(yōu)化算法只需加上空載波頻譜遮罩的約束條件便能很容易推廣到需要限制帶外失真的情況。

為保證功率效率，算法中設(shè)立CM門限以確保優(yōu)化后信號的CM值不超過此門限。因?yàn)镃M定義中和均為常數(shù)，只需限制優(yōu)化后信號的RCM值，即：

本文算法思想為：引入失真限制信號的CM值不超過設(shè)立的門限值，同時(shí)最小化信號EVM值以獲得此失真條件下的最優(yōu)BER性能。優(yōu)化模型為：

(8)

(9)

然而，RCM約束不等式(10)是非凸的[8]。要實(shí)現(xiàn)式(10)不等式約束，可首先保證RCM公式的分母不減少，即優(yōu)化后信號的功率不降低：

展開式(11)可得：

(12)

(14)

基于以上分析，優(yōu)化模型可重新描述為：

(16)

(17)

(19)

3 凸優(yōu)化算法

對于式(15)~式(19)所描述的凸優(yōu)化問題，可以定制內(nèi)點(diǎn)法求解。內(nèi)點(diǎn)法基本步驟可參見文獻(xiàn)[15]。

首先，根據(jù)凸優(yōu)化算法要求將復(fù)向量及復(fù)矩陣表示為等效的實(shí)向量及實(shí)矩陣。例如，復(fù)列向量擴(kuò)展成等效的實(shí)列向量為：

(21)

3.1 定制內(nèi)點(diǎn)法

內(nèi)點(diǎn)法流程如圖1所示，具體計(jì)算步驟如下：

1) 初始化

為滿足式(17)中的EVM約束，基于式(22)，令：

式中，1.05是通過仿真得到的經(jīng)驗(yàn)值。

2) 計(jì)算約束松弛量

對于約束條件式(17)～式(19)，可得約束松弛量為：

(25)

(26)

在每一次的迭代過程中，必須保證式(24)~式(26)的數(shù)值恒為正數(shù)。

3) 計(jì)算更新向量

牛頓下降法因其收斂速率快而經(jīng)常被用來求解凸優(yōu)化問題[15]。若牛頓下降方向?yàn)?，則根據(jù)文獻(xiàn)[13]有：

(28)

(29)

(30)

式中，

(32)

(33)

(35)

(37)

(38)

4) 計(jì)算更新步長

為使算法加快收斂速率，更新步長應(yīng)在保證所有約束條件嚴(yán)格可行的原則上越大越好。

求解式(40)可得：

(41)

求解式(42)可得：

(43)

可收緊不等式，有：

(45)

求解可得：

(47)

顯然，此更新步長可保證式(44)嚴(yán)格可行。

基于以上分析，滿足所有約束條件的最大可行步長為：

為確保算法收斂速率和式(24)～式(26)中所有障礙函數(shù)值恒為正數(shù)，可選取步長經(jīng)驗(yàn)值：

(49)

5) 更新變量

根據(jù)以下兩式更新變量：

(51)

6) 判別算法是否收斂：若算法收斂，算法終止；否則，返回步驟2)，開始新的迭代。判別依據(jù)可以通過設(shè)立收斂半徑或設(shè)立最大迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)[15]。

3.2 算法復(fù)雜性

計(jì)算復(fù)雜度通常通過分析算法所需的浮點(diǎn)運(yùn)算(加、減、乘、除)次數(shù)來評估[8,13,15]。優(yōu)化算法復(fù)雜度由迭代次數(shù)及每次迭代中的運(yùn)算量決定。本算法每次迭代中需要計(jì)算牛頓下降方向與更新步長。根據(jù)式(29)，計(jì)算梯度向量需要次實(shí)運(yùn)算，可表示其復(fù)雜度為。計(jì)算矩陣、和復(fù)雜度分別為、和。因此計(jì)算Hessian矩陣復(fù)雜度為。最后根據(jù)式(28)使用Cholesky分解可求得牛頓下降方向，此計(jì)算復(fù)雜度為[15]。步長計(jì)算中，和復(fù)雜度均為。本定制內(nèi)點(diǎn)法收斂性良好，可在10次迭代內(nèi)獲得全局最優(yōu)解。

4 仿真及結(jié)果分析

本文使用蒙特卡洛仿真評估算法性能。 OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)設(shè)為，調(diào)制方式采用正交相移鍵控(quadrature phase shift keying, QPSK)，過采樣因子。在仿真中，非線性功率放大器的輸入輸出關(guān)系表示為三階多項(xiàng)式模型[16]：

4.1 算法性能分析

表1比較了本文算法和文獻(xiàn)[5]中下降限幅濾波算法優(yōu)化后信號在得到相同RCM值時(shí)的情況。本文算法設(shè)定RCM門限，優(yōu)化后信號的值為6 dB；下降限幅濾波算法中通過調(diào)整限幅率參數(shù)使得優(yōu)化后信號的值同樣為6 dB。從隨機(jī)選取的6幀信號的優(yōu)化結(jié)果可以看出，本文算法優(yōu)化后信號的值遠(yuǎn)低于下降限幅濾波算法，證明了算法優(yōu)化EVM的有效性。

表1 本文算法及文獻(xiàn)[5]算法優(yōu)化后信號EVM比較

4.2 本文算法與PAPR及CM優(yōu)化算法的性能比較

圖3是本文算法、文獻(xiàn)[13]中的PAPR優(yōu)化算法及文獻(xiàn)[8]中的CM優(yōu)化算法的RCM降低性能比較。CM和PARA算法中設(shè)定為5%，本文算法中設(shè)定RCM門限。如圖3所示，在CCDF為處，本文算法較CM算法RCM降低了約4.86 dB，較PAPR算法降低了約5.08 dB。

圖4是加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise, AWGN)信道下不同算法的BER性能比較。公平起見，仿真中所有算法優(yōu)化后信號的平均功率均歸一化為1。如前文所述，PAPR優(yōu)化算法及CM優(yōu)化算法化后信號EVM值總是接近系統(tǒng)允許的，因此二者有著近似的BER性能。相反，本算法在CM門限約束下最小化引入的失真，可嚴(yán)格限制信號CM值的同時(shí)，進(jìn)一步改善BER性能。如圖4所示，相比于CM和PARA算法，本算法在BER為時(shí)性能增益為1.8 dB。

5 結(jié)束語

本文提出了一種新的降低OFDM系統(tǒng)BER及CM值的凸優(yōu)化模型，在滿足信號CM不超過預(yù)設(shè)門限值的約束下最小化系統(tǒng)帶內(nèi)失真。針對此優(yōu)化問題設(shè)計(jì)了內(nèi)點(diǎn)法定制方案，詳細(xì)討論了算法中初始點(diǎn)選擇、更新向量、更新步長等計(jì)算細(xì)節(jié)?；诒舅惴?，只須根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的性能需求設(shè)置立方度量門限值，即可在保證功率效率的同時(shí)進(jìn)一步改善系統(tǒng)BER性能。

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編 輯 葉 芳

A Convex Optimization Algorithm for Reducing the Ber and Cubic Metric in OFDM Systems

ZHANG Xiang-yin, ZHU Xiao-dong, and TANG You-xi

(National Key Laboratory of Science and Technology on Communications, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

Since cubic metric (CM) can more accurately predict the power de-rating of power amplifier (PA), it is recognized as a better metric to characterize the envelope fluctuations of orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) signals than peak-to-average power ratio (PAPR).To improve the PA efficiency, a common scheme is minimizing the CM value of signals. However, this aggravates the in-band distortion, resulting in bit error ratio (BER) degradation of systems. This paper formulates the problem as an in-band distortion optimization subject to CM constraint, and a customized interior-point algorithm is developed to solve the optimization problem. Simulation results show that the proposed algorithm provides better BER and CM-reduction performance than existing optimization schemes.

bit error ratio; convex optimization algorithm; cubic metric; OFDM system; peak-to- average power ratio

TN92

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.01.004

2015-06-06；

2016-03-21

國家自然科學(xué)基金(61101034, 61271164, 61471108)；國家重大專項(xiàng)(2014ZX03003001-002)；863項(xiàng)目(2014AA01A704)

張翔引(1983-)，男，博士，主要從事通信系統(tǒng)非線性信號處理方面的研究.