復雜系統(tǒng)流量波動規(guī)律研究綜述

呼一辰，趙志丹，蔡世民，黃子罡，榮智海，周 濤

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復雜系統(tǒng)流量波動規(guī)律研究綜述

呼一辰1,2，趙志丹1,2，蔡世民1,2，黃子罡3，榮智海1,2，周 濤1,2

(1. 電子科技大學大數(shù)據(jù)研究中心 成都 611731；2. 電子科技大學互聯(lián)網(wǎng)科學中心 成都 611731； 3. 蘭州大學計算物理與復雜系統(tǒng)研究所 蘭州 730000)

流量波動律是指復雜系統(tǒng)中的研究對象，如網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點上流量的均值與標準差之間呈現(xiàn)出冪律關(guān)系。這一規(guī)律普遍存在于多種復雜系統(tǒng)中，探索流量波動律的形成機制對于理解和刻畫這些復雜系統(tǒng)的動力學特征具有重要意義。該文對近些年來國內(nèi)外學者關(guān)于復雜系統(tǒng)中流量波動的研究進行回顧，總結(jié)了該方向不同時期的主要研究成果以及一些典型的動力學模型。提出了一套簡單的數(shù)學模型，可將之前的主流動力學模型都納入一個統(tǒng)一的數(shù)學框架之中。最后對未來流量波動律的研究做出了展望。

復雜系統(tǒng); 流量波動; 標度律; 泰勒定律

一個系統(tǒng)，如果內(nèi)部有許多子系統(tǒng)，且這些子系統(tǒng)間可以產(chǎn)生各種各樣的復雜相互作用，那么這樣的系統(tǒng)可稱其為“復雜系統(tǒng)”[1-2]。復雜系統(tǒng)廣泛存在于各個領(lǐng)域，無論是從工程科學[3]到物理學[4]，還是從生物學[5]到社會科學[6]，都可以找到它的身影。本文研究了一個復雜系統(tǒng)中很普遍但也很重要的特征——流量的波動特征。該特征是指復雜系統(tǒng)中的研究對象，如網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的流量的均值與其波動大小(用標準差刻畫)往往呈現(xiàn)出一種冪函數(shù)關(guān)系，復雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域一般習慣稱其為“波動標度”[7]。

在1938年，研究農(nóng)作物產(chǎn)量時，文獻[8]首先發(fā)現(xiàn)了這個流量波動的現(xiàn)象，但當時并未引起太多關(guān)注。后來，生物學家Taylor在1961年發(fā)表了一篇關(guān)于自然人口的論文[9]。這篇文章影響十分廣泛，因此，人們便把這篇論文中描述的規(guī)律稱為泰勒定律。這個定律描述了這樣一種關(guān)系：自然界中，任何給定物種的種群數(shù)量的波動大小都可以近似表示成一個常數(shù)乘上該種群數(shù)量均值的次方：波動大小常數(shù)。生物學家對這種現(xiàn)象十分感興趣，從內(nèi)部驅(qū)動與外部驅(qū)動的角度出發(fā)，建立了多種模型[10-14]嘗試解釋泰勒定律的本源。

盡管泰勒定律在生物學界影響深遠，但由于早期不同學科之間的交流有限，所以這個理論長久以來并沒有在復雜系統(tǒng)等領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注。直到2004年，文獻[15]首先研究了網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點流量與流量波動大小的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)各節(jié)點的平均流量與流量標準差滿足關(guān)系，并且認為只能取到兩個離散的值，分別對應(yīng)于= 0.5的系統(tǒng)與= 1的系統(tǒng)。前者主要包括不同物種的種群數(shù)量[16]，統(tǒng)計物理中的平方根型波動[17]，單位時間股票市場的交易數(shù)[7]，因特網(wǎng)中傳播數(shù)據(jù)包的數(shù)目[18]，微芯片[19]等。后者主要包括酵母每小時的基因表達數(shù)[20-22]、宇宙輻射[23-24]、森林中各樹種的種子年產(chǎn)量[25]、萬維網(wǎng)中URLs鏈接的數(shù)目[26]、高速公路網(wǎng)絡(luò)及天然的河流網(wǎng)絡(luò)[27-29]等。為理解兩種系統(tǒng)的本質(zhì)差異，他們采用隨機游走與有向流動兩種動力學機制來模擬流量波動現(xiàn)象，通過改變游走者規(guī)?；蛄鲃庸?jié)點對數(shù)量，可以分別生成= 0.5和= 1的標度指數(shù)。

波動標度的研究為科學家們難以深刻理解現(xiàn)實世界中復雜系統(tǒng)的困境帶來了希望。文獻[15]發(fā)現(xiàn)復雜網(wǎng)絡(luò)中的流量波動律并提出相應(yīng)的解釋模型之后，研究者們紛紛進入這個領(lǐng)域大展拳腳，為這個領(lǐng)域帶來一派繁榮[30]。在過去的十幾年中，研究者們從不同的角度提出了若干動力學或非動力學的模型[15, 31-38]來對這一現(xiàn)象進行解釋，對于復雜系統(tǒng)流量波動標度律的形成機制已經(jīng)有了越來越全面和深入的認識。流量波動律研究已逐漸成為復雜網(wǎng)絡(luò)動力學的一個重要研究方向。本文將對這一方向的主要研究進展進行回顧，并重點介紹提出的一種能夠覆蓋現(xiàn)有多數(shù)經(jīng)典流量波動規(guī)律的新數(shù)學模型。

1 離散標度指數(shù)及動力學模型

文獻[15]在嘗試同時刻畫復雜系統(tǒng)中成千上萬個節(jié)點的動力學特性時，發(fā)現(xiàn)在復雜網(wǎng)絡(luò)中單個節(jié)點的平均流量與流量標準差之間存在一種特征耦合：。經(jīng)過更深入的研究后，認為紛繁復雜的真實系統(tǒng)可以分成兩大類動力學系統(tǒng)或者說兩個離散的集合：1)= 1/2的系統(tǒng)(圖1)，如因特網(wǎng)[18]、微芯片[19]；2)=1的系統(tǒng)(圖2)，如萬維網(wǎng)[26]、高速公路網(wǎng)絡(luò)、天然的河流網(wǎng)絡(luò)[27-29]等。

為了更深入地理解這兩種系統(tǒng)的本質(zhì)差異，文獻[15]分別用隨機游走模型與有向流動模型來模擬真實系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)兩個模型模擬的結(jié)果均為=1/2。這一定程度上暗示了=1/2不是某個系統(tǒng)所獨有的屬性，甚至可能是由系統(tǒng)內(nèi)部某些因素所決定的特性。文獻[15]利用隨機游走模型的極限情況來幫助理解=1/2的本源：使用一種“表層糙化”的模型[39-40]，規(guī)定每個游走者只隨機走一步就會消失，這樣每個節(jié)點的流量就會隨時間線性增加，即：，而波動大小滿足，這樣便得到了。文獻[37]的研究者對時間進行更細致的劃分后，發(fā)現(xiàn)盡管在規(guī)則晶格中，隨著的增加，與的標度關(guān)系存在一個拐點，但在復雜網(wǎng)絡(luò)中，對于任意的，恒成立。這個結(jié)果也與文獻[15]的模型相吻合。

a. 萬維網(wǎng)訪問量波動特性

b. 河流流量波動特性

方程的兩項分別表示內(nèi)部因素的影響與外部環(huán)境變化的激勵。當時，，方程第2項就會消失，此時，但是當時，第2項就會對結(jié)果產(chǎn)生影響，當足夠大的時候，，那么每個節(jié)點的波動僅僅被外部驅(qū)動的變化決定，此時。

2 連續(xù)標度指數(shù)動力學模型

在探索連續(xù)標度指數(shù)動力學模型的過程中，文獻[31]的工作最具有代表性，認為文獻[15]的模型忽視了交通網(wǎng)絡(luò)動力機制中最重要的一個因素——每個節(jié)點同時處理數(shù)據(jù)包的數(shù)量是有限的。這個因素導致了數(shù)據(jù)包與數(shù)據(jù)包之間的相互作用，最終也使系統(tǒng)有了更大的波動行為，甚至是網(wǎng)絡(luò)的擁塞[47-49]。為了在模型中考慮這個至關(guān)重要的因素，文獻[31]基于排隊論[50]，用數(shù)據(jù)到達過程與服務(wù)過程兩個隨機過程來確定單個節(jié)點的行為。其模型以一個包含個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，每個節(jié)點被視為一個//1型排隊模型中的伺服器。這個排隊模型假設(shè)每個節(jié)點上會形成一個數(shù)據(jù)包組成的隊列，這個隊列的長度無限制，可以到達隊列的數(shù)據(jù)包個數(shù)也沒有限制。隊列中，數(shù)據(jù)包的到達過程被一個參數(shù)為的泊松分布控制[51]，而數(shù)據(jù)包的發(fā)送過程(服務(wù)時間)被參數(shù)為的指數(shù)分布所決定[52]。然后，用隨機游走來模擬數(shù)據(jù)包在網(wǎng)絡(luò)上的流動：每個數(shù)據(jù)包通過一個隨機選擇的節(jié)點進入網(wǎng)絡(luò)，一旦數(shù)據(jù)包到達被選定的節(jié)點就會進入上述模式的隊列，數(shù)據(jù)包在每個隨機步中僅能進入一個節(jié)點，并且經(jīng)過個隨機步后就會消失。另外，在這個模型中，數(shù)據(jù)包在點間投遞的時間被忽略不計。只要每個節(jié)點數(shù)據(jù)包的到達率小于等于它的發(fā)送率，系統(tǒng)就會進入一個靜止的狀態(tài)，否則系統(tǒng)就會出現(xiàn)擁塞。節(jié)點的到達率依賴于網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，并且其所遵循分布的均值為。網(wǎng)絡(luò)中擁有最大的節(jié)點決定了網(wǎng)絡(luò)擁塞的開始，記為。當時間窗的長度時，無論其他參數(shù)是多少，都會得到。進而可以得到：

a. 指數(shù)與,關(guān)系

b. 指數(shù)與,關(guān)系

c. 指數(shù)與,關(guān)系

圖3 指數(shù)隨,,和變化的關(guān)系曲線[31]

a. 時間窗為2天

b. 時間窗為1周

c. 時間窗為1個月

d. 時間窗為2個月

圖4 不同時間窗下，阿比林骨干網(wǎng)絡(luò)的流量波動[31]

3 統(tǒng)計物理模型

在突破復雜系統(tǒng)波動標度離散化的限制后，學者們又嘗試用統(tǒng)計物理理論研究波動的標度特征[33]，但是始終也沒有找到通用的波動標度規(guī)律，甚至有的學者[36]聲稱描述每一個節(jié)點流量波動行為的通用冪律標度是不存在的。直到2013年，文獻[38]提出了一個流量波動定律。該定律的推導不依賴于具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、路由等，只取決于一個因素：外部驅(qū)動。他們考慮在每個長度為的時間窗內(nèi)，外部驅(qū)動為R。當R是常數(shù)且服從泊松分布時，顯然。當R隨時間變化時，可由全概率公式推導出，。再由可以解析地得到流量波動與平均流量的普遍的關(guān)系式：，其中表示R的標準差。該公式能夠描述一般化的外界驅(qū)動下流量漲落與流量的關(guān)系。

文獻[38]通過計算機模擬(圖5)得到了各種分布的外界驅(qū)動形式(矩形波、均勻分布、泊松分布、高斯分布等)、不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(規(guī)則晶格、隨機圖和無標度網(wǎng)絡(luò)等)以及不同的路由策略(隨機行走、最短路徑、有效路徑等策略等)的流量漲落特征，實線為上述解析結(jié)果，與計算機模擬結(jié)果(圖5a，圖5b)和實際數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果(圖5c)符合得很好。這很好地驗證了上一段解析推得的關(guān)系式的正確性。此外，對城市交通流量的實際數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析不僅驗證了這個普遍關(guān)系式的正確性，還進一步驗證了該關(guān)系中的標度行為在不同平均流量區(qū)間的變化現(xiàn)象，這一現(xiàn)象此前一直沒有被實際數(shù)據(jù)驗證過。

a.R為常數(shù)的模擬結(jié)果

b.R變化時的模擬結(jié)果

之前得到的流量波動定律中波動大小會隨著流量的增長而單調(diào)增加，原則上這個規(guī)律是沒有問題的，但是它的合理性僅僅適用于大規(guī)模的同質(zhì)復雜系統(tǒng)。對于有限外部驅(qū)動的小規(guī)模復雜系統(tǒng)，這個定律就很可能被打破。比如一個小規(guī)模復雜系統(tǒng)中存在一個超級節(jié)點，系統(tǒng)中絕大多數(shù)的流量都會流過這個節(jié)點，也就說這個節(jié)點有著很大的流量但是流量的波動卻很小。一個來自真實數(shù)據(jù)的證據(jù)就是圖6a和圖6b中微芯片的流量波動關(guān)系圖。雖然在雙對數(shù)坐標下(圖6a)，真實數(shù)據(jù)(空心菱形)的流量波動行為幾乎與式(1)的預(yù)測(短線虛線)吻合，但如果在線性坐標下(圖6b)觀察，真實數(shù)據(jù)與式(1)的預(yù)測卻存在一個顯著的偏差。

a. 微芯片流量波動雙對數(shù)圖

b. 微芯片流量波動線性圖

c. 模擬系統(tǒng)1的雙對數(shù)圖

d. 模擬系統(tǒng)2的雙對數(shù)圖

e. 模擬系統(tǒng)1的線性圖

f. 模擬系統(tǒng)2的線性圖

g. 模擬系統(tǒng)1的拓撲結(jié)構(gòu)

h. 模擬系統(tǒng)2的拓撲結(jié)構(gòu)

圖6 微芯片與兩個模擬系統(tǒng)的流量波動特性[34]

為解決這一問題，文獻[34]的研究人員對文獻[38]解析推導進行了修正。他們將系統(tǒng)外部驅(qū)動與內(nèi)部波動對流量波動行為的影響區(qū)分對待。外部驅(qū)動代表外部世界對系統(tǒng)施加的負載，比如人類日常行為的影響[53]，這些來自外部的驅(qū)動決定了任意給定時間周期的系統(tǒng)總流量。在小規(guī)模系統(tǒng)或者異質(zhì)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)在的波動也必須被適當?shù)匾?，這將為式(1)帶來一個非平凡的修正。

研究者們基于一個有條邊的網(wǎng)絡(luò)進行研究，在靜態(tài)規(guī)則下，每一個給定的數(shù)據(jù)包到達有條邊的節(jié)點的概率是，并且[36]。如果這個系統(tǒng)有一個恒定不變的外部驅(qū)動，那么節(jié)點的平均流量。如果隨時間變化，遵循著某種分布，研究人員假設(shè)節(jié)點得到個數(shù)據(jù)包的概率遵循二項分布。經(jīng)過數(shù)學推導可以得到：

從圖6a和圖6b中可以看出，式(3)的預(yù)測(圓點虛線)更加吻合實際數(shù)據(jù)。而式(3)對異質(zhì)性網(wǎng)絡(luò)的有效性可以通過計算機仿真來驗證，研究人員模擬了一個異質(zhì)性網(wǎng)絡(luò)，它在雙對數(shù)坐標與線性坐標下的流量波動特性分別在圖6c和圖6e中展示，拓撲結(jié)構(gòu)在圖6g中表示。類比前文的分析，容易看出數(shù)據(jù)與式(1)的預(yù)測存在一個顯著的偏差，但與式(3)完美吻合。如果考慮一個極端情況，為該異質(zhì)性網(wǎng)絡(luò)增加一個流量幾乎為的超級樞紐節(jié)點，式(3)仍然有效(圖6d、圖6f和圖6h)。經(jīng)過大量的仿真驗證，文獻[34]的研究人員得出結(jié)論：過去的理論只是式(3)的一個特例，而式(3)提供了對流量波動律的更一般的描述，適用于不同規(guī)模的系統(tǒng)和不同異質(zhì)性的系統(tǒng)。

4 物理模型的數(shù)學統(tǒng)一

本文嘗試用一套初等的數(shù)學模型去統(tǒng)一之前的多種主流物理模型，希望能夠為研究人員提供一個從數(shù)學角度思考復雜系統(tǒng)的方法。

假設(shè)一個系統(tǒng)有個節(jié)點，設(shè)隨機變量F為第個節(jié)點的流量，隨機變量為整個系統(tǒng)的外部驅(qū)動，并且F與均為離散型隨機變量。已知：

1)服從某種分布，即已知外部驅(qū)動為時的概率，記為，=0,1,2,3,…

2) 當=時，F服從某種分布，即已知外部驅(qū)動給定為時，第個節(jié)點流量為的概率，換句話說，就是第個節(jié)點從個外部驅(qū)動包中獲取個包的概率，記為，,∈。

下面分情況討論和F取不同分布時，系統(tǒng)流量波動律的變化：

1) 若服從單點分布，即是常數(shù)，也就是說，由于不變化，也就沒有外部環(huán)境變化引起的項。

(4)

(5)

(6)

(9)

上述結(jié)果可以覆蓋絕大多數(shù)之前的物理模型：當是常數(shù)時，服從泊松分布得到的式(4)與服從指數(shù)分布得到的式(5)分別反映的是文獻[15]中= 0.5與= 1的系統(tǒng)，而靜態(tài)模型的基礎(chǔ)上，加上外部驅(qū)動變化因素得到的式(8)，這與文獻[15]得到的最終結(jié)果相吻合。如果仍然讓是常數(shù)，并且服從兩點分布，式(7)就可以很自然的得到，顯然與文獻[31]得到的式(2)相吻合。如果在服從二項分布的基礎(chǔ)上，增加外部環(huán)境變化因素的影響，可以推導出與文獻[34]結(jié)果式(3)完全一致的式(10)。另外，式(9)為，其波動標度大于1，可以嘗試用這個公式去解釋一些特殊系統(tǒng)，如網(wǎng)絡(luò)空間與物理空間的人類活動[54]

本文工作仍然存在一些不足：

1) 以上的分析均是通過數(shù)學假設(shè)得到的結(jié)果，并未考慮物理過程可行性所需的條件；

2) 本文的模型是在各節(jié)點流量同分布前提下考慮的，沒有考慮各個節(jié)點流量有不同分布的情況；

3) 當節(jié)點流量服從某種期望值或方差不收斂的分布時，結(jié)果將會有所不同。

盡管如此，本文的數(shù)學模型嘗試著去統(tǒng)一框架解釋現(xiàn)有主流流量漲落物理模型，或許能為其他研究者更深入地理解復雜系統(tǒng)流量波動規(guī)律帶來啟發(fā)。

5 結(jié)束語

探索和揭示隱藏在各種復雜現(xiàn)象背后的簡潔規(guī)律是復雜系統(tǒng)研究的永恒主題。流量波動標度律恰恰是這樣一種典型的規(guī)律，且由于它對理解復雜系統(tǒng)動力學特征的重要性，使其成為復雜系統(tǒng)研究領(lǐng)域持續(xù)關(guān)注的一個重要問題。

文獻[15]的研究為揭示各類復雜系統(tǒng)中流量波動律形成的低層機制邁出了開創(chuàng)性的一步。但正如他們在人類動力學研究中發(fā)現(xiàn)“普適”標度律的情形[55-56]類似，后續(xù)的大量理論和實證研究都表明，=0.5與=1兩個離散標度指數(shù)遠不能覆蓋各類復雜系統(tǒng)中的流量波動標度關(guān)系，且隨機游走與有向流動兩種簡化的動力學過程也不能很好解釋實際復雜系統(tǒng)中各種內(nèi)、外部因素作用對流量波動的影響。

為解決這些問題，國內(nèi)外學者十幾年來陸續(xù)提出了考慮個體異質(zhì)性及不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的隨機游走模型[32, 37]、考慮數(shù)據(jù)包擁塞的排隊模型[31]、考慮內(nèi)外部驅(qū)動影響的流量漲落模型[34, 38]等多種物理模型試圖解釋復雜系統(tǒng)流量波動律的可能成因，這些工作使人們對復雜系統(tǒng)流量波動標度律的形成機制有了越來越全面和深入的認識。但隨之而來的問題是，這些模型的假設(shè)往往只針對一類或幾類特定的系統(tǒng)，缺乏普適性。似乎已經(jīng)背離了揭示復雜現(xiàn)象背后一致規(guī)律的初衷。

正所謂“天下大勢，分久必合，合久必分”，理論研究也同樣是如此這般分分合合、螺旋上升。本文認為，未來對于復雜系統(tǒng)流量波動律的研究，一定會回歸探索各類復雜系統(tǒng)背后一致規(guī)律的本質(zhì)。而本文提出的簡單數(shù)學模型，可以看作是一種初步嘗試。這一模型雖然缺乏對特定系統(tǒng)物理意義的描述，但卻能夠用一個統(tǒng)一的數(shù)學框架覆蓋之前大多數(shù)經(jīng)典的流量波動律模型。希望本文的工作能為其他研究者更深入理解各類復雜系統(tǒng)中流量波動律的共性和個性帶來啟發(fā)，共同推進這一研究領(lǐng)域的深入發(fā)展。

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編 輯 蔣 曉

Flux-Fluctuation Law in Complex Systems: a Survey

HU Yi-chen1,2, ZHAO Zhi-dan1,2, CAI Shi-min1,2, HUANG Zi-gang3, RONG Zhi-hai1,2, and ZHOU Tao1,2

(1. Big Data Research Center, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731; 2. Web Science Center, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731; 3. Institute of Computational Physics and Complex Systems, Lanzhou University Lanzhou 730000)

Flux-fluctuation law means the scaling relationship between the mean and the stand errors of traffic in networks. This law has been observed in a wide range of complex systems. Understanding the origin of flux-fluctuation law is fundamental and significant to the dynamics of complex systems. This review article summarizes the state-of-the-art progresses of flux-fluctuation law in complex systems, and give a detailed description of typical models and major results in this area. Moreover, we propose an easy mathematical model, with which we use the mathematic language to provide a universal framework for previous major models. Furthermore, this article reviews the advanced and insufficient points of related works, and points out some unsolved challenges in both theoretical and practical aspects.

complex systems; flux-fluctuation law; scaling laws; Taylor’s law

N94

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.02.021

2016-03-08；

2016-08-09

國家自然科學基金(61473060，61603074，61673085，61673086，61433014)；中央高校基金(ZYGX2015J156)；中國博士后基金(2014M552350)；上海出版印刷高等?？茖W校國家骨干校建設(shè)項目(SAYB1402)

呼一辰(1995-)，男，主要從事人類動力學、數(shù)據(jù)挖掘、人工智能等方面的研究.