穩(wěn)定同倫群(Mζ(n,d)∧MBO＜n+1＞)撓元的計算

駱 芳

（云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650500）

駱 芳

（云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650500）

本文利用代數(shù)拓撲中的Adams譜序列、Thom譜以及B-配邊理論等知識給出高維穩(wěn)定同倫群撓元的計算，進而得出同倫群(Mζ(n,d)∧MBO＜n+1＞)的值。

高維同倫群；穩(wěn)定同倫群；Adams譜序列；Thom譜、B-配邊理論

1 背景介紹與預(yù)備知識

高維同倫群的計算一直是代數(shù)拓撲的難點與熱點問題，1956年法國著名數(shù)學(xué)家J.P.Serre就因為球面同倫群的計算工作而獲Fields獎。人們發(fā)現(xiàn)同倫群的自由部分可以用美國著名數(shù)學(xué)家，沃爾夫獎得主D.P. Sullivan提出的極小模型理論來解決。[1]但是撓元計算起來卻極為困難。所以人們進而研究穩(wěn)定同倫群來計算同倫群的撓元。起初，人們對群面穩(wěn)定同倫群進行大量的研究， 在這方面我國的學(xué)者林金坤，王向軍等做出了一定的貢獻。[2]穩(wěn)定同倫群的計算起源于代數(shù)幾何中超曲面完全交的微分同肧分類問題。[3]近年來同倫群的計算在弦理論中也有著重要的應(yīng)用，[4]所以同倫群的計算問題有著重要的理論與實際意義。

定義1.同倫群[5,6]：滿足的所有同倫類組成的群 πn(M,x0)叫做同倫群.其中x0為拓撲空間M中固定的一個點。

由此可見，高維同倫群是基本群在高維的推廣。由定義易知 (M, x)與x0的選擇無關(guān)。所以為了方便起見，我們用記號πn(M)來代替 πn(M, x0)。

定義2.Thom譜[5,7]：如果復(fù)形序列計算已得到的一些結(jié)滿足：＜∑Kn,Kn+1＞=＜Kn,ΩKn+1＞，則復(fù)形序列{Kn}以及由同倫等價映射所誘導(dǎo)的映射 (∑Kn→Kn+1)∈＜∑Kn,Kn+1＞ ，n∈稱為Thom譜，Thom譜的逆向極限記為MKn。其中 ∑K=SK/(x0×[0,1]),x0∈K, SK 為K的雙角錐，ΩK為K的路徑空間。[4,5]

定義3.穩(wěn)定同倫群[4,7]:對 于n連通的CW復(fù)形X，當(dāng)i＜2n+1時，，我們把它們記為，稱它為X的穩(wěn)定同倫群。

下面我們將介紹Adams 譜序列,它是從計算球面穩(wěn)定同倫群而產(chǎn)生和發(fā)展起來的工具。

如果m維流形 M1,M2為m+1維流形W的邊界，即M1M2=?W,則稱 配邊于M2。所有m-維閉流形按配邊等價關(guān)系組成一個群，我們稱為配邊群，記為:所有m維閉流形/配邊關(guān)系。

定義5.B-配邊：[10]如果 配邊于M2，即 M1M2=?W，且對于映射v∶W →BO以及 B→BO存在提升∶ W →B即滿足下列交換圖表：

則稱M1B-配邊于M2。滿足條件的m維閉流形按B配邊等價關(guān)系組成一個群，我們稱為B配邊群,記為Ωm(B)=:滿足條件的m維閉流形/B配邊關(guān)系。為以∞為底空間，以-(n+r+1)H⊕Hd1⊕…⊕ Hdr為叢空間的向量叢。其中H為P∞的典范復(fù)線叢，d1d2…dr=d。已有的結(jié)果表明無論 d1, d2,…dr怎么取 ，只要d1d2…dr=d，則是同構(gòu)的，所以不失一般性，我們不妨記為ζ(n, d)。對于穩(wěn)定同倫群的計算，已經(jīng)有一些特殊的結(jié)果，比如的非撓元素可以由所確定，其中為空間Mζ(n, d)∧MBO＜n+1＞的第i個有理同調(diào)群[8,11]。

2 主要定理及其證明

為了得到定理1，我們首先證明一個引理

引理1：對于Mζ(n,d)∧MBO＜n +1＞的mod pAdams譜序列的濾子至少有vp(d)個，其中p為素數(shù)，d=∏pvp(d)。

證明：Mζ(n,d)∧MBO＜n+1＞的modpAdams譜序列可以寫成如下形式

為了書寫簡便,記X=Mζ(n,d)∧MBO＜n +1＞。因為所以

結(jié)合上面的結(jié)論，下面我們證明定理1。

證明：易知Mζ(n,d)∧MBO＜n +1＞的modp譜序列有?/p[ h0]-模結(jié)構(gòu)。記，則E按? /p[ h]-?？梢詫憺镋=TE⊕FE,其中FE為自由r0rrrr/p[ h0]-模，所以易知E∞的撓元屬于TE∞。

由[14]可知，在(-1)-連通的Thom譜中，當(dāng)。因為連通的Thom譜，所以結(jié)論成立。當(dāng)p(p-1)≤n+1由s≥2且t-s≤2(p-1)·s-1以及上面的條件可得。所以當(dāng) p( p - 1) ＜n+ 1且的撓元為0。

3 結(jié)論

代數(shù)拓撲是一門十分活躍的數(shù)學(xué)分支。本文利用代數(shù)拓撲中的Adams譜序列、Thom譜以及B-配邊理論等知識給出高維穩(wěn)定同倫群撓元的計算，最后，我們得出此同倫群的撓元為0.結(jié)合

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[責(zé)任編輯劉貴陽]

Abstract:In this paper, we use the knowledge of algebraic topology such as Adams spectral sequence, Thom spectrum and B-bordism theory to give the computation of torsion elements of higher homotopy group. And so we get the value of

Key words: Higher homotopy group; Stable homotopy group; Adams spectral sequence; Thom spectrum; B-bordism theory

Computation of Torsion Elements of Stable Homotopy Group(Mζ(n,d)∧MBO＜n +1＞)

LUO Fang
(Department of Mathematics ,Yunnan normal university, Kunming 650500, China)

O189.3+2

A

1008-9128（2017）05-0124-05

10.13963/j.cnki.hhuxb.2017.05.034

2016-12-27

駱芳（1987-），女，云南昭通人，碩士生，研究方向：非線性泛函分析以及代數(shù)拓撲等數(shù)學(xué)方面的研究。