引入多樣情境，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)列概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 張素婷

引入多樣情境，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)列概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 張素婷

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征［1］.

如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)是教學(xué)實(shí)施者關(guān)心的問(wèn)題，凡是概念學(xué)習(xí)均能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).本文僅從數(shù)學(xué)情境這一環(huán)節(jié)以“數(shù)列概念”為例，探討如何在課堂教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，旨在拋磚引玉.

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)數(shù)列概念教學(xué)的要求是通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)［2］.所謂了解，就是對(duì)所學(xué)知識(shí)有初步的感性認(rèn)識(shí)，知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么，會(huì)按照一定的程序和步驟操作，并會(huì)模仿地利用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.對(duì)于數(shù)列的概念而言，能由一些具體事例分析出數(shù)列的共同屬性，歸納出本質(zhì)屬性，能用數(shù)學(xué)符號(hào)給予表征，能通過(guò)觀察感知實(shí)際情境表示出數(shù)列，從而領(lǐng)悟數(shù)列與函數(shù)的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，能識(shí)別哪些是數(shù)列，這是一個(gè)具體-抽象-具體的過(guò)程，是形象思維到抽象思維的過(guò)渡，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，故而數(shù)列概念可作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)良好的培養(yǎng)基.

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理論基礎(chǔ)

眾所周知，概念教學(xué)是課堂教學(xué)的重中之重，而數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程實(shí)則數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的抽象依靠抽象思維，是在對(duì)事物的數(shù)形屬性進(jìn)行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性，使認(rèn)識(shí)從感性的具體進(jìn)入抽象的規(guī)定，形成數(shù)學(xué)概念［1］.

以上述理論為依據(jù)來(lái)看數(shù)列概念教學(xué)，數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，是研究其他函數(shù)的基本工具，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.因此，著眼于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，可以學(xué)生熟悉的客觀世界中的特殊函數(shù)模型為載體，構(gòu)建多樣化的問(wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷如下幾個(gè)問(wèn)題的抽象思維過(guò)程：

（1）每個(gè)問(wèn)題中所涉及的量與量之間有何數(shù)量關(guān)系？

（2）能用數(shù)學(xué)的方式來(lái)表示嗎？如表格、圖像、通項(xiàng)公式（含遞推公式）.

（3）能抽象出上述問(wèn)題的共性嗎？

（4）能概括出上述問(wèn)題的本質(zhì)屬性，并用符號(hào)化表達(dá)嗎？

在觀察、分析、比較、概括的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在這個(gè)過(guò)程中設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題情境顯得尤為重要.數(shù)列概念雖然簡(jiǎn)單，許多教師采用“天上掉下個(gè)林妹妹”式的方法直接給出數(shù)列的概念，省去了學(xué)生抽象概括的思維過(guò)程，這無(wú)疑是剝奪了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化思考和表達(dá)的機(jī)會(huì).由于數(shù)列這一概念是建立在函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上，可從特殊函數(shù)出發(fā)，同化出數(shù)列的概念；另一方面，數(shù)列概念與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化密切相關(guān)，可從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“形數(shù)”講起，甚至還可以從生活中的數(shù)列創(chuàng)設(shè)情境.總之，引入多樣化的情境能為數(shù)列的概念教學(xué)提供豐富的教學(xué)資源，為發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)提供感性的材料.

三、多樣化的情境引入

1.數(shù)學(xué)史情境

數(shù)列的概念可從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”講起：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一個(gè)基本的信條——萬(wàn)物皆數(shù)，他們認(rèn)為世界萬(wàn)物都包含數(shù)，都能用數(shù)來(lái)解釋.傳說(shuō)，他們經(jīng)常在沙灘上用小石子擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).

觀察圖1：

圖1

問(wèn)題1：圖1是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石頭擺出來(lái)的圖形，你能猜一猜他們想表示哪些數(shù)嗎？

問(wèn)題2：你能不能嘗試著再接著往后畫(huà)出幾個(gè)圖形呢？它們分別表示哪些數(shù)？

填表：

表1 三角形數(shù)

由于1，3，6，10，15，…這些數(shù)都能夠表示成三角形，他們就將其稱為三角形數(shù).類似地，他們還研究了正方形數(shù).

活動(dòng)：請(qǐng)大家嘗試畫(huà)一畫(huà)正方形數(shù)的圖形.看看你畫(huà)的和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家畫(huà)的是一樣的嗎？

多媒體展示：

圖2

問(wèn)題3：圖2中的小石頭表示了哪些數(shù)？你能接著再往后寫(xiě)幾個(gè)數(shù)嗎？

填表：

表2 正方形數(shù)

問(wèn)題4：請(qǐng)觀察表1、表2中的數(shù)，這兩列數(shù)有什么共同特征？

小結(jié)：像這樣，按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

問(wèn)題5：數(shù)列中不同的項(xiàng)能調(diào)換順序嗎？由此你認(rèn)為數(shù)列中的每一項(xiàng)與什么有關(guān)？

小結(jié)：數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它所在的順序（序號(hào)）有關(guān)，排在首位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)（也稱首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng)，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).為了研究方便，數(shù)列可以用符號(hào)表示成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為｛an｝.

可見(jiàn)，數(shù)列｛an｝中的每一項(xiàng)ak與其序號(hào)k（k=1，2，...，n，...）之間有著下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：

問(wèn)題6：從上述對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)看，你對(duì)數(shù)列有何更深的理解？

問(wèn)題7：｛an｝和an所表示的含義一樣嗎？

……

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課是數(shù)列章節(jié)的第一節(jié)課，也是概念課，需要學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的抽象思維過(guò)程，而抽象化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言難免枯燥，于是選擇了融入數(shù)學(xué)史的方式作為情境引入，意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛.引導(dǎo)學(xué)生跟隨哲人的步伐，回到古希臘與古人對(duì)話，以“形數(shù)”為載體，在畫(huà)圖填表等活動(dòng)中，逐步從具體走向抽象，用數(shù)形結(jié)合的思想方法助推建立起數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)數(shù)列的符號(hào)化表達(dá)，進(jìn)一步理解數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)，旨在提升數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，從而獲得數(shù)列概念.

2.生活情境

等差數(shù)列可從生活中隨處可見(jiàn)的例子講起：

你知道“麥田怪圈”嗎？麥田怪圈是在麥田或其他農(nóng)田上，通過(guò)這種力量把農(nóng)作物壓平而產(chǎn)生的幾何圖案（如圖3），這個(gè)麥田圈是由一組同心圓構(gòu)成，最里面的圓半徑為1m，其他的圓半徑

依次增加1m.那么，同心圓半徑由內(nèi)向外依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列？由小到大的同心圓周長(zhǎng)依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列？

圖3

生活中還有許多這樣的數(shù)列，你能舉出這樣的例子嗎？

①下面小張雙十一在淘寶上買鞋時(shí)的尺碼（單位：cm）：

22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5.

②在過(guò)去的三百多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986.

③武漢劇院的雙號(hào)座位號(hào)：

38，40，42，44，46，…

④第一屆奧運(yùn)會(huì)始于1896年，此后每四年舉行一次：

1896，1900，1904，1908，1912，1916，…

問(wèn)題1：請(qǐng)觀察上述數(shù)列，它們有什么共同特征？

小結(jié)：像這樣，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公差，通常用d來(lái)表示.

問(wèn)題2：怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)表示等差數(shù)列的特征？

問(wèn)題3：你能概括出什么是等差數(shù)列嗎？

問(wèn)題4：分別作出它們的圖像，說(shuō)說(shuō)圖像有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：能通過(guò)對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題的分析對(duì)比，觀察歸納，建立等差數(shù)列模型，讓學(xué)生繼續(xù)感受數(shù)列的函數(shù)特征，并進(jìn)一步理解數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，將等差數(shù)列與一次函數(shù)進(jìn)行類比.

3.故事情境

等比數(shù)列的概念可從一個(gè)流傳已久的故事說(shuō)起：

在古代，有一個(gè)聰明的大臣發(fā)明了國(guó)際象棋，國(guó)王想要獎(jiǎng)勵(lì)他，然而大臣卻只想要一些麥子，他說(shuō)：請(qǐng)陛下在棋盤的第一個(gè)方格放1粒麥子，第二個(gè)方格放2粒麥子，第三個(gè)方格放4粒麥子，…以此類推，直到第64個(gè)方格.

問(wèn)題1：麥子數(shù)形成的數(shù)列1，2，4，8，16，…有何特點(diǎn)？

然而，數(shù)學(xué)概念的形成需要大量的實(shí)例反復(fù)感知，僅有這一個(gè)數(shù)列無(wú)法發(fā)現(xiàn)出等比數(shù)列的本質(zhì)屬性.因此，筆者對(duì)這個(gè)故事情境進(jìn)行了續(xù)集改編，從而得到另一個(gè)常見(jiàn)的等比數(shù)列：

棋盤事件讓國(guó)王顏面盡失，但國(guó)王非常好學(xué)，通過(guò)學(xué)習(xí)，他對(duì)這種數(shù)列有了新的認(rèn)識(shí)，于是他又召見(jiàn)了大臣，說(shuō)：“我很遺憾國(guó)庫(kù)里沒(méi)有這么多麥子，但我這里有一根1米長(zhǎng)的金手杖，我決定在10天之后把它賞賜給你，但從今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［3］

問(wèn)題3：這兩個(gè)數(shù)列有什么共同特征？

問(wèn)題4：通過(guò)觀察，比較，你能歸納出等比數(shù)列的特征嗎？

問(wèn)題5：你能類比等差數(shù)列的定義，概括出等比數(shù)列的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)喜聞樂(lè)見(jiàn)的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生在“新、奇、趣”的情境中感知等比數(shù)列的本質(zhì)特征，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用抽象化、符號(hào)化的語(yǔ)言概括出了等比數(shù)列的概念.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，因此這里概念的形成完全可以類比等差數(shù)列，可進(jìn)一步理解概念與概念之間的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn)，形成一般性的思考問(wèn)題的習(xí)慣，這也是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目的之一.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它能幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題［4］.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).本文試圖從情境引入環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)教學(xué)來(lái)尋求發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的途徑，如何更有效地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是可繼續(xù)研究的方向.

1.章建躍.樹(shù)立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（5）.

2.中華人民共和國(guó)教育部：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)），人民教育出版社2003年版.

3.楊玉東，王兄.運(yùn)用關(guān)鍵性教學(xué)事件分析支撐中國(guó)式數(shù)學(xué)課例研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）.

4.彭翕成.例說(shuō)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論，2016（5）.