螺旋式上升背景下教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的研究
——基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1與必修4函數(shù)圖像變換編寫(xiě)的比較

☉江蘇省昆山中學(xué) 劉校國(guó)

螺旋式上升背景下教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的研究
——基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1與必修4函數(shù)圖像變換編寫(xiě)的比較

☉江蘇省昆山中學(xué) 劉校國(guó)

課程標(biāo)準(zhǔn)下，高中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的指導(dǎo)思想為“改進(jìn)教學(xué)和學(xué)習(xí)的方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)”，因此作為一線的教育工作者，要認(rèn)識(shí)到教材在教育教學(xué)中發(fā)揮的引導(dǎo)作用.為了真正落實(shí)素質(zhì)教育，滿足當(dāng)前我國(guó)基礎(chǔ)教育的需求，教材編寫(xiě)應(yīng)該始終貫徹“螺旋式上升”的原則，而“螺旋式上升”要體現(xiàn)在內(nèi)容的深度、廣度和呈現(xiàn)方式上.筆者將蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1和必修4中有關(guān)“函數(shù)圖像”的內(nèi)容作為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)比分析得出：從教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度上來(lái)看，教材編寫(xiě)貫徹了“螺旋式上升”的原則；從教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上來(lái)看，教材編寫(xiě)未能做到“螺旋式上升”，具體情況匯報(bào)如下：

一、教學(xué)內(nèi)容在深度、廣度上，滲透了“螺旋式上升”原則

螺旋式上升可以從螺旋和上升兩個(gè)方面理解.基于教學(xué)內(nèi)容來(lái)講，“螺旋”體現(xiàn)在相同的學(xué)習(xí)主題，而學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度、廣度上卻不相同；“上升”體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度加深，廣度更闊，而不是機(jī)械的再現(xiàn)重復(fù)，簡(jiǎn)單來(lái)講，就是層次上有所提升.函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，而圖像變換是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一.通過(guò)分析研讀教材，高中函數(shù)的“圖像變換”主要涉及了平移、縱向伸縮、橫向伸縮及翻折等方面的內(nèi)容，它主要的研究對(duì)象是指數(shù)函數(shù)圖像、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及三角函數(shù)圖像，主要研究圖像的變換.

通過(guò)研讀蘇教版高中數(shù)學(xué)教材發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)圖像的變換和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的變換是在高中數(shù)學(xué)教材必修1中出現(xiàn)的，而三角函數(shù)圖像的變換卻是在高中數(shù)學(xué)教材必修4中出現(xiàn)的.筆者為了研究“圖像變換”的相關(guān)內(nèi)容，重點(diǎn)將與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)相關(guān)的章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了對(duì)比和研究，并將其教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的順序，進(jìn)行了歸納，形成了圖1.

圖1

通過(guò)圖1可以看出，“指數(shù)函數(shù)圖像的變換”——“對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的變換”——“三角函數(shù)圖像的變換”，它們研究的內(nèi)容都是“函數(shù)圖像的變換”，但是它們研究的載體卻發(fā)生了變化.從教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度更深了，學(xué)習(xí)內(nèi)容的廣度更闊了.

二、教學(xué)內(nèi)容在呈現(xiàn)方式上，未能做到“螺旋式上升”

在基礎(chǔ)教育改革深入開(kāi)展的今天，高中階段教育工作者的教學(xué)任務(wù)已經(jīng)不再是簡(jiǎn)單的傳授知識(shí)，而是要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握各種學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生的綜合素養(yǎng)得到提升.教學(xué)是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的重要載體，因此在日常的教學(xué)中，教育工作者要認(rèn)識(shí)到“教材”的重要性，對(duì)其進(jìn)行研讀，而不能夠機(jī)械地按照教材施教，不利于引導(dǎo)學(xué)生形成完整的、合理的知識(shí)體系.例如，筆者研讀了蘇教版高中數(shù)學(xué)“函數(shù)圖像變換”的相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)“合情推理和演繹推理”確實(shí)已經(jīng)融入到了教材教學(xué)內(nèi)容中.編寫(xiě)者在編寫(xiě)教材時(shí)，即將“合情推理和演繹推理”作為獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)，還將“合情推理和演繹推理”作為引領(lǐng)數(shù)學(xué)的方式呈現(xiàn).對(duì)比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，它們呈現(xiàn)的方式可以歸納為“作圖、觀察——思考分析——具體結(jié)論——函數(shù)一般式”，筆者在此將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)作為研究對(duì)象，進(jìn)行分析研究.

1.指數(shù)函數(shù)

以指數(shù)函數(shù)為對(duì)象研究：首先，通過(guò)“描點(diǎn)法”（又稱(chēng)“七點(diǎn)法”）繪制出函數(shù)y=2x、y=2x-2、y=2x+2的圖像；然后，當(dāng)x=a+2時(shí)，y=2x-2=2a；當(dāng)x=a時(shí)，y=2x=2a，通過(guò)對(duì)比思考，“x=a+2時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=2x-2的值”與“x=a時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=2x的值”是相等的；再次，得出結(jié)論：函數(shù)y=2x+2的圖像能夠通過(guò)平移函數(shù)y=2x的圖像得到；最后，以“思考”的形式呈現(xiàn)：函數(shù)y=ax+h的圖像與函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，h≠0）的圖像之間有怎樣的關(guān)系？.

取“x”為-4、-3、-2、-1、0、1、2這七個(gè)數(shù)，將其分別代入到函數(shù)y=2x、y=2x-2、y=2x+2中，得出y值，具體為表1.

表1 函數(shù)y=2x、y=2x-2及y=2x+2的取點(diǎn)概況

根據(jù)表1，在坐標(biāo)系中，繪制出函數(shù)y=2x、y=2x-2及y=2x+2的圖像，具體如圖1.

圖1 指數(shù)函數(shù)y=2x-2、y=2x及y=2x+2的圖像

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

以“對(duì)數(shù)函數(shù)”為研究對(duì)象：首先，通過(guò)“描點(diǎn)法”繪制對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x、y=log3（x+2）的圖像；然后，當(dāng)x=a-2時(shí)，函數(shù)y=log3（x+2）=log3a，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=log3x=log3a，通過(guò)對(duì)比思考，“x=a-2時(shí)，函數(shù)y=log3（x+2）的值”與“x=a時(shí)，函數(shù)y=log3x的值”是相等的；再次，得出結(jié)論：通過(guò)平移對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x的圖像可以得到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3（x+2）的圖像；最后，以“思考”的形式呈現(xiàn)：函數(shù)y=loga（x+h）與函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，h≠0）的圖像有怎樣的關(guān)系？

取“x”為-2、-0.5、0、1、1.5、2、3這“七個(gè)數(shù)”，分別將“x”代入到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x和y=log3（x+2）中，求得y值，具體見(jiàn)表2.

表2 函數(shù)y=log3x、y=log3（x+2）的取點(diǎn)概況

根據(jù)表2，在坐標(biāo)系中，制作出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x、y=log3（x+2）的圖像，具體如圖2.

圖2 對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x、y=log3（x+2）的圖像

3.三角函數(shù)

三角函數(shù)的相位變換、周期變化和振幅變換的呈現(xiàn)方式完全相同，因此，教材編寫(xiě)者選擇了“相位變換”的方式呈現(xiàn)教材.通過(guò)觀察、對(duì)比函數(shù)y=sinx與y=sin（x+1）的圖像（圖3），得出“x=a時(shí)，函數(shù)y=sinx的值”與“x=a-1時(shí)，函數(shù)y=sin（x+1）的值”相等，進(jìn)一步分析研究可以發(fā)現(xiàn)：通過(guò)平移函數(shù)y=sinx的圖像可以得到函數(shù)y=sin（x+1）的函數(shù)圖像.最終，直接言明結(jié)論：當(dāng)φ＞0時(shí)，將三角函數(shù)y=sinx的圖像向左平移|φ|個(gè)單位可以得到函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖像；當(dāng)φ＜0時(shí)，將三角函數(shù)y=sinx的圖像向右平移|φ|個(gè)范圍可以得到函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖像.

圖3 函數(shù)y=sinx與y=sin（x+1）的圖像

通過(guò)上述內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)強(qiáng)調(diào)了“特殊——一般”，同時(shí)利用了“歸納推理”的方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并通過(guò)合理的邏輯推理研究問(wèn)題，獲得知識(shí).從教學(xué)內(nèi)容上來(lái)講，它呈現(xiàn)的方式過(guò)渡依賴于“合情推理”，而未能給貫徹“螺旋上升”的原則，具體表現(xiàn)為：教材編寫(xiě)未能給立足學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維規(guī)律，并且教材內(nèi)容呈現(xiàn)機(jī)械單一，不利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、探究能力，進(jìn)而使學(xué)生的探究素養(yǎng)得不到培養(yǎng)和提升.

三、建議

1.指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)出現(xiàn)于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的必修1中，它服務(wù)于剛剛步入高中階段不久的新生.高一新生仍舊處于初、高中的銜接階段，他們并未能夠完全適應(yīng)高中階段的學(xué)習(xí)生活，因此指數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容可以遵循“循序漸進(jìn)”的原則，仿照“二次函數(shù)”圖像變換呈現(xiàn)的方式編寫(xiě)“指數(shù)函數(shù)”圖像變換的相關(guān)內(nèi)容.這樣以來(lái)，降低了學(xué)生的陌生感，使學(xué)生能夠高效地、快速地完成學(xué)習(xí)目標(biāo).

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

“對(duì)數(shù)函數(shù)”與“指數(shù)函數(shù)”同樣出現(xiàn)于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1中，且它們是相鄰而居，指數(shù)函數(shù)在前，對(duì)數(shù)函數(shù)緊隨.因此，可以遵循“類(lèi)比推理”的原則，將“指數(shù)函數(shù)”圖像變換的相關(guān)內(nèi)容呈現(xiàn).這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)事物看本質(zhì)，使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想得到培養(yǎng).

3.三角函數(shù)

“三角函數(shù)”圖像變化的相關(guān)內(nèi)容出現(xiàn)于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修4中，學(xué)生已經(jīng)掌握了“對(duì)數(shù)函數(shù)”圖像變換的相關(guān)內(nèi)容，因此可以采用“演繹推理”方式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回歸到函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知上，通過(guò)演繹推理得出結(jié)論.

概括來(lái)說(shuō)，從思維層次上來(lái)講，“理性思考——得出具體結(jié)論——作圖驗(yàn)證——一般式”的方式要高于“作圖、觀察——思考分析——具體結(jié)論——函數(shù)一般式”的方式，這恰恰體現(xiàn)了“螺旋式上升”.

1.孔凡哲.基礎(chǔ)教育新課程中“螺旋式上升”的課程設(shè)計(jì)和教材編排問(wèn)題探究［J］.教育研究，2007（5）.

2.曾榮.演繹推理讓數(shù)學(xué)課堂充滿理性與智慧——“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)實(shí)錄與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（4）.F