基于能量守恒原理的金屬壓縮流動(dòng)應(yīng)力修正方法

賈 東，黃西成，莫 軍，胡文軍

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基于能量守恒原理的金屬壓縮流動(dòng)應(yīng)力修正方法

賈 東，黃西成，莫 軍，胡文軍

(中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 621900)

通過軸對(duì)稱缺口圓柱試件設(shè)計(jì)，消除了端面摩擦對(duì)金屬(特別是延性金屬)試件壓縮變形行為的影響?；趬嚎s過程中外力功與試件內(nèi)能之間的能量守恒原理，推導(dǎo)了壓縮流動(dòng)應(yīng)力的近似修正公式，并給出了相應(yīng)的迭代修正過程。針對(duì)鋁合金2024，利用修正后的流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系對(duì)壓縮過程中試件的最小橫截面直徑和內(nèi)能進(jìn)行了預(yù)測，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。研究結(jié)果表明：在整個(gè)壓縮過程中，試件的最小橫截面直徑的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值吻合，且試件內(nèi)能與實(shí)驗(yàn)外力功始終保持一致，從而驗(yàn)證了該修正方法的有效性。

流動(dòng)應(yīng)力；端面摩擦；缺口圓柱試件；能量守恒；迭代修正

有限元數(shù)值模擬是金屬塑性成形過程分析的重要研究手段，而準(zhǔn)確的流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系是對(duì)該過程進(jìn)行數(shù)值分析的重要前提。由于金屬成形過程主要處于壓應(yīng)力狀態(tài)，且壓縮實(shí)驗(yàn)可以獲取更大塑性變形量的應(yīng)力?應(yīng)變曲線，所以如何獲取準(zhǔn)確的壓縮流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線是非常重要的。

目前，金屬材料壓縮應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系主要通過軸對(duì)稱圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)獲取，但由于壓頭與試件端面之間的摩擦約束，試件在整個(gè)壓縮過程中無法保持均勻應(yīng)力狀態(tài)，這對(duì)金屬材料(特別是延性金屬)壓縮流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線的準(zhǔn)確性影響很大[1]。消除或修正這種端面摩擦約束影響的方法主要有以下幾種：一是通過在接觸面上添加潤滑劑或在試件端面設(shè)計(jì)凹槽等方式來直接減小摩擦作用[2]，這種方法對(duì)于大變形的延性金屬效果并不理想，當(dāng)壓縮載荷逐漸增大時(shí)，兩接觸面間的潤滑作用會(huì)逐漸減弱，凹槽面會(huì)產(chǎn)生明顯的塑性變形，從而影響對(duì)摩擦的消除效果[3]；二是COOK等[4]提出的外推法，通過多組不同長徑比的圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)找到應(yīng)力隨長徑比變化的規(guī)律，再外推得到長徑比無窮大(無摩擦狀態(tài))時(shí)的應(yīng)力，該方法避免了對(duì)壓縮端面真實(shí)摩擦約束情況的分析，但其外推結(jié)果精度受限于試件的長徑比范圍，當(dāng)長徑比較大時(shí)試件易發(fā)生屈曲，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)無效；三是利用試件變形特征求解端面摩擦因數(shù)，進(jìn)而對(duì)流動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行修正，這其中以圓柱試件鼓度法[5?10]以及圓環(huán)鐓粗法[11?15]最為典型，在這些方法中，端面摩擦行為常常被假設(shè)為特定的線性摩擦模型，并以平均摩擦因數(shù)表征整個(gè)接觸面的摩擦特性。但在壓縮過程中，隨著載荷的增大，試件端面的不同區(qū)域常常處于不同的摩擦類型，且不同類型之間還會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)換，摩擦常表現(xiàn)出非線 性[16]，所以端面摩擦行為描述的準(zhǔn)確性將會(huì)直接影響到流動(dòng)應(yīng)力的修正計(jì)算。除此以外，目前最為常用的是實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬相結(jié)合的各種逆向求解方法[17?19]，但這些方法需要給出應(yīng)力、幾何參數(shù)以及摩擦因數(shù)等之間準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系?？偟膩碚f，上述各種實(shí)驗(yàn)及有限元方法對(duì)端面摩擦約束的修正都有其自身的缺點(diǎn)或局限性，這是由于端面摩擦行為的復(fù)雜性所造成的。

本文作者為了避免對(duì)試件端面復(fù)雜摩擦行為的分析，采用新型的缺口圓柱試件設(shè)計(jì)來消除端面摩擦約束對(duì)試件壓縮變形的影響。基于缺口試件壓縮過程中的能量守恒原理推導(dǎo)壓縮流動(dòng)應(yīng)力的近似修正公式，同時(shí)結(jié)合有限元分析，對(duì)流動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行迭代修正，獲取金屬材料準(zhǔn)確的壓縮流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系。

1 流動(dòng)應(yīng)力修正方法

1.1 近似修正公式

在端面摩擦等約束存在時(shí)，壓縮外力所做的功F將轉(zhuǎn)化為兩部分能量：一部分轉(zhuǎn)化為試件的塑性應(yīng)變能P儲(chǔ)存在試件中；另一部分則轉(zhuǎn)化為試件端面與壓頭之間的摩擦功f。所以外力功可以表示為

式中：為壓縮過程中試件所受的外力，為試件的位移。而塑性變形能和壓縮過程中摩擦作用所耗散的能量可以分別表示為

(2)

式中：0為試件的應(yīng)變能密度，是試件的體積，為試件端面的摩擦因數(shù)，Δ為試件端面的滑移速度。為了避免對(duì)端面復(fù)雜的摩擦行為進(jìn)行描述，這里采用缺口圓柱試件設(shè)計(jì)來消除端面摩擦的影響[20]，如圖1所示。在壓縮過程中，試件端部不會(huì)發(fā)生變形，壓頭和試件端面之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，從而也沒有磨擦作用所帶來的能量耗散。

圖1 缺口圓柱試件壓縮

Fig. 1 Compression of notched cylindrical specimen

所以，通過這樣的試件設(shè)計(jì)就可以使試件在壓縮過程中外力所做的功將完全轉(zhuǎn)化為試件的塑性應(yīng)變能：

由于外力功完全轉(zhuǎn)化為試件的變形能，所以這里將缺口試件模型近似等效為一個(gè)無端面摩擦作用的理想圓柱試件壓縮模型。對(duì)于理想圓柱壓縮模型，試件在壓縮過程中應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)均勻，所以塑性變形能P可以表示為

(5)

在壓縮過程中，試件在任一時(shí)刻的軸向位移()和真實(shí)應(yīng)變()可以表示為

(7)

(8)

式中：U為=1時(shí)的軸向位移，為一無量綱時(shí)間參數(shù)，0≤≤1；0為理想圓柱試件的初始高度；為=1時(shí)的真實(shí)應(yīng)變。所以，在U/0較小時(shí)，忽略二階及其以上的高階項(xiàng)，等式(8)可以表示為

將式(6)和式(9)分別代入式(2)和(5)中，可以得到外力功和塑性變性能以及Δ的表達(dá)式為

(10)

(12)

由于在壓縮過程中能量守恒，所以對(duì)于任一時(shí)刻，上述等式均成立，所以在時(shí)刻，即=1時(shí)，由上述方程可以得到

假設(shè)此時(shí)等效圓柱試件的軸向壓縮位移為，高度為，真實(shí)應(yīng)變?yōu)椋鎸?shí)壓縮流動(dòng)應(yīng)力為1，待修正的壓縮流動(dòng)應(yīng)力為2，于是可以得到

(14)

(16)

式中：1為缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)的真實(shí)載荷，2為以流動(dòng)應(yīng)力2作為輸入進(jìn)行缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)?zāi)M得到的載荷。可以看出，在小應(yīng)變范圍內(nèi)，上述修正關(guān)系能較好地成立；而當(dāng)試件塑性變形較大時(shí)，公式(8)中忽略的高階項(xiàng)所引進(jìn)的誤差將會(huì)影響流動(dòng)應(yīng)力的修正結(jié)果。所以對(duì)于塑性變形較大的延性金屬材料而言，單次修正的效果是不夠理想的。

1.2 迭代修正步驟

為了減小近似修正公式在大變形條件下產(chǎn)生的誤差，得到更加準(zhǔn)確的材料應(yīng)力?應(yīng)變曲線，這里需要結(jié)合有限元分析對(duì)流動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行迭代修正。在迭代修正過程中，和的值會(huì)逐漸減小，流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線也會(huì)逐漸收斂。基于上述分析，這里給出有限元迭代修正方法的具體修正過程：

1) 通過光滑圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)獲取材料的初始流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線；

2) 利用設(shè)計(jì)的缺口試件進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)獲取其真實(shí)的載荷?位移曲線；

3) 將獲取的流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線作為本構(gòu)輸入對(duì)缺口試件壓縮過程進(jìn)行有限元模擬，獲取材料的載 荷?位移曲線；

4) 將步驟(3)得到的載荷?位移曲線與缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)得到的載荷?位移曲線進(jìn)行比較，如果載荷的相對(duì)誤差值大于規(guī)定值，則利用公式(16)對(duì)真實(shí)流動(dòng)應(yīng)力值進(jìn)行計(jì)算，得到修正后的流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線；

5) 重復(fù)步驟3)和4)，直至載荷的相對(duì)誤差值收斂到規(guī)定的誤差值范圍內(nèi)。

2 鋁合金2024軸對(duì)稱圓柱試件壓縮

2.1 圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)中所用材料為鋁合金2024，其主要力學(xué)性能參數(shù)如下：彈性模量71 GPa，泊松比0.3，密度2.78 g/cm3；所用試件為兩種軸對(duì)稱圓柱試件，分別為12 mm×12 mm的光滑圓柱試件以及整體尺寸為16 mm×24 mm的缺口圓柱試件。在常溫、準(zhǔn)靜態(tài)條件下對(duì)兩種試件進(jìn)行單軸壓縮加載，并記錄整個(gè)加載過程的載荷?位移曲線以及試件的變形過程。

在光滑圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)中，試件會(huì)發(fā)生整體變形，當(dāng)壓頭與試件端面之間存在摩擦作用時(shí)，試件的變形會(huì)變得不均勻，在試件中部會(huì)出現(xiàn)鼓脹效應(yīng)；而對(duì)于缺口圓柱，無論端面摩擦是否存在，其全部變形都集中在試件的中部區(qū)域，試件的端部不會(huì)發(fā)生變形，如圖2所示。

圖2 不同類型圓柱試件的壓縮

從圖2還可以看出，無論是光滑圓柱試件還是缺口圓柱試件，其最終的破壞形式均為沿45°方向的剪切破壞，并且裂紋均是從試件中部表面開始產(chǎn)生，這是由于試件端部約束(光滑圓柱試件主要為端面摩擦，缺口圓柱試件可以視為端部固約束)作用下，試件中部的鼓脹區(qū)域表面會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力，從而導(dǎo)致此處的剪切應(yīng)力增大，最終使試件從這里開始發(fā)生破壞。而由于缺口試件的特殊構(gòu)型，在壓縮加載初期，試件缺口部位處于多向壓縮應(yīng)力狀態(tài)，所以其壓縮過程中的鼓脹效應(yīng)要明顯弱于光滑圓柱試件，試件中部的拉應(yīng)力也相對(duì)更小，從而“減緩”了試件的破壞，可以使試件獲得更大范圍的塑性應(yīng)變，這也說明利用缺口圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)對(duì)流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變曲線進(jìn)行修正是可行的。

通過壓縮實(shí)驗(yàn)得到的光滑圓柱試件的真實(shí)應(yīng)力?應(yīng)變曲線和缺口圓柱試件的載荷?位移曲線分別如圖3和圖4所示。

2.2 缺口試件壓縮過程數(shù)值模擬

本研究利用ABAQUS/Standard對(duì)缺口試件的壓縮過程進(jìn)行數(shù)值模擬分析，鑒于缺口試件的幾何特征，這里采用軸對(duì)稱模型，如圖5所示。試件網(wǎng)格單元類型采用4節(jié)點(diǎn)軸對(duì)稱單元，兩端壓頭采用剛性單元，壓頭與試件端面之間接觸類型為面面接觸。在壓縮過程中，模型下端軸向位移固定不變，上端以恒定速度進(jìn)行壓縮加載，數(shù)值模擬加載位移與真實(shí)實(shí)驗(yàn)位移保持一致。

圖3 光滑圓柱試件的真實(shí)應(yīng)力?應(yīng)變曲線

圖4 缺口圓柱試件的載荷?位移曲線

為保證有限元模型單元尺寸不對(duì)修正結(jié)果造成影響，這里以4種不同的單元尺寸(1.6 mm、0.8 mm、0.4 mm以及0.2 mm)對(duì)試件模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并以不同單元尺寸下的載荷?位移關(guān)系響應(yīng)對(duì)網(wǎng)格密度敏感性進(jìn)行了分析，如圖6所示。

從比較結(jié)果可以看出，試件有限元模型對(duì)網(wǎng)格密度存在一定的敏感性，當(dāng)單元尺寸逐漸減小時(shí)，試件的載荷?位移曲線逐漸收斂，直至單元尺寸減小到0.4 mm以內(nèi)時(shí)，載荷?位移曲線基本趨于一致。所以，為了避免網(wǎng)格密度對(duì)修正結(jié)果的影響，這里取0.2 mm為試件有限元模型的單元尺寸。

圖5 缺口試件模型

圖6 缺口圓柱試件在不同單元尺寸下的載荷?位移曲線

3 結(jié)果與討論

3.1 端面摩擦對(duì)缺口試件壓縮變形行為的影響

為了進(jìn)一步研究端面摩擦對(duì)缺口試件壓縮過程的影響，這里利用光滑圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)得到的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系對(duì)不同摩擦情況(無摩擦、=0.2、=0.4、=0.8以及粗糙表面)下缺口試件壓縮變形進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了試件軸向壓縮載荷隨位移的變化，如圖7所示。

從圖7可以看出，不同摩擦情況下，試件在相同壓縮位移量下所受的載荷是相同的。所以對(duì)于同一材料和幾何尺寸的缺口試件來說，摩擦約束存在與不存在時(shí)試件的載荷?位移曲線都是相同的，進(jìn)而說明壓縮載荷所做的功也是一樣的。

數(shù)值模擬結(jié)果表明，不同摩擦條件下試件端部幾乎沒有變形，所有變形均集中在試件中部。以無摩擦和粗糙表面情況下的變形結(jié)果進(jìn)行比較知道，在相同壓縮位移下，試件徑向位移和等效塑性應(yīng)變分布一致，都分布在試件缺口區(qū)域，且最大偏差均不超過0.5%，如圖8所示，這與缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象也是吻合的。所以，對(duì)于缺口試件，壓頭與試件端面之間摩擦力的影響可以忽略不計(jì)。

圖7 缺口圓柱試件在不同端面摩擦條件下的載荷?位移曲線

3.2 流動(dòng)應(yīng)力迭代修正

按照修正方法中的迭代修正步驟對(duì)初始流動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行修正，得到了不同迭代次數(shù)下的鋁合金2024的流動(dòng)應(yīng)力?塑性應(yīng)變曲線以及對(duì)應(yīng)載荷?位移曲線分別如圖9和10所示。

從圖9和10中可以看出，在迭代修正過程中，鋁合金2024的流動(dòng)應(yīng)力逐漸趨于一致，且經(jīng)過4次的迭代修正后，其流動(dòng)應(yīng)力基本保持穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的載荷?位移曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好。在修正過程中，載荷相對(duì)誤差的絕對(duì)值隨著迭代次數(shù)的增加而不斷減小，如圖11所示。

從圖11比較結(jié)果可以看出，利用修正公式進(jìn)行單次修正后，相對(duì)載荷誤差值依舊較大，且隨著應(yīng)變的增加誤差逐漸增大，但經(jīng)過4次迭代修正后，載荷的最大相對(duì)誤差值已從初始狀態(tài)的11%減小到1%左右，這說明迭代過程是收斂的。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證修正結(jié)果的準(zhǔn)確性，這里利用光滑圓柱試件壓縮實(shí)驗(yàn)得到的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系以及經(jīng)過4次迭代修正后的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系對(duì)缺口試件壓縮過程中缺口根部橫截面的直徑變化進(jìn)行模擬預(yù)測，并與不同載荷水平下的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖12所示。

圖8 缺口圓柱試件的壓縮變形數(shù)值模擬

從圖12對(duì)比結(jié)果可以看出，經(jīng)過迭代修正后的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系能非常好地模擬出缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)過程中試件根部橫截面直徑的變化情況，而未經(jīng)修正的本構(gòu)關(guān)系預(yù)測結(jié)果則隨著壓縮載荷的增加偏差越來越大。同時(shí)，從功能轉(zhuǎn)化的角度來說，本修正方法成立的前提是外力功與試件內(nèi)能之間的能量守恒，所以這里采用公式(1)對(duì)缺口試件壓縮實(shí)驗(yàn)獲取的載荷?位移曲線進(jìn)行積分計(jì)算實(shí)驗(yàn)過程中的外力功，然后在相同壓縮位移下分別采用初始流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)以及經(jīng)過4次迭代修正后的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)對(duì)缺口試件壓縮過程進(jìn)行模擬，得到兩種本構(gòu)輸入下試件的內(nèi)能，并將其與真實(shí)實(shí)驗(yàn)過程的外力功進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖13所示。

圖9 不同迭代次數(shù)下的流動(dòng)應(yīng)力?塑性應(yīng)變曲線

圖10 載荷?位移曲線模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

圖11 不同迭代次數(shù)下的相對(duì)載荷誤差值

從圖13可以看出，在不同壓縮位移量下，經(jīng)過迭代修正后的流動(dòng)應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系模擬得到的試件內(nèi)能與實(shí)驗(yàn)載荷?位移曲線計(jì)算得到的外力功始終保持一致，這也從能量守恒的角度證明了迭代修正結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖12 缺口圓柱試件根部橫截面直徑模擬預(yù)測與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

圖13 缺口圓柱試件內(nèi)能與實(shí)驗(yàn)外力功的比較

4 結(jié)論

1) 缺口圓柱試件的設(shè)計(jì)有效地避免了對(duì)壓縮實(shí)驗(yàn)中壓頭與試件端面之間復(fù)雜摩擦行為的分析，基于此設(shè)計(jì)提出了以能量守恒原則為基礎(chǔ)的流動(dòng)應(yīng)力近似修正公式。

2) 借助于有限元數(shù)值模擬分析，結(jié)合流動(dòng)應(yīng)力近似修正公式可以對(duì)金屬材料壓縮流動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行迭代修正，得到收斂后的流動(dòng)應(yīng)力值。

3) 以鋁合金2024為例，對(duì)該修正方法進(jìn)行了驗(yàn)證，其結(jié)果證明經(jīng)該修正方法得到的流動(dòng)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以很好地預(yù)測鋁合金2024在壓縮過程中的變形行為，并使試件內(nèi)能與實(shí)驗(yàn)得到的外力功在整個(gè)壓縮過程中保持一致。

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(編輯 何學(xué)鋒)

Correction method of compression flow stress of metals based on energy conservation principle

JIA Dong, HUANG Xi-cheng, MO Jun, HU Wen-jun

(Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China)

The influence of interfacial friction on the compressive deformation behavior of metals (especially ductile metals) was eliminated by design of axisymmetric notched cylindrical specimen. Based on the energy conservation between external work and internal energy of specimen in compression test, an approximate correction formula of compression flow stress was derived and the corresponding iterative correction procedure was proposed. For aluminum alloy 2024, both the diameter of minimum cross-section and the internal energy of specimen in compression process were predicted by the corrected flow stress-strain relationships and compared with the experimental results. The results show that the predicted diameters of minimum cross-section are agree with the experimental data and the internal energy of specimen is always consistent with the experimental external work in the whole compression process, which verify the effectiveness of the correction method.

flow stress; interfacial friction; notched cylindrical specimen; energy conservation; iterative correction

Project(11472257) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13CXJ09) supported by Innovation and Development Foundation of Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics

2016-05-26; Accepted date: 2016-11-02

JIA Dong; Tel: +86-816-2484030; E-mail: jiadong@mail.ustc.edu.cn

10.19476/j.ysxb.1004.0609.2017.07.15

1004-0609(2017)-07-1433-08

TG115

A

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472257)；中國工程物理研究院總體工程研究所創(chuàng)新與發(fā)展基金資助項(xiàng)目(13CXJ09)

2016-05-26；

2016-11-02

賈 東，助理研究員；電話：0816-2484030；E-mail：jiadong@mail.ustc.edu.cn