僅測角導航多約束交會的閉環(huán)最優(yōu)制導

羅建軍，呂東升，龔柏春，殷澤陽

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072；3. 南京航空航天大學航天學院，南京 210016)

僅測角導航多約束交會的閉環(huán)最優(yōu)制導

羅建軍1,2，呂東升1,2，龔柏春3，殷澤陽1,2

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072；3. 南京航空航天大學航天學院，南京 210016)

針對多目標、多約束僅測角導航自主交會閉環(huán)最優(yōu)制導問題，提出一種基于凸優(yōu)化方法的最優(yōu)制導算法。首先，考慮可觀測性和魯棒性要求，建立僅測角導航與制導多目標優(yōu)化的性能指標，在此基礎上，確立多目標、多約束最優(yōu)交會問題的目標函數(shù)，以及基于凸優(yōu)化的最優(yōu)制導問題求解方法；然后，根據(jù)僅測角相對導航和制導之間存在的“耦合”關系提出了僅測角導航閉環(huán)制導的框架和解決方案；最后，仿真分析可觀測性對導航和制導性能的影響，驗證了所提出的僅測角導航多約束交會閉環(huán)凸優(yōu)化制導方法的有效性。

可觀測性；多約束；魯棒性；凸優(yōu)化；閉環(huán)制導

0 引 言

相對導航與制導是航天器在軌自主服務領域和航天器自主捕獲與交會任務中的關鍵技術[1-2]。目前一些用來測量相對運動信息的主動有源式導航傳感器，例如微波雷達、激光雷達等，由于體積大、功耗高、質量大和成本高等因素，在未來的非合作目標自主捕獲與交會應用中會受到很大限制，而基于角度信息測量的光學相機等無源被動式傳感器在這一方面卻有很大的優(yōu)勢和應用前景[3-4]，瑞典的PRISMA計劃[5]對基于測角信息的相對導航與制導技術進行了部分驗證，美國的Raven計劃也將在近期對這一技術進行驗證。

僅基于角度信息的僅測角相對導航會存在狀態(tài)不可完全觀測的問題，目前主要采用相機偏置法、復雜動力學法和軌道機動法等方式來提高狀態(tài)的可觀測性，但是相機偏置法盡管實現(xiàn)方式簡單卻存在適用距離受限的缺點[6]，復雜動力學法盡管可以解決不可觀測的問題，卻存在易受噪聲干擾、不適用于近程交會的缺點[7]。相互比較而言，盡管軌道機動法會增加燃料消耗并使得導航與制導性能直接受到交會軌跡的影響，但是其應用范圍不受限，實現(xiàn)簡單[8]。因此，國內(nèi)外學者對僅測角導航情況下的最優(yōu)交會導航與制導問題進行了研究。Oshman等[9]和Fosbury等[10]以費舍爾信息陣和估計協(xié)方差為優(yōu)化指標，研究了交會過程中可觀測性最優(yōu)情況下的數(shù)值優(yōu)化問題，但存在數(shù)值優(yōu)化問題求解難度大的不足；Pi和Bang[11]研究了可觀測性最優(yōu)和可觀測性限制條件下燃料最優(yōu)兩種情況下的僅測角相對導航機動軌跡設計問題，但存在可觀測性指標和可觀測性不一致的問題，且沒有考慮到在線優(yōu)化；Luo等[12]則研究了多脈沖滑移制導情況下，僅測角相對導航和制導之間的耦合關系，并通過仿真結果對其做了說明，但也沒有考慮交會過程中存在的各種約束和制導優(yōu)化問題。D’Amico等[13]研究了具備可觀測性的交會軌跡，但是所有的機動都是離線設計的。Ponda等[14]研究了無人機僅測角導航可觀測性最優(yōu)的制導軌跡設計問題，最終的螺旋軌跡能夠保證無人機在接近目標的過程中具備一定的可觀測性，同時降低了不確定性，但是并沒有考慮到過程中多種約束的存在?？偟膩碚f，目前的研究主要集中在提高僅測角導航可觀測性的機動軌跡設計、可觀測性最優(yōu)下的制導軌跡設計，缺乏對同時滿足可觀測性和燃料消耗最小需求下的多約束僅測角最優(yōu)制導，以及導航與制導一體化的閉環(huán)最優(yōu)魯棒制導的研究，不能滿足實際交會過程的需要。

本文從綜合考慮可觀測性和燃料消耗，以及實現(xiàn)多約束閉環(huán)在線最優(yōu)交會魯棒制導的目的出發(fā)，研究了僅測角導航多約束閉環(huán)最優(yōu)交會制導問題，首先給出了空間交會過程中的性能指標和各種約束，確立了多目標、多約束優(yōu)化問題的表述形式，并引入凸優(yōu)化算法[15]對多約束最優(yōu)制導問題進行在線實時求解，然后根據(jù)僅測角相對導航和制導之間存在的“耦合”關系設計了導航與制導一體化的閉環(huán)制導方案，最后進行了數(shù)值仿真校驗。

1 問題描述

在空間交會任務中，如果要通過僅測角的方式來為追蹤星實現(xiàn)導航，就會存在相對狀態(tài)不可觀測的問題。若采用軌道機動的方式來解決不可觀測問題，就會額外消耗燃料，因此可觀測性大小和燃料消耗之間是相互沖突的。本文旨在研究多約束條件下，以可觀測性大小和燃料消耗為優(yōu)化目標的多目標優(yōu)化問題，得到一條既滿足一定可觀測性又確保燃料消耗相對較小的最優(yōu)軌跡。本文選用C-W方程為空間交會的相對動力學模型[16]，其可以表示為：

(1)

2 性能指標

本節(jié)將分別建立燃料性能指標、可觀測性性能指標以及誤差協(xié)方差性能指標。

2.1燃料性能指標

一般來說，燃料消耗的多少與控制量(即機動u的范數(shù))成正比，因此可以用所有機動的范數(shù)和作為燃料性能指標來反映實際燃料消耗的大小。燃料性能指標可以寫為：

(2)

Jf=FTY

(3)

ui-si≤03×1

(4)

-ui-si≤03×1

(5)

2.2可觀測性性能指標

可以根據(jù)軌道機動條件下的可觀測性最優(yōu)條件來建立交會優(yōu)化過程中的可觀測性性能指標[17]。采樣時刻i的可觀測性性能指標可以表示為：

(6)

式中：Φs=[ΦrrΦrv]是航天器交會相對運動狀態(tài)轉移矩陣Φ的一部分，Gr是推力驅動矩陣G中與位置狀態(tài)相關的前三行向量所組成的矩陣。定義全局的可觀測性為所有JOi的和，其在整個交會過程中可以寫為如下的二次型形式：

(7)

式中：H是與Φs相關的矩陣。

2.3誤差協(xié)方差性能指標

通過引入誤差協(xié)方差來降低初始擾動對軌跡的影響，下面來構建誤差協(xié)方差性能指標。

相對動力學方程的離散形式可以寫為：

xk+1=Akxk+Bkuk+Γkωk

(8)

而標稱軌跡可以表示為：

(9)

則離散的閉環(huán)誤差協(xié)方差表示為：

(10)

給定初始誤差協(xié)方差為

(11)

2.4優(yōu)化目標函數(shù)

在建立了性能指標的基礎上來討論多目標優(yōu)

化問題中的優(yōu)化指標的組合形式[18]，采用最直觀的加權求和形式，將多目標優(yōu)化的目標函數(shù)表示為：

J′=w1Jo+w2Jf+w3Jp

(12)

J=wJo+(1-w)Jf

(13)

并將誤差協(xié)方差指標作為優(yōu)化約束：

(14)

式中：Py是一個約束誤差協(xié)方差大小的常數(shù)。

3 優(yōu)化約束

在實際的空間交會過程中要綜合考慮到各種約束的影響，尤其是對于交會過程中的優(yōu)化問題來說，約束決定了優(yōu)化問題的可行集。因此，有必要建立空間交會中存在的各種約束的模型。一般情況下，約束與具體的導航敏感器、目標以及交會場景有關。下面將建立空間交會任務中所涉及到的多種約束的凸化模型。

3.1相對動力學約束

根據(jù)式(1)可以得到離散的動力學方程：

xk+1-Φ(ΔT)xk-G(ΔT)uk=0

(15)

其中，ΔT表示的是采樣時間間隔，令Y=[xTuTsT]T,則可以將式(15)表示為矩陣形式：

AEOMY=bEOM

(16)

式中：

(17)

同樣可以得到邊界約束條件為：

ABCsY=bBCs

(18)

式中：

(19)

(20)

3.2推力大小約束

推力大小約束是與航天器推力器相關的約束，可以表述為：

AuY≤bu

(21)

其中，

(22)

式中:umax和umin分別表示最大脈沖和最小脈沖。

3.3軌跡約束

在實際工程中，需要對追蹤航天器的軌跡進行限制以使得追蹤航天器不會越過目標的位置，這時就需要如下約束保證追蹤航天器的軌跡滿足要求：

AxY≤bx

(23)

其中,

(24)

式中:xmax和xmin分別表示軌跡約束的上、下界。

3.4視場約束

視場約束是一個頂點位于追蹤航天器上的圓錐區(qū)域，以便保證目標處于追蹤航天器的導航傳感器視場范圍之內(nèi)。視場約束可以寫為如下形式：

(25)

(26)

式中：

(27)

4 多約束閉環(huán)凸優(yōu)化最優(yōu)制導

4.1多約束凸優(yōu)化最優(yōu)交會制導問題描述

在建立了性能指標和約束并確定多目標優(yōu)化問題目標函數(shù)的表示形式之后，基于凸優(yōu)化方法的僅測角導航多約束交會最優(yōu)制導問題最終可以寫成：

s.t.

本文采用凸優(yōu)化的方法來求解多目標優(yōu)化問題(28)，這是因為凸優(yōu)化方法可以滿足僅測角導航多約束交會最優(yōu)制導中實時性的要求，同時所優(yōu)化的目標函數(shù)固有的凸性可以確保有限次迭代后優(yōu)化問題有解[15]。這樣在整個交會過程中可以通過多次求解優(yōu)化問題(28)來在線規(guī)劃交會軌跡。

圖1 凸優(yōu)化最優(yōu)制導流程圖Fig.1 The flow chart of convex optimization optimal guidance

4.2僅測角導航閉環(huán)制導框架設計

注意到基于僅測角信息的自主交會導航和制導之間存在耦合的特點：一方面，導航信息是制導環(huán)節(jié)的輸入，導航信息的誤差影響著制導的精度；另一方面，對僅測角導航來說，機動的方式又可以提高導航的可觀測性，使導航濾波結果更為精確，即制導影響著導航的精度。圖2為閉環(huán)僅測角導航與制導的系統(tǒng)框圖。

僅測角導航多約束交會的閉環(huán)最優(yōu)制導的核心在于利用導航與制導的耦合屬性來在線規(guī)劃最優(yōu)制導律。為此，本文設計了相對導航與閉環(huán)制導方案，其流程如圖3所示。圖中，ti和tf分別是當前采樣時刻和終端時刻，P0是初始估計誤差協(xié)方差矩陣，ΔV為制導速度脈沖，K表示濾波增益。從數(shù)據(jù)流上可以看出，“耦合”主要存在于導航系統(tǒng)估計相對運動狀態(tài)并傳遞給制導系統(tǒng)；同時制導系統(tǒng)計算出速度脈沖ΔV并通過動力學方程來提高導航系統(tǒng)的可觀測性。這里需要強調的是，由于多目標優(yōu)化的問題存在可觀測性性能指標，最優(yōu)化解中的機動都是可觀測的，并不需要做額外的可觀測性判斷。

圖2 閉環(huán)相對導航與制導系統(tǒng)框圖Fig.2 The block diagram of closed-loop relative navigation and guidance system

圖3 閉環(huán)相對導航與制導算法流程圖Fig.3 The flow chart of closed loop relative navigation and guidance algorithm

5 仿真分析

為了分析僅測角導航多約束閉環(huán)凸優(yōu)化最優(yōu)交會制導的特點和性能，本節(jié)分別從可觀測性、燃料消耗以及魯棒性三個方面進行了數(shù)值仿真。主要仿真參數(shù)設置如表1所示。

5.1可觀測性仿真分析

圖4表示采用不同大小的可觀測性權重系數(shù)w針對優(yōu)化問題(28)進行求解，得到的R-V平面和H-R平面內(nèi)的不同制導軌跡。從圖4可以看出，隨著可觀測性權重的提高，R-V平面內(nèi)的軌跡在R-bar方向上的偏移距離越來越大。這是因為隨著可觀測性權重的提高，要求制導軌跡具備更高的可觀測性，而根據(jù)向運動軌跡的垂直方向機動可觀測性最大的原理，這意味著航天器要更多地向垂直于速度方向的R-bar運動以提高可觀測性。

表1 主要仿真參數(shù)Table 1 The main simulation parameters

圖4 可觀測性對制導軌跡的影響Fig.4 Observability effect on guidance trajectory

圖5和圖6分別表示了100次蒙特卡洛仿真的燃料消耗統(tǒng)計與對應可觀測性權重的關系以及導航誤差統(tǒng)計與對應可觀測性權重的關系。從圖5可以看出，可觀測性的權重系數(shù)和平均燃料消耗之間并不是線性關系，曲線的斜率是不斷增大的，這意味著在可觀測性權重增大到一定程度后，繼續(xù)增加同樣的可觀測性要消耗更多的燃料。從圖6可以看出，提高可觀測性可以減小導航誤差，改善導航性能，且當w大于0.6時，導航性能才會有明顯的改善。

圖5 可觀測性與平均燃料消耗的關系Fig.5 The relationship between observability and average fuel consumption

圖6 可觀測性與導航誤差的關系Fig.6 The relationship between observability and navigation error

5.2燃料消耗仿真分析

從圖7中總的趨勢看，隨著燃料消耗的增加，導航誤差是降低的。從圖8可以看出，隨著平均消耗燃料的增加，終端導航誤差呈現(xiàn)出先降后升的變化趨勢。這是因為開始時隨著可觀測權重系數(shù)w的增加(導致平均燃料消耗也在增加)，導航性能是不斷提高的，因此終端導航誤差呈遞減的趨勢，但可觀測性增加到一定程度后(即導航濾波器已經(jīng)收斂時)，此時導航濾波器已經(jīng)處于最優(yōu)狀態(tài)，大的脈沖機動反而會破壞當前狀態(tài)，導致導航性能降低，因此終端導航誤差會有上升的趨勢。此外，終端制導誤差和終端導航誤差是成正比的(終端制導誤差等于終端導航誤差和控制誤差之和)，因此考慮可觀測性在一定范圍內(nèi)會提高終端制導精度。

圖7 平均燃料消耗與導航誤差的關系Fig.7 The relationship between average fuel consumption and navigation error

圖8 平均燃料消耗與終端導航誤差的關系Fig.8 The relationship between average fuel consumption and final navigation error

5.3魯棒性仿真分析

本文引入了閉環(huán)誤差協(xié)方差作為多目標優(yōu)化問題(28)的一個約束來確保自主交會制導軌跡對初始擾動具備一定的魯棒性，為分析和校驗僅測角多約束閉環(huán)制導的魯棒性，設計表2所示的工況進行仿真，并與不含誤差協(xié)方差約束時的仿真結果做對比，其中工況2、3、4、5的初始位置和速度是分別相對于工況1而言的。

圖9和圖10分別表示含誤差協(xié)方差約束情況下，初始條件在 5%左右變化時的R-V平面和H-R平面的軌跡。從圖9～10可以看出，當存在初始擾動時，航天器的自主交會制導軌跡變化不大，基本上和未擾動情況下的軌跡重合。而從在不含誤差協(xié)方差約束的圖11～12中可以看出，在同等仿真工況下，R-V平面和H-R平面擾動軌跡與初始條件不存在擾動情況下的軌跡之間的分散程度要遠大于含有誤差協(xié)方差約束的情況，這一點在圖12中尤為明顯，說明引入誤差協(xié)方差約束后可以增強自主交會制導軌跡的魯棒性。

表2 w=0.9時的不同初始條件Table 2 Different initial conditions when w=0.9

圖9 w=0.9時不同初始擾動下的R-V平面軌跡(含誤差協(xié)方差約束)Fig.9 R-V plane trajectories under different initial perturbations whenw=0.9(with error covariance constraints)

圖10 w=0.9時不同初始擾動下的H-R平面軌跡(含誤差協(xié)方差約束)Fig.10 H-R plane trajectories under different initial perturbations when w=0.9(with error covariance constraints)

圖11 w=0.9時不同初始擾動下的R-V平面軌跡(不含誤差協(xié)方差約束)Fig.11 R-V plane trajectories under different initial perturbations when w=0.9(without error covariance constraints)

圖12 w=0.9時不同初始擾動下的H-R平面軌跡(不含誤差協(xié)方差約束)Fig.12 H-R plane trajectories under different initial perturbations when w=0.9(without error covariance constraints)

6 結 論

本文針對僅測角導航多約束閉環(huán)最優(yōu)交會制導問題，提出了一種基于凸優(yōu)化方法的最優(yōu)制導算法，采用可觀測性和燃料消耗作為優(yōu)化指標，誤差協(xié)方差作為約束，通過求解一個含多約束的多目標優(yōu)化問題得到最優(yōu)制導軌跡。數(shù)值仿真結果表明：

1)采用凸優(yōu)化方法能夠實時求解多約束下的多目標優(yōu)化問題，并得到既能確保燃料消耗較小又能確?？捎^測性足夠高的制導軌跡。

2)可觀測性的提高可以有效地提升導航性能和終端制導精度。通過執(zhí)行一系列可以提高觀測性的機動就可以在只需要增加少量燃料消耗的情況下，加快導航誤差協(xié)方差的收斂，并進一步降低導航誤差和終端制導誤差。

3)引入誤差協(xié)方差約束能夠確保制導軌跡相對于初始擾動具備一定的魯棒性。

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Closed-LoopOptimalGuidanceforMulti-ConstrainedRendezvouswithAngles-OnlyNavigation

LUO Jian-jun1,2, LV Dong-sheng1,2, GONG Bai-chun3,YIN Ze-yang1,2

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory, Xi’an 710072, China;3. School of Astronautics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The closed-loop optimal guidance problem of the multi-objective and multi-constrained autonomous rendezvous with angles-only navigation is investigated in this paper. Firstly, considering the observability and robustness requirements, the performance indexes of the multi-objective optimization of the angles-only navigation and rendezvous guidance are established. On this basis, the objective function of the multi-objective and multi-constrained optimal rendezvous problem, and the solution method of the optimal guidance problem based on convex optimization are presented. Secondly, the framework and solution of the closed-loop angles-only navigation and guidance are proposed according to the “coupling” relationship between the navigation and guidance. Finally, the effect of the observability on the navigation and guidance performance is analyzed by simulation, and the effectiveness of the proposed method is verified.

Observability; Multiple constraints; Robustness; Convex optimization; Closed-loop guidance

V448

A

1000-1328(2017)09- 0956- 08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.09.008

2017- 04- 05;

2017- 06- 26

國家自然科學基金(61690210,61960211)

羅建軍(1965-)，男，教授，主要從事航天飛行動力學、導航、制導與控制等方面的研究。

通信地址：陜西省西安市友誼西路127號(710072)

電話：(029)88493685

E-mail: jjluo@nwpu.edu.cn