航天器交會(huì)系統(tǒng)非脆弱濾波器的設(shè)計(jì)

程權(quán)成

（遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 華孚儀表學(xué)院，遼寧 丹東 118009）

航天器交會(huì)系統(tǒng)非脆弱濾波器的設(shè)計(jì)

程權(quán)成

（遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 華孚儀表學(xué)院，遼寧 丹東 118009）

針對航天器交會(huì)控制系統(tǒng)的濾波控制問題，利用Lyapunov函數(shù)方法、線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)，運(yùn)用H∞濾波控制理論，設(shè)計(jì)滿足性能要求的非脆弱H∞濾波器。仿真實(shí)驗(yàn)表明，非脆弱H∞濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定、有效。

航天器交會(huì)系統(tǒng)；LMI；非脆弱；濾波器

Abstract:Considering the fi ltering problem of spacecraft rendezvous system, a non-fragile fi ltering in accordance with the function requirement is designed via linear matrix inequality (LMI) method and Lyapunov function method with the application of H∞ theory. The simulation experiment shows that the non-fragile fi ltering system is stable and effective.

Key words:Spacecraft rendezvous system; LMI; Non-fragile; H∞fi ltering

0 引 言

交會(huì)控制是航天器空間控制的關(guān)鍵技術(shù)之一，航天器交會(huì)控制問題受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。為解決航天器交會(huì)的實(shí)際工程技術(shù)需求，張瑩瑾等提出一種合作目標(biāo)定位方法，取得了較高的精度[1]；針對航天器橢圓軌道，劉偉杰等采用線性定常增益進(jìn)行航天器自主交會(huì)魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法研究[2]；張卓等通過Lyapunov函數(shù)證明航天器交會(huì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)一步研究多個(gè)航天器交會(huì)時(shí)的協(xié)同控制問題[3]。關(guān)于濾波器設(shè)計(jì)問題的研究也有諸多成果。針對航天器交會(huì)對接系統(tǒng)，李艷輝等研究魯棒H∞濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)問題[4]；文獻(xiàn)[5]針對連續(xù)非線性T-S模糊系統(tǒng)，對H∞濾波問題進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[6]針對離散模糊系統(tǒng)，提出一種新的方法來保證濾波系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，由于MATLAB軟件的強(qiáng)大運(yùn)算功能，該軟件一直是控制領(lǐng)域相關(guān)研究人員的主要使用工具[7]。隨著MATLAB軟件中線性矩陣不等式（LMI）工具箱的出現(xiàn)，LMI技術(shù)的應(yīng)用逐步廣泛，在一定程度上促進(jìn)了LMI技術(shù)在控制理論相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用。本文以航天器交會(huì)控制系統(tǒng)為研究對象，利用Lyapunov函數(shù)方法、LMI技術(shù)，運(yùn)用H∞濾波控制理論及非脆弱濾波控制理論，推導(dǎo)出非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件，設(shè)計(jì)航天器交會(huì)系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器。

1 問題描述

兩個(gè)航天器進(jìn)行交會(huì)對接的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程見（1）式，針對該系統(tǒng)方程的交會(huì)系統(tǒng)進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)[8]。

其中，x(t)=[OxOyOzO O O?]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，Ox, Oy, Oz是追蹤航天器相對于目標(biāo)航天器的位置坐標(biāo)； u(t)=[TxTyTz]T為系統(tǒng)的控制變量輸入，Tx, Ty, Tz是作用于追蹤航天器三個(gè)坐標(biāo)軸的控制推力；ω(t)為系統(tǒng)的干擾變量；y(t)為系統(tǒng)的測量輸出變量；z(t)為待估計(jì)信號變量；A, B, C, E, L為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。

這里，n是目標(biāo)航天器繞地飛行的角速度，m是目標(biāo)航天器的質(zhì)量。

針對航天器交會(huì)對接系統(tǒng)的濾波問題，在濾波器的設(shè)計(jì)過程中，一般假定系統(tǒng)（1）式是穩(wěn)定的，因而考慮如（2）式所描述的狀態(tài)反饋控制器系統(tǒng)模型，以保證航天器交會(huì)對接系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

其中K為使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器矩陣增益參數(shù)。

將（2）式代入（1）式中，經(jīng)過數(shù)學(xué)方法處理后可得到系統(tǒng)模型為：

為實(shí)現(xiàn)航天器交會(huì)系統(tǒng)的濾波控制，采用的濾波器結(jié)構(gòu)為：

其中，AF, BF, CF為需要設(shè)計(jì)的濾波器參數(shù)增益；xF(t)為濾波器的狀態(tài)向量；zF(t)為濾波器的估計(jì)變量。ΔAF, ΔBF, ΔCF為濾波器模型中的參數(shù)不確定性變量，且具有形式ΔAF=HAFFAF(t)EAF, ΔBF=HBFFBF(t)EBF,為已知的定常矩陣，為時(shí)變參數(shù)，且滿足

定義新的變量ξT(t)=[x(t) xF(t)]T，e(t)=z(t)-zF(t)，綜合系統(tǒng)模型（3）式和濾波器結(jié)構(gòu)（4）式，得到濾波系統(tǒng)模型為：

在考慮非脆弱問題的情況下，設(shè)計(jì)H∞濾波器增益，使其滿足當(dāng)ω(t)=0時(shí)，濾波系統(tǒng)模型（5）式是漸進(jìn)穩(wěn)定的，同時(shí)對于γ＞0，有不等式關(guān)系[5]，即：

主要結(jié)論的推導(dǎo)過程使用了以下三個(gè)引理：

引理1[11]已知對稱矩陣可得出結(jié)論，不等式條件（7）式和（8）式等價(jià)。

引理2[12]對于給定適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣W=WT, H,E, ΔTΔ≤I，可得出結(jié)論，存在任意的常數(shù)ε ＞ 0，使其滿足不等式關(guān)系：

引理3當(dāng)ω(t)=0時(shí)，對于系統(tǒng)模型（3）式，若存在矩陣X ＞ 0，Y使得不等式成立，即：

則系統(tǒng)模型（3）式是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且K=YX-1。

證明選取Lyapunov函數(shù)：

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

因此，若要保證系統(tǒng)模型（3）式是穩(wěn)定的，則只需不等式成立，即：

定義矩陣變量X=P-1, Y=KX，對不等式左右分別乘以X和它的轉(zhuǎn)置，則可得到引理3所述的條件。

需要說明的是，引理3的主要意義在于可求解出控制器矩陣參數(shù)K，進(jìn)而保證系統(tǒng)模型（3）式是穩(wěn)定的，使其滿足濾波器設(shè)計(jì)的前提條件。

2 非脆弱濾波器的設(shè)計(jì)

先推導(dǎo)實(shí)現(xiàn)非脆弱H∞濾波器的不等式條件，再通過LMI方法，得出非脆弱濾波器的矩陣不等式的設(shè)計(jì)條件。

定理1對于航天器交會(huì)濾波系統(tǒng)模型（5）式，對于給定的H∞性能指標(biāo)γ＞0，若存在矩陣G＞0，使得下列矩陣不等式成立，即：

可見，航天器交會(huì)濾波系統(tǒng)模型（5）式是穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標(biāo)，其中， , , 的定義見（5）式。

證明若要實(shí)現(xiàn)H∞濾波器的設(shè)計(jì)，則需滿足H∞性能指標(biāo)：

定義Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)Lyapunov函數(shù)，可得出結(jié)論，即φ(0)=0，且φ(∞) ＞ 0，進(jìn)而得出關(guān)系式：

為使濾波系統(tǒng)的H∞性能得到保證，只要滿足不等式關(guān)系：

將系統(tǒng)模型（5）式代入（19）式中，可得到不等式關(guān)系：

若不等式（21）式成立，那么不等式（20）式也成立。

對不等式（21）式運(yùn)用引理1，便可得到定理1所述的不等式條件。定理1證畢。

需要說明的是，定理1給出了濾波系統(tǒng)模型（5）式滿足H∞穩(wěn)定的不等式條件，但該條件不能求解出濾波器的參數(shù)，故需要進(jìn)一步處理，即給出定理2的條件。

定理2利用LMI方法，推導(dǎo)出非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件。

定理2對于航天器交會(huì)濾波系統(tǒng)模型（5）式，對于給定的H∞性能指標(biāo)γ ＞ 0，若存在矩陣G1, G2, R, S,T及常數(shù)λ，ε ＞ 0使得下列矩陣不等式成立：

其中П=G1A+ATG1+G1BK+KTBTG1+SC+CTST，那么航天器交會(huì)濾波系統(tǒng)模型（5）式是穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標(biāo)，濾波器的參數(shù)增益為：

證明定義矩陣變量，同時(shí)將,及G代入定理1，然后定義矩陣變量R=G2AF，S=G2BF, T=CF，可得到不等式：

根據(jù)濾波器模型中的參數(shù)不確定性變量的定義，可將矩陣不等式（24）式改寫為矩陣不等式：

對不等式（25）式運(yùn)用引理2和引理1，便可得到定理2所述的不等式條件。定理2證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步證明濾波器設(shè)計(jì)方法的有效性，選取數(shù)值實(shí)例進(jìn)行仿真分析。假設(shè)追蹤航天器的質(zhì)量m=300kg，目標(biāo)航天器的軌道角速度為n=7.2722×10-5rad/s，假定濾波器模型中存在的不確定參數(shù)為：

通過Matlab軟件中LMI工具箱求解定理2中非脆弱H∞濾波器存在的矩陣不等式條件，計(jì)算得出濾波器增益參數(shù)為：

圖1 濾波器狀態(tài)向量的響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文將非脆弱濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)引入到兩個(gè)航天器交會(huì)系統(tǒng)的應(yīng)用中，針對航天器交會(huì)控制系統(tǒng)的濾波控制問題，利用Lyapunov函數(shù)方法、LMI技術(shù)及H∞濾波控制理論，設(shè)計(jì)滿足性能要求的非脆弱H∞濾波器。所設(shè)計(jì)的濾波器增益參數(shù)存在條件通過LMI的形式給出，通過Matlab軟件中LMI工具箱直接求解。通過Matlab軟件的simulink技術(shù)對所設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，當(dāng)濾波器中時(shí)變矩陣參數(shù)改變時(shí)，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，具備較強(qiáng)的非脆弱性。下一步將研究多個(gè)航天器交會(huì)控制問題，不斷增強(qiáng)其實(shí)際應(yīng)用性。

[1] 張瑩瑾，秦世引，胡曉惠.航天器自主交會(huì)對接的高精度目標(biāo)定位方法[J].宇航學(xué)報(bào)，2014，35（12）：3-6.

[2] 劉偉杰，諶穎.航天器橢圓軌道自主交會(huì)的魯棒H∞控制[J].宇航學(xué)報(bào)，2015，36（2）：179-185.

[3] 張卓，張澤旭，譚浩.基于魯棒協(xié)同控制方法的多航天器交會(huì)問題[J].深空探測學(xué)報(bào)，2016，3（1）：90-96.

[4] 李艷輝，劉暢.網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對接系統(tǒng)的魯棒H∞濾波[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2015，23（4）：522-526.

[5] XIE X P，ZHU X L，GONG D W.Relaxed Filtering Designs for Continuous-time Nonlinear Systems Via Novel Fuzzy H∞Filters[J].Signal Processing，2013，93（5）：1251-1258.

[6] ZHANG J，XIA Y.New LMI Approach to Fuzzy H∞Filter Designs[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems—II：Express Briefs，2009，56（9）：739-743.

[7] 田豐.基于自適應(yīng)信號處理技術(shù)的有源電力濾波器控制方法[J].溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，16（2）：51-54.

[8] 高會(huì)軍，楊學(xué)博，王常虹.一種有限推力航天器交會(huì)軌道的魯棒設(shè)計(jì)方法[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2009，35（2）：3-6.

[9] WO S，ZOU Y，CHEN Q，et al.Non-fragile Controller Design for Discrete Descriptor Systems[J].Journal of the Franklin Institute，2009，346（9）：914-922.

[10] 程權(quán)成，常曉恒.T-S模糊系統(tǒng)非脆弱跟蹤控制器設(shè)計(jì)[J].電子設(shè)計(jì)工程，2014，22（17）：1-4.

[11] BOYD S，GHAOUI L E，F(xiàn)ERON E，et al.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[M].Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1994：57-63.

[12] PETERSEN I R.A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems[J].Systems & Control Letters，1987，8（4）：351-357.

[責(zé)任編輯：喬維德]

Design of Non-fragile Filtering for Spacecraft Rendezvous System

CHENG Quancheng
(School of Huafu Meter Instrument, Liaoning Mechatronics College, Dandong, 118009, China)

V526

A

1671-4326 (2017) 03-0062-05

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2017.058

2017-02-06

遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研項(xiàng)目（2017010）

程權(quán)成（1989—），男，遼寧遼陽人，遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院華孚儀表學(xué)院，助理工程師，碩士.