一種二自由度球型手腕的設計及控制分析

【作者】周鋒

中國科學技術大學多智能體系統(tǒng)實驗室, 合肥市, 230026

一種二自由度球型手腕的設計及控制分析

【作者】周鋒

中國科學技術大學多智能體系統(tǒng)實驗室, 合肥市, 230026

該文提出一種新的基于傘齒傳動的二自由度球型手腕。使用三個傘齒并利用傘齒的傳動特性，設計了一款兩側傘齒同向轉動用于實現(xiàn)俯仰運動，反向轉動用于實現(xiàn)左右擺動的二自由度球型手腕。該球型手腕具有俯仰、擺動兩個自由度。通過立體幾何法分析了該球型手腕的運動空間并通過齒輪傳動關系分析了電機轉速和球型手腕運動角速度之間的關系。使用Solidworks Motion驗證了該球型手腕的運動特性并使用Matlab處理數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)實驗結果。實驗結果表明，設計的二自由度球型手腕運動范圍大，集成度高，且控制簡單方便。

機器人；球型手腕；二自由度；傘齒

0 引言

機器人自誕生以來，設計的越來越精巧，但仍不能做出像人一樣靈活的機器人，人體本身的結構經歷千百萬年的物競天擇、優(yōu)勝劣汰變得十分的復雜和相當?shù)耐昝?，人體的四肢是重要的執(zhí)行部分[1]，所以對手臂的研究具有很大的價值?，F(xiàn)在機器人手臂大部分是6個自由度的，前3個貼近于手爪的關節(jié)實現(xiàn)姿態(tài)控制，后3個關節(jié)實現(xiàn)位置控制[2]。前3個關節(jié)可稱為腕關節(jié)，手腕機構按運動可分為roll-pitch-roll和roll-pitchyaw兩種機構形式[3]。前者在伸展時兩roll軸線共線使機構處于無法運動的狀態(tài)，在運動學研究中一般稱為奇異狀態(tài)，因此手腕機構構型研究中后者更為多見。

傳統(tǒng)的機器人手腕通過使用3個轉動關節(jié)串聯(lián)實現(xiàn)roll-pitch-yaw構型，可是在醫(yī)療等領域，要求機器人手腕占用空間小，操作空間大，對病人造成的創(chuàng)口小[4-5]，所以傳統(tǒng)的機器人手腕并不能滿足要求。而且Pieper指出具有6個旋轉關節(jié)的機器人存在封閉解的充分條件是相鄰的3個關節(jié)軸線相交于一點[6-7]。傳統(tǒng)的機器人手腕并不滿足封閉解的充分條件，由于球型手腕本身的3個關節(jié)軸線相交于一點，所以球型手腕受到了研究者關注。

Ole. Monlang首次提出球型齒輪手腕機構，但球齒輪存在傳動誤差大，加工困難等問題。劉憲鋒等[8]設計了一種易于加工的球齒輪手腕，但仍不能解決傳動誤差大的問題。潘存云等[9]使用一種新型漸開線環(huán)形齒設計了另一種球齒輪機構，大大降低了球齒輪的傳動誤差，但結構不緊湊。此后，研究者開始嘗試尋找代替的機構實現(xiàn)和球齒輪手腕相同的功能。Naoki等[10]設計了一種氣動肌腱來驅動二自由度球型手腕，所需氣源裝置占用空間大，實際可用性很低。Ikeda等[11]發(fā)明了主動萬向節(jié)，并將其應用在蛇形的和仿人型的機器人手腕[12-15]中。但結構不夠緊湊，控制原理也有些復雜。

本文利用傘齒輪的傳遞特性提出了另一種二自由度球型手腕，其結構緊湊，運動范圍大，控制簡單。

1 二自由度球型手腕結構

本文設計的二自由度球型手腕如圖1所示。骨架為十字軸，其左右通過滾珠軸承與小臂支架相連。上下通過滾珠軸承與手爪支架相連，3個傘齒輪通過滾珠軸承套在十字軸上，兩側的傘齒輪分別通過同步帶由藏在小臂中的兩個電機控制，上側的傘齒與手爪的支架固定。這樣一來，當電機控制一側傘齒輪轉動時，上側的傘齒輪將帶動手爪的支架一邊自轉，一邊公轉，表現(xiàn)在手爪上的效果是一邊做上下俯仰運動，一邊做左右擺動運動。當兩側電機同速同向轉動時，三個傘齒輪相對不運動，一起做俯仰運動。當兩側電機同速反向轉動時，上側傘齒輪將原地自轉，表現(xiàn)手爪上的效果是左右擺動。

圖1 二自由度球型手腕尺寸Fig.1 Size of 2-DOF spherical wrist

2 運動空間分析

在只做俯仰運動時俯仰角度范圍為[-90o，90o]，只做擺動運動時擺動角度范圍為[-90o，90o]。標注尺寸作定量分析，如圖1所示，設十字軸中心到十字軸與手爪支架連接處的距離為d，到右側齒輪支架的距離為d1，右側齒輪的半徑為r，十字軸與手爪支架連接處與手爪的固定端的距離為L，為了理解方便，給出手腕上視圖如圖2，右視圖如圖3。當其即擺動又俯仰時，手爪支架會與兩側的機構發(fā)生運動干涉，如圖3所示的1點與2點會在俯仰達到一定角度時產生碰撞。

圖2 二自由度球型手腕上視圖Fig.2 Top view of 2-DOF spherical wrist

圖3 二自由度球型手腕右視圖Fig.3 Right view of 2-DOF spherical wrist

根據(jù)圖1～圖3則有如下關系：

此時，俯仰角度的范圍為

由于其具有對稱性，先研究正向俯仰角度的變化情況，設

因為F'(θ)＜0，所以隨著擺動角度θ的增大，俯仰角度F(θ)減小。

本文設計的手腕尺寸為d=30 mm，d1=30 mm，r=24 mm ，代入公式可以得到以下結論：當擺動角度在[-51.343o, 51.343o]之間時，俯仰角度范圍為[-90o,90o]。當擺動角度超過這個范圍時俯仰角度的范圍將越來越小，最小俯仰角度范圍為[-36.869o, 36.869o]。人類腕關節(jié)擺動角度為[-70o, 90o]，俯仰角度為[-55o, 25o][16]。當擺動時俯仰角度也會變小，在不考慮小臂旋轉角度的情況下，當人的手腕擺動到極限位置時，俯仰角度幾乎為零，故本文設計的二自由度球型手腕運動范圍滿足要求。

3 電機轉速與球型手腕的俯仰、擺動角速度的映射關系

如圖1所示，設左側齒輪為齒輪1，右側齒輪為齒輪3，上側齒輪為齒輪2，齒輪2的同心軸即十字軸的豎軸為桿H，十字軸的橫軸為桿V。為了研究和理解方便，規(guī)定：齒輪1從左視圖看順時針旋轉為正方向，齒輪2從上視圖看順時針旋轉為正方向，齒輪3從右視圖看逆時針旋轉為正方向。桿H從右視圖看繞桿V逆時針旋轉為正方向。

由于齒輪2的運動并不是繞定軸線的運動，所以齒輪1、2、3之間的傳動比不能直接使用定軸輪系的方法來求解[17]。

設w1、w2、w3及wH為齒輪1、2、3及桿H的絕對角速度，使用相對運動原理，給原有輪系加一個公共的角速度“-wH”，原有的輪系中各構件的傳動比不變。加上公共的角速度“-wH”后，各構件的角速度如表1所示。

表1 各齒輪相對角速度Tab.1 The relative angular velocity of every gear

表中=wH-wH=0，說明系桿H靜止不動，此時的相對輪系為定軸輪系了。此時，輪系中任意兩輪的傳動比可用定軸輪系的方法求得，設z1，z2，z3為傘齒輪1，2，3的齒輪數(shù)，為輪系中齒輪1與齒輪2的傳動比即角速度關系，為輪系中齒輪1與齒輪3的傳動比即角速度關系。則有，

其中wH為公轉角速度，為自轉角速度。

因為公轉引起手腕的上下俯仰轉動，自傳引起手腕的左右擺動轉動，所以w俯仰=wH，w擺動=，本文設計的手腕中的z1:z2:z3=1:1:1所以

4 角速度映射關系驗證實驗

本文首先使用Solidworks Motion對二自由度球型手腕進行運動仿真，然后使用Matlab處理仿真的數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)運動關系。

（1）首先固定齒輪1不動，齒輪3以60o/s的角速度轉動，運動6 s，齒輪3轉動一周，頂部齒輪2一邊繞十字軸的橫軸V公轉，一邊繞十字軸的豎軸H自轉，公轉角速度即相對X軸的角速度（也是手腕俯仰角速度）見圖4。

在忽略仿真計算誤差的情況下，由圖4可以看出，俯仰角速度為30o/s。

相對Y軸和Z軸的角速度見圖5。

圖4 單邊轉動-相對X軸角速度Fig.4 Only one side rotate-opposite x axis angular speed

圖5 單邊轉動-相對Y, Z軸角速度Fig.5 Only one side rotate-opposite Y, Z axis angular speed

由圖5可知，自轉角速度即擺動角速度相對Y軸和Z軸的角速度都是不斷變化的，這是由于其在公轉的原因，導致在Y軸和Z軸的分量在不斷變化，但其自轉角速度是穩(wěn)定的，我們使用Matlab求其合速度，并作圖6。

圖6 單邊轉動-Y, Z軸角速度的合速度Fig.6 Only one side rotate-resultant velocity of Y, Z axis angular speed

在忽略仿真計算誤差的情況下，由圖6可知，其自轉角速度為30o/s。滿足角速度映射關系。

（2）讓齒輪1和3都以60o/s的角速度轉動，按照以上步驟計算俯仰角速度和擺動角速度見圖7。

由圖7可以看出，齒輪1和3同向轉動時，手腕只做俯仰運動，俯仰角速度大小為60o/s。滿足角速度映射關系。

圖7 同速同向轉動Fig.7 Same speed and same orientation rotate

（3）讓齒輪1以-60o/s的角速度轉動，齒輪3以60o/s的角速度轉動，按照以上步驟計算俯仰角速度和擺動角速度見圖8。

圖8 同速反向轉動Fig.8 Same speed and inverted orientation rotate

由圖8可以看出，齒輪2原地轉動即手腕擺動，擺動角速度為60o/s，滿足角速度映射關系。

(4) 讓齒輪3轉動角速度120o/s，齒輪1轉動角速度為30o/s，按照以上步驟計算俯仰角速度和擺動角速度見圖9。

圖9 不同速轉動Fig.9 Different angular speed rotate

得到俯仰角速度75o/s，擺動角速度為45o/s，至此，驗證本文理論。

4 結論

本文在分析借鑒前人對球型手腕研究的基礎上，利用傘齒輪傳動原理，巧妙地設計了一種結構更加簡單緊湊、控制更加方便的二自由度球型手腕，并通過相對運動原理得出了電機轉動角速度和球型手腕俯仰、擺動角速度之間的角速度映射關系。實驗結果表明，該球型手腕運動范圍遠遠大于人的手腕運動范圍，相比其他球型手腕具有結構緊湊，控制簡單的優(yōu)勢。

該球型手腕靈活度高，控制簡單，在微創(chuàng)醫(yī)療領域和家庭服務機器人領域具有很好的應用前景。下一步將把該手腕應用在六自由度串聯(lián)機械臂中，分析其在機器人手臂運動規(guī)劃中的特性。

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Design and Control Analysis of 2-DOF Spherical Wrist

【 Writer 】ZHOU Feng
Multi-Agent Systems Lab, University of Science and Technology of China, Hefei，230026

In this paper, a novel design of a 2-DOF spherical wrist which is based on umbrella gear transmission is proposed.Using three umbrella gear and their attribute, a 2-DOF spherical wrist is designed to have the capability to pitch move when bilateral umbrella gear homodromous rotation and swing move when bilateral umbrella gear inversus rotation.This spherical wrist has two degree of freedom which can pitch and swing. Through constructive solid geometry, the spherical wrist’s motion space is analyzed. Moreover, through the gear transmission relationship, the relation between the spherical wrist’s angular velocity and the electromotor’s angular speed is established. Using the software of Solidworks Motion to verify motion characteristics and Matlab to analyze experimental data and achieve experimental results. The experimental results show that the 2-DOF spherical wrist has large range of movement and high integration. Moreover, it’s convenient to control the wrist.

robot, spherical wrist, 2-DOF, umbrella gear

TP241

A

10.3969/j.issn.1671-7104.2017.05.006

1671-7104(2017)05-0334-04

2016-12-05

教育部博士點基金（20133402110026）

周鋒，E-mail: zf062@mail.ustc.edu.cn