試論數(shù)軸及用途

聶亞林

摘要：數(shù)軸在整個初中涉及的范圍比較廣，學(xué)生學(xué)習(xí)時也遇到很多問題，通過對數(shù)軸的內(nèi)涵、畫法知識和運用，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)軸一些小技巧。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸的內(nèi)涵；數(shù)軸的畫法；利用數(shù)軸

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）07-0234-01

數(shù)軸小節(jié)內(nèi)容雖然少，但是在整個初中涉及的范圍比較廣，現(xiàn)結(jié)合北師大版教材和多年教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)了學(xué)習(xí)數(shù)軸一些小技巧與讀者分享，從而有助于讀者學(xué)習(xí)。

1.數(shù)軸的內(nèi)涵

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的概念包括三層含義：①數(shù)軸是一條直線，可以向兩方無限延伸；②數(shù)軸有三個要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；③原點位置的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定都是根據(jù)實際需要而定的。關(guān)于有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等相關(guān)知識都可以借助數(shù)軸理解，利用數(shù)形結(jié)合思想，使這些內(nèi)容形象又直觀。

2.數(shù)軸的畫法

結(jié)合數(shù)軸的內(nèi)涵，數(shù)軸的畫法請注意幾點：①數(shù)軸是一條直線，可以向兩邊無限延伸；②數(shù)軸要有三要素；③單位長度由實際確定。

例：下列數(shù)軸的畫法正確的是（ ）（七年級內(nèi)容）

分析：對照數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向可知，A、B、D都是錯誤的，A點左邊的負數(shù)表示的順序標錯了；B中單位長度不統(tǒng)一；D中沒有標出正方向。故選C。

3.在數(shù)軸上表示有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)

任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，同樣無理數(shù)也能用數(shù)軸表示出來。事實上，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。即實數(shù)各數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。

例：在數(shù)軸上找出10對應(yīng)的點。

分析：要在數(shù)軸上表示無理數(shù) ，可以利用直角三角形勾股定理，因為32+12=10所以10=32+12，這樣我們就可以在數(shù)軸上構(gòu)建一個直角三角形，兩直角邊為和1，再用尺規(guī)作所要找的點。如圖：點A就是要找的點。

4.利用數(shù)軸比較數(shù)的大小

要比較兩個有理數(shù)（實數(shù)）的大小，只要把它們都表示在同一條數(shù)軸上，可以非常直觀地確定：右邊的數(shù)總比左邊的大，從左到右，就是由小到大。

例：比較下列各數(shù)的大小，用“<”把它們連接起來：+3，-12 ，114，-3.5。

分析：要解決問題，有很多方法以，同學(xué)們可以把分成正數(shù)各負數(shù)比較，和負數(shù)之間比較，也可以利用數(shù)軸根據(jù)右邊的數(shù)總比左邊的大進行比較。這兩種方法各有各的優(yōu)缺點。其中利用數(shù)軸優(yōu)點是非常直觀，缺點是要畫數(shù)軸。

如圖：

由圖所示，所以-3.5<-12<114<+3。

5.利用數(shù)軸理解相反數(shù)的意義

只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零。結(jié)合數(shù)軸，我們可以更深刻地理解相反數(shù)的含義。相反數(shù)體現(xiàn)在數(shù)軸上，位于原點兩旁，并且離開原點的距離相等。

如下圖：a和b在原點兩旁，且到原點的距離都是兩個單位，所以a和b對應(yīng)點2和-2互為相反數(shù)。

6.利用數(shù)軸理解絕對值

一個數(shù)的絕對值，就是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離，因為距離總是正數(shù)或零，所以有理數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即|a|≥0（a表示任意有理數(shù)）

如圖：a在數(shù)軸上對應(yīng)點是-2，因為a到原點的距離是兩個單位，所以|-2|=2。

7.數(shù)軸上的運動問題

例：點P在數(shù)軸上，將P向左移動3個單位長度，再向右移動1個單位長度，此時P點所表示的數(shù)是-1問P原來表示的數(shù)是多少。

分析：對于學(xué)生理解這個問題很抽象，所以用數(shù)軸來進行理解就很簡單了。

如圖：則P點原來表示的數(shù)是1。

8.利用數(shù)軸表示不等式和不等式組的解集

對于不等式解有無數(shù)個，這樣就組成不等式的解集，特別是求不等式組的解集時，學(xué)生在理解更困難了，但利用數(shù)軸一表示就很直觀，也好理解。

例：解不等式組，3（x+1）≥4x+13>x-1并把它的解集表示在數(shù)軸上。

解：解不等式①得x≥1

解不等式②得：x<-2

這同一數(shù)軸上表示不等式①、②的解集為：

所以原不等式組無解。

9.數(shù)軸上兩點間的距離

若數(shù)軸上任意兩點A、B所表示的有理數(shù)分別為xA、xB則A、B兩點間的距離可表示為：|xA-xB|或|xB-xA|。實際上就是求這兩點所表示有理數(shù)的差的絕對值。

總之，數(shù)軸的用途很多，特別平面直坐標就是它的一個升級版。