“實物演示法”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用

葛梅梅，余曉美

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州239000）

“實物演示法”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用

葛梅梅，余曉美

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州239000）

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是一門應(yīng)用性很強的課程[1]，課程中的基本概念和基本模型比較復(fù)雜、抽象，為了讓學(xué)生更好地理解基本概念和基本模型，采用"實物演示法"進行教學(xué)，以典型的教學(xué)問題-盒子模型為例，最后將其推廣到抽簽?zāi)Ｐ秃妥畲笏迫还烙?

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；實物演示法；盒子模型

1 引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，它在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中得到了越來越廣泛的應(yīng)用.這門課程的特征具有豐富的背景、巧妙的思維和有趣的結(jié)論，學(xué)生可以在濃厚的興趣中學(xué)習(xí)和掌握《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的知識.因此，在我國高等學(xué)校的絕大多數(shù)專業(yè)的教學(xué)中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》均列為必修課程或限定選修課程，尤其是應(yīng)用型本科院校，更加要重視這門課程的教學(xué).

長期的教學(xué)實踐，我們發(fā)現(xiàn)，在這門課程的教學(xué)中，存在著幾個棘手的問題，首先，目前非數(shù)學(xué)專業(yè)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中，普遍存在著“理論較多，理解困難”的問題.這些問題導(dǎo)致學(xué)生興趣不足，不能學(xué)以致用.其次，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程通常在大二第一學(xué)期開設(shè)，課程內(nèi)容在涉及到二重積分的二維隨機變量、期望、方差等部分時，要用到學(xué)生在大一時學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)知識，但此時大部分學(xué)生已經(jīng)遺忘得差不多了，最后，學(xué)校有很多文科類，文科生在高中時是沒有學(xué)過排列組合的知識或?qū)Υ酥皇锹杂辛私?，但是在講授排列組合內(nèi)容（如古典概型、二項分布、全概率公式等）的知識時，需要學(xué)生具備基礎(chǔ)的排列組合的知識，尤其是文理兼收的班級在講授這部分知識時教學(xué)就顯得格外困難.這些問題導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程時出現(xiàn)畏難情緒，課堂學(xué)習(xí)的參與度低，這就要求教師探索新的教學(xué)方法，力圖將知識用最簡單直觀的方式講授出來，在這其中，“實物演示法”功不可沒，起到了積極的作用.

2 實物演示法及其特點

實物演示法是一種直觀形象的教學(xué)方法，它的特點是教師通過展示實物、教具和示范性的試驗來驗證某一事物和現(xiàn)象.演示所使用的工具可分為以下四大類：實物、標(biāo)本、模型、圖片的演示；圖表、示意圖、地圖的演示；實驗演示；幻燈片、電影、錄像的演示.

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程的教學(xué)過程中，我們借助實物演示引導(dǎo)學(xué)生集中注意力，運用多種感官去感知，鼓勵學(xué)生自己去探索和思考，使得各種概念和定理不再枯燥無味，而是鮮活地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.

3 盒子模型的“實物演示法”的教學(xué)設(shè)計

3.1 提出問題

古典概型中，有一類模型是盒子模型，盒子模型即是涉及將球放入盒子的一類模型.學(xué)生對于這類模型的困惑在于，這個模型中既有盒子又有球，學(xué)生容易混淆這兩個對象，當(dāng)盒子與球變動時，學(xué)生很難找到球放入盒子方法數(shù)計算的突破口.所以此時就要求教師必須探索新的教學(xué)方法“實物演示法”，將盒子模型的本質(zhì)用最簡單直觀的方式講授出來.下面就來討論“實物演示法”在盒子模型中的具體應(yīng)用.

3.1.1 盒子模型問題

有3個球、4個盒子，球與盒子都是可以區(qū)分的，每個球都等可能地被放到4個盒子中的每一個，試求：

（1）指定的3個盒子中各有一球的概率；（2）恰有3個盒子各有一球的概率.

3.2 實物演示法的教學(xué)設(shè)計

課前讓學(xué)生每人準(zhǔn)備4個一次性紙杯（當(dāng)作盒子），3個小塑料球，接下來就是和同學(xué)們一起進行扔球游戲，題目中指出球與盒子都是可以區(qū)分的，讓學(xué)生用黑筆在紙杯上標(biāo)上序號1、2、3、4，

（1）問中指定的3個盒子，向?qū)W生強調(diào)盒子是指定的，讓學(xué)生拿出3個紙杯放在書桌上，三個紙杯就已經(jīng)確定好了，然后扔球，學(xué)生手中3個小塑料球，第一個紙杯有3種放法，第二個紙杯有2種放法，還剩一個小塑料球只能放到最后一個紙杯里（每個小塑料球都等可能地被放到4個盒子中的每一個），故所求概率為

（2）記“恰有3個盒子中各有一球”，與（1）問不同的是紙杯從“指定”變成“恰有”，恰有3個紙杯，紙杯沒有選出來，首先要從4個紙杯任選3個紙杯準(zhǔn)備放球，共有C43種取法，選完紙杯之后，然后同學(xué)們又開始扔球游戲，學(xué)生手中有3個小塑料球，第一個紙杯有3種放法，第二個紙杯有2種放法，還剩一個小塑料球只能放到最后一個紙杯里（每個小塑料球都等可能地被放到4個紙杯中的每一個），故所求概率為

立即可以得到一般情況，如下

設(shè)有n個球，N個盒子，球與盒子都是可以區(qū)分的，每個球都等可能地被放到N個盒子中的每一個，試求：

（1）指定的n個盒子中各有一球的概率；

（2）恰有n個盒子各有一球的概率.

分析：由盒子模型問題一同理推得

（1）記p1=“指定的n個盒子中各有一球”，則有

（2）記p2=“恰有n個盒子各有一球”，則有

3.3 推廣及引申

“實物演示法”也可推廣到抽簽?zāi)Ｐ秃妥畲笏迫还烙?，利用實物演示向?qū)W生講解知識.

3.3.1 抽簽?zāi)Ｐ?/p>

上課前準(zhǔn)備10根簽，其中有7根白簽、3根紅簽，現(xiàn)在請十名學(xué)生隨機地一根一根抽簽，抽后不放回，誰抽得紅簽獎勵一個小禮物，同學(xué)們在底下嘀咕著是不是先抽抽得的紅簽概率大呢，接下來討論的問題是讓誰先抽才公平呢？

分析：問題轉(zhuǎn)化為第k（k=1,2,3…10）次抽得紅簽的概率是否相等.把簽標(biāo)上編號，按抽簽次序把簽排成一排，直到10根簽都抽完，將每一個排列作為一個樣本點，總數(shù)為10根簽的全排列數(shù)10！，事件Ak=10“第k次抽得紅簽”相當(dāng)于在第k位放紅簽，共有3種放法，每種放法又對應(yīng)其余9根簽的9！種放法，故Ak包含的樣本點數(shù)為3×9!，因此所求概率為

本題的結(jié)果與k（k=1,2,3…10）無關(guān)，即不論是第幾次，抽得紅簽的概率都一樣，均為紅簽所占的比例數(shù).可見，抽簽不論先后，中簽的機會都一樣！學(xué)生得知這個結(jié)論，不再爭先恐后地去抽簽，而是不慌不忙地去抽簽.

3.3.2 最大似然估計

在講授在參數(shù)的點估計中的最大似然估計一節(jié)時，學(xué)生往往學(xué)完之后，只會機械地按步驟求解，對于什么含義，大部分學(xué)生是模糊不清的.使用實物就可以幫助學(xué)生理解什么是最大似然，上課之前給學(xué)生每人發(fā)一個刮刮卡，學(xué)生刮開之前，問學(xué)生刮開之后是什么，學(xué)生會回答幾乎全是謝謝惠顧，這時候及時問學(xué)生為什么你們第一反應(yīng)是謝謝惠顧而不是中獎呢，因為平時最可能刮到的就是謝謝惠顧，我們就認(rèn)為謝謝惠顧出現(xiàn)的概率就是最大的，這就是最大似然估計在生活中最簡單的體現(xiàn)，同學(xué)們在不知不覺中就用到了.這也讓學(xué)生對最大似然估計原理有直觀的印象，即是設(shè)一個隨機現(xiàn)象有幾種可能結(jié)果：A,B,C,…,若在一次試驗中結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大.簡言之，“在一次試驗中發(fā)生了的事件概率最大”，下面再來看一個具體的例子.

一袋中裝有黑球和白球，其數(shù)目之比為1:9，但不知道是黑球多還是白球多.若以p表示從袋中任取一球為黑球的概率，則p可能是0.1，也可能是0.9.現(xiàn)從袋中有放回地取2只球，結(jié)果全是黑球，問p的估計值應(yīng)取0.1還是0.9？

分析：以X表示從袋中任取一球為黑球的只數(shù)，即

則XB（1，p），即

由題設(shè)知，在對總體X進行的一次抽樣中，取到了樣本值(x1,x2)=(1,1),故該樣本值出現(xiàn)的概率為

記為L(p)，其中p是未知參數(shù)，即

由此一來，學(xué)生一下子就會覺得最大似然估計不是那么高深的概念了.

4 “實物演示法”的教學(xué)效果

這種讓學(xué)生親自體驗的實物演示教學(xué)方法，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又可以讓學(xué)生更容易接受教學(xué)內(nèi)容.學(xué)以致用是教學(xué)的最高境界，學(xué)生從實物演示中親自獲得的知識，更容易在頭腦中留下印象，也更容易學(xué)以致用.此在教學(xué)過程中要從學(xué)生的實際情況出發(fā)，通過實物演示教學(xué)有效地和學(xué)生互動、活躍課堂氣氛，消除學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的畏難情緒，提高學(xué)習(xí)的積極性與參與度．其次，合適的實物演示法可提高學(xué)生對概念的快速理解與應(yīng)用.同時該課程本身的特點也是貼近實際應(yīng)用，這樣一來，實物演示法更能發(fā)揮它的優(yōu)越性，通過實物讓學(xué)生感知知識，有效地降低了其枯燥性、抽象度.

總而言之，課堂教學(xué)不是要抽象化、數(shù)學(xué)化，而是要實物化、具體化.實物演示法就是運用多種感官去感知，鼓勵學(xué)生自己去探索和思考，使得各種概念和定理不再枯燥無味，極大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

〔1〕馬陽明,朱方霞,陳佩樹.應(yīng)用概率與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

〔2〕王利超,呂丹,劉婷.“案例教學(xué)法”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計教研，2009（1）:42-43.

〔3〕茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔4〕秦玉芳,丁艷鳳,鄭曉琪.淺談情景教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用[J].高教學(xué)刊，2016(15)：113-114.

〔5〕李曉彬.案例教學(xué)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的應(yīng)用及思考[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014,28(5).

O211.1

A

1673-260X（2017）09-0005-02

2017-06-17

滁州學(xué)院多元統(tǒng)計分析課程綜合改革項目（2016kcgg008）;滁州學(xué)院統(tǒng)計學(xué)課程綜合改革項目（2016kcgg007）;滁州學(xué)院科學(xué)研究項目-混合序列的強收斂性及在半?yún)?shù)回歸模型中的相合估計（2015GH35）;滁州學(xué)院科學(xué)研究項目:時間序列長記憶性和波動聚集性研究——基于ARFIMA-GARCH模型研究（2014GH34）